Theorem pntsval2 27555

Description: The Selberg function can be expressed using the convolution product of the von Mangoldt function with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))

Assertion

Ref	Expression
pntsval2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑚,𝑛,𝑦,𝐴   𝑆,𝑚,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntsval2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntsval.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
2	1	pntsval 27551	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
3		elfznn 13481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
5		vmacl 27096	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
8	4	nnrpd 12959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
9	8	relogcld 26600	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
11		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11, 4	nndivred 12211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ)
13		chpcl 27102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
16	7, 10, 15	adddid 11168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
17	16	sumeq2dv 15637	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
18		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (Λ‘𝑛) = (Λ‘𝑚))
19		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑚))
20	19	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) = (ψ‘(𝐴 / 𝑚)))
21	18, 20	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))))
22	21	cbvsumv 15631	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚)))
23		fzfid 13908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚))) ∈ Fin)
24		elfznn 13481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
26		vmacl 27096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
29		elfznn 13481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚))) → 𝑘 ∈ ℕ)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
31		vmacl 27096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
34	23, 28, 33	fsummulc2 15719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
35		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35, 25	nndivred 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ)
37		chpval 27100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ → (ψ‘(𝐴 / 𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘))
39	38	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘)))
40	30	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
41	24	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
42	41	nncnd 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
43	41	nnne0d 12207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ≠ 0)
44	40, 42, 43	divcan3d 11934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚) = 𝑘)
45	44	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)) = (Λ‘𝑘))
46	45	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
47	46	sumeq2dv 15637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
48	34, 39, 47	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
49	48	sumeq2dv 15637	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
50		fvoveq1 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) = (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))
51	50	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
52		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
53		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
55	53, 54	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
56	55, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
57		dvdsdivcl 16255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
58	4, 57	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
59	53, 58	sselid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ)
60		vmacl 27096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
62	56, 61	remulcld 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
64	63	anasss 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
65	51, 52, 64	dvdsflsumcom 27166	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
66	49, 65	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))))
67	22, 66	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))))
68	67	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
69		fzfid 13908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
70	7, 10	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
71	7, 15	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
72	69, 70, 71	fsumadd 15675	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
73		fzfid 13908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
74		dvdsssfz1 16257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
75	4, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
76	73, 75	ssfid 9181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
77	76, 62	fsumrecl 15669	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
79	69, 70, 78	fsumadd 15675	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
80	68, 72, 79	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
81	2, 17, 80	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ...cfz 13435  ⌊cfl 13722  Σcsu 15621   ∥ cdvds 16191  logclog 26531  Λcvma 27070  ψcchp 27071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-vma 27076  df-chp 27077

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem4  27559