MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntsval2 26940
Description: The Selberg function can be expressed using the convolution product of the von Mangoldt function with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntsval.1 ๐‘† = (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))))
Assertion
Ref Expression
pntsval2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘Ž,๐‘š,๐‘›,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘†,๐‘š,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘–,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntsval2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntsval.1 . . 3 ๐‘† = (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘Ž))((ฮ›โ€˜๐‘–) ยท ((logโ€˜๐‘–) + (ฯˆโ€˜(๐‘Ž / ๐‘–)))))
21pntsval 26936 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
3 elfznn 13477 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5 vmacl 26483 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
76recnd 11190 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
84nnrpd 12962 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
98relogcld 25994 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
109recnd 11190 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
11 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211, 4nndivred 12214 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘›) โˆˆ โ„)
13 chpcl 26489 . . . . . 6 ((๐ด / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
1514recnd 11190 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
167, 10, 15adddid 11186 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
1716sumeq2dv 15595 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((logโ€˜๐‘›) + (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
18 fveq2 6847 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = (ฮ›โ€˜๐‘š))
19 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐ด / ๐‘›) = (๐ด / ๐‘š))
2019fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)) = (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)))
2118, 20oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))))
2221cbvsumv 15588 . . . . 5 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)))
23 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š))) โˆˆ Fin)
24 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
2524adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
26 vmacl 26483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
2827recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
29 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3029adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
31 vmacl 26483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3332recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3423, 28, 33fsummulc2 15676 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
35 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3635, 25nndivred 12214 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘š) โˆˆ โ„)
37 chpval 26487 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / ๐‘š) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜))
3938oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))(ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4030nncnd 12176 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
4124ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12176 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
4341nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โ‰  0)
4440, 42, 43divcan3d 11943 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š) = ๐‘˜)
4544fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š)) = (ฮ›โ€˜๐‘˜))
4645oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4746sumeq2dv 15595 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
4834, 39, 473eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
4948sumeq2dv 15595 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
50 fvoveq1 7385 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘˜) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) = (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š)))
5150oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘˜) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) = ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
52 id 22 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
53 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โŠ† โ„•
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
5553, 54sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
5655, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘š) โˆˆ โ„)
57 dvdsdivcl 16205 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
584, 57sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})
5953, 58sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (๐‘› / ๐‘š) โˆˆ โ„•)
60 vmacl 26483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› / ๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)) โˆˆ โ„)
6256, 61remulcld 11192 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
6362recnd 11190 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
6463anasss 468 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›})) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
6551, 52, 64dvdsflsumcom 26553 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘š)))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘š ยท ๐‘˜) / ๐‘š))))
6649, 65eqtr4d 2780 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘š))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))))
6722, 66eqtrid 2789 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))))
6867oveq2d 7378 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
69 fzfid 13885 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
707, 10mulcld 11182 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
717, 15mulcld 11182 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
7269, 70, 71fsumadd 15632 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))))
73 fzfid 13885 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...๐‘›) โˆˆ Fin)
74 dvdsssfz1 16207 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โŠ† (1...๐‘›))
754, 74syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โŠ† (1...๐‘›))
7673, 75ssfid 9218 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} โˆˆ Fin)
7776, 62fsumrecl 15626 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„)
7877recnd 11190 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š))) โˆˆ โ„‚)
7969, 70, 78fsumadd 15632 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
8068, 72, 793eqtr4d 2787 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (ฯˆโ€˜(๐ด / ๐‘›)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
812, 17, 803eqtrd 2781 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘†โ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜๐‘›)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›} ((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘› / ๐‘š)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  ฮฃcsu 15577   โˆฅ cdvds 16143  logclog 25926  ฮ›cvma 26457  ฯˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-vma 26463  df-chp 26464
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  26941  pntrlog2bndlem4  26944
  Copyright terms: Public domain W3C validator