MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntsval2 27464
Description: The Selberg function can be expressed using the convolution product of the von Mangoldt function with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntsval.1 ๐‘† = (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))))
Assertion
Ref Expression
pntsval2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘Ž,๐‘š,๐‘›,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘†,๐‘š,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘–,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntsval2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntsval.1 . . 3 ๐‘† = (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))))
21pntsval 27460 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
3 elfznn 13536 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5 vmacl 27005 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
76recnd 11246 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
84nnrpd 13020 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
98relogcld 26512 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
109recnd 11246 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
11 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211, 4nndivred 12270 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘›) โˆˆ โ„)
13 chpcl 27011 . . . . . 6 ((๐ด / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1514recnd 11246 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
167, 10, 15adddid 11242 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
1716sumeq2dv 15655 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
18 fveq2 6885 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = (ฮ›โ€˜๐‘š))
19 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐ด / ๐‘›) = (๐ด / ๐‘š))
2019fveq2d 6889 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) = (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)))
2118, 20oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))))
2221cbvsumv 15648 . . . . 5 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)))
23 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š))) โˆˆ Fin)
24 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
26 vmacl 27005 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
2827recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
29 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
31 vmacl 27005 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3332recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3423, 28, 33fsummulc2 15736 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
35 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3635, 25nndivred 12270 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘š) โˆˆ โ„)
37 chpval 27009 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐‘š) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜))
3938oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4030nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4124ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
4341nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โ‰  0)
4440, 42, 43divcan3d 11999 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š) = ๐‘˜)
4544fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š)) = (ฮ›โ€˜๐‘˜))
4645oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4746sumeq2dv 15655 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4834, 39, 473eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
4948sumeq2dv 15655 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
50 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘˜) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) = (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š)))
5150oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘˜) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
52 id 22 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
53 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โІ โ„•
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
5553, 54sselid 3975 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
5655, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
57 dvdsdivcl 16266 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
584, 57sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
5953, 58sselid 3975 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ โ„•)
60 vmacl 27005 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› / ๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
6256, 61remulcld 11248 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
6362recnd 11246 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
6463anasss 466 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
6551, 52, 64dvdsflsumcom 27075 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
6649, 65eqtr4d 2769 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))))
6722, 66eqtrid 2778 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))))
6867oveq2d 7421 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
69 fzfid 13944 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
707, 10mulcld 11238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
717, 15mulcld 11238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
7269, 70, 71fsumadd 15692 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
73 fzfid 13944 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...๐‘›) โˆˆ Fin)
74 dvdsssfz1 16268 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โІ (1...๐‘›))
754, 74syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โІ (1...๐‘›))
7673, 75ssfid 9269 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โˆˆ Fin)
7776, 62fsumrecl 15686 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
7877recnd 11246 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
7969, 70, 78fsumadd 15692 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
8068, 72, 793eqtr4d 2776 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
812, 17, 803eqtrd 2770 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426   โІ wss 3943   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761  ฮฃcsu 15638   โˆฅ cdvds 16204  logclog 26443  ฮ›cvma 26979  ฯˆcchp 26980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-vma 26985  df-chp 26986
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  27465  pntrlog2bndlem4  27468
  Copyright terms: Public domain W3C validator