Theorem pntsval2 26160

Description: The Selberg function can be expressed using the convolution product of the von Mangoldt function with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))

Assertion

Ref	Expression
pntsval2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑚,𝑛,𝑦,𝐴   𝑆,𝑚,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntsval2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntsval.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
2	1	pntsval 26156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
3		elfznn 12931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
5		vmacl 25703	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
8	4	nnrpd 12417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
9	8	relogcld 25214	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
11		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 4	nndivred 11679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ)
13		chpcl 25709	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
16	7, 10, 15	adddid 10654	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
17	16	sumeq2dv 15052	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
18		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (Λ‘𝑛) = (Λ‘𝑚))
19		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑚))
20	19	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) = (ψ‘(𝐴 / 𝑚)))
21	18, 20	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))))
22	21	cbvsumv 15045	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚)))
23		fzfid 13336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚))) ∈ Fin)
24		elfznn 12931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
25	24	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
26		vmacl 25703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
28	27	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
29		elfznn 12931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚))) → 𝑘 ∈ ℕ)
30	29	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
31		vmacl 25703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
33	32	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
34	23, 28, 33	fsummulc2 15131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
35		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35, 25	nndivred 11679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ)
37		chpval 25707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ → (ψ‘(𝐴 / 𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘))
39	38	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘)))
40	30	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
41	24	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
42	41	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
43	41	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ≠ 0)
44	40, 42, 43	divcan3d 11410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚) = 𝑘)
45	44	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)) = (Λ‘𝑘))
46	45	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
47	46	sumeq2dv 15052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
48	34, 39, 47	3eqtr4d 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
49	48	sumeq2dv 15052	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
50		fvoveq1 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) = (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))
51	50	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
52		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
53		ssrab2 4007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
54		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
55	53, 54	sseldi 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
56	55, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
57		dvdsdivcl 15658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
58	4, 57	sylan 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
59	53, 58	sseldi 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ)
60		vmacl 25703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
62	56, 61	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
63	62	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
64	63	anasss 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
65	51, 52, 64	dvdsflsumcom 25773	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
66	49, 65	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))))
67	22, 66	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))))
68	67	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
69		fzfid 13336	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
70	7, 10	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
71	7, 15	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
72	69, 70, 71	fsumadd 15088	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
73		fzfid 13336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
74		dvdsssfz1 15660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
75	4, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
76	73, 75	ssfid 8725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
77	76, 62	fsumrecl 15083	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
78	77	recnd 10658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
79	69, 70, 78	fsumadd 15088	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
80	68, 72, 79	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
81	2, 17, 80	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ...cfz 12885  ⌊cfl 13155  Σcsu 15034   ∥ cdvds 15599  logclog 25146  Λcvma 25677  ψcchp 25678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-vma 25683  df-chp 25684

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem4  26164