Theorem pntsval2 26924

Description: The Selberg function can be expressed using the convolution product of the von Mangoldt function with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))

Assertion

Ref	Expression
pntsval2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑚,𝑛,𝑦,𝐴   𝑆,𝑚,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntsval2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntsval.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
2	1	pntsval 26920	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
3		elfznn 13470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
5		vmacl 26467	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
8	4	nnrpd 12955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
9	8	relogcld 25978	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
11		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 4	nndivred 12207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ)
13		chpcl 26473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
16	7, 10, 15	adddid 11179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
17	16	sumeq2dv 15588	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
18		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (Λ‘𝑛) = (Λ‘𝑚))
19		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑚))
20	19	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) = (ψ‘(𝐴 / 𝑚)))
21	18, 20	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))))
22	21	cbvsumv 15581	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚)))
23		fzfid 13878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚))) ∈ Fin)
24		elfznn 13470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
26		vmacl 26467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
29		elfznn 13470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚))) → 𝑘 ∈ ℕ)
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
31		vmacl 26467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
34	23, 28, 33	fsummulc2 15669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
35		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35, 25	nndivred 12207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ)
37		chpval 26471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ → (ψ‘(𝐴 / 𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘))
39	38	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘)))
40	30	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
41	24	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
43	41	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ≠ 0)
44	40, 42, 43	divcan3d 11936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚) = 𝑘)
45	44	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)) = (Λ‘𝑘))
46	45	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
47	46	sumeq2dv 15588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
48	34, 39, 47	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
49	48	sumeq2dv 15588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
50		fvoveq1 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) = (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))
51	50	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
52		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
53		ssrab2 4037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
54		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
55	53, 54	sselid 3942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
56	55, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
57		dvdsdivcl 16198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
58	4, 57	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
59	53, 58	sselid 3942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ)
60		vmacl 26467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
62	56, 61	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
64	63	anasss 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
65	51, 52, 64	dvdsflsumcom 26537	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
66	49, 65	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))))
67	22, 66	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))))
68	67	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
69		fzfid 13878	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
70	7, 10	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
71	7, 15	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
72	69, 70, 71	fsumadd 15625	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
73		fzfid 13878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
74		dvdsssfz1 16200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
75	4, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
76	73, 75	ssfid 9211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
77	76, 62	fsumrecl 15619	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
79	69, 70, 78	fsumadd 15625	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
80	68, 72, 79	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
81	2, 17, 80	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ...cfz 13424  ⌊cfl 13695  Σcsu 15570   ∥ cdvds 16136  logclog 25910  Λcvma 26441  ψcchp 26442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-vma 26447  df-chp 26448

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  26925  pntrlog2bndlem4  26928