MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntsval2 27525
Description: The Selberg function can be expressed using the convolution product of the von Mangoldt function with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntsval.1 ๐‘† = (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))))
Assertion
Ref Expression
pntsval2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘Ž,๐‘š,๐‘›,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘†,๐‘š,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘–,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntsval2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntsval.1 . . 3 ๐‘† = (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))))
21pntsval 27521 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
3 elfznn 13560 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43adantl 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5 vmacl 27066 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
76recnd 11270 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
84nnrpd 13044 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
98relogcld 26573 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
109recnd 11270 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
11 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211, 4nndivred 12294 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘›) โˆˆ โ„)
13 chpcl 27072 . . . . . 6 ((๐ด / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1514recnd 11270 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
167, 10, 15adddid 11266 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
1716sumeq2dv 15679 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
18 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = (ฮ›โ€˜๐‘š))
19 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐ด / ๐‘›) = (๐ด / ๐‘š))
2019fveq2d 6894 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) = (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)))
2118, 20oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))))
2221cbvsumv 15672 . . . . 5 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)))
23 fzfid 13968 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š))) โˆˆ Fin)
24 elfznn 13560 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
2524adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
26 vmacl 27066 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
2827recnd 11270 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
29 elfznn 13560 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3029adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
31 vmacl 27066 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3332recnd 11270 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3423, 28, 33fsummulc2 15760 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
35 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3635, 25nndivred 12294 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘š) โˆˆ โ„)
37 chpval 27070 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐‘š) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜))
3938oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4030nncnd 12256 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4124ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12256 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
4341nnne0d 12290 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โ‰  0)
4440, 42, 43divcan3d 12023 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š) = ๐‘˜)
4544fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š)) = (ฮ›โ€˜๐‘˜))
4645oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4746sumeq2dv 15679 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4834, 39, 473eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
4948sumeq2dv 15679 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
50 fvoveq1 7437 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘˜) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) = (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š)))
5150oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘˜) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
52 id 22 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
53 ssrab2 4067 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โІ โ„•
54 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
5553, 54sselid 3970 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
5655, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
57 dvdsdivcl 16290 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
584, 57sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
5953, 58sselid 3970 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ โ„•)
60 vmacl 27066 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› / ๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
6256, 61remulcld 11272 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
6362recnd 11270 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
6463anasss 465 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
6551, 52, 64dvdsflsumcom 27136 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
6649, 65eqtr4d 2768 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))))
6722, 66eqtrid 2777 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))))
6867oveq2d 7430 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
69 fzfid 13968 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
707, 10mulcld 11262 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
717, 15mulcld 11262 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
7269, 70, 71fsumadd 15716 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
73 fzfid 13968 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...๐‘›) โˆˆ Fin)
74 dvdsssfz1 16292 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โІ (1...๐‘›))
754, 74syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โІ (1...๐‘›))
7673, 75ssfid 9288 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โˆˆ Fin)
7776, 62fsumrecl 15710 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
7877recnd 11270 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
7969, 70, 78fsumadd 15716 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
8068, 72, 793eqtr4d 2775 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
812, 17, 803eqtrd 2769 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3419   โІ wss 3939   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  ...cfz 13514  โŒŠcfl 13785  ฮฃcsu 15662   โˆฅ cdvds 16228  logclog 26504  ฮ›cvma 27040  ฯˆcchp 27041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-pc 16803  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-vma 27046  df-chp 27047
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  27526  pntrlog2bndlem4  27529
  Copyright terms: Public domain W3C validator