Theorem vmage0 27441

Description: The von Mangoldt function is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmage0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝐴))

Proof of Theorem vmage0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef0 16250	. . 3 ⊢ (exp‘0) = 1
2		efvmacl 27440	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)
3	2	nnge1d 12379	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ (exp‘(Λ‘𝐴)))
4	1, 3	eqbrtrid 5140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘0) ≤ (exp‘(Λ‘𝐴)))
5		0re 11303	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		vmacl 27438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)
7		efle 16279	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (Λ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (Λ‘𝐴) ↔ (exp‘0) ≤ (exp‘(Λ‘𝐴))))
8	5, 6, 7	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 ≤ (Λ‘𝐴) ↔ (exp‘0) ≤ (exp‘(Λ‘𝐴))))
9	4, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  expce 16220  Λcvma 27412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-sin 16228  df-cos 16229  df-pi 16231  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-prm 16840  df-pc 17008  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180  df-log 26877  df-vma 27418

This theorem is used by:  chpwordi  27477  chtlepsi  27526  vmadivsum  27802  vmadivsumb  27803  rpvmasumlem  27807  dchrisum0re  27833  rplogsum  27847  vmalogdivsum2  27858  2vmadivsumlem  27860  selbergb  27869  selberg2b  27872  chpdifbndlem1  27873  selberg3lem1  27877  selberg3lem2  27878  selberg4lem1  27880  pntrlog2bndlem1  27897  pntpbnd1a  27905  hgt750lemf  35275  hgt750lemb  35278  hgt750lema  35279  hgt750leme  35280