MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntsval2 26066
Description: The Selberg function can be expressed using the convolution product of the von Mangoldt function with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
Assertion
Ref Expression
pntsval2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑚,𝑛,𝑦,𝐴   𝑆,𝑚,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntsval2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntsval.1 . . 3 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
21pntsval 26062 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
3 elfznn 12926 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
43adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
5 vmacl 25609 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
76recnd 10658 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
84nnrpd 12419 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
98relogcld 25119 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
109recnd 10658 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
11 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211, 4nndivred 11680 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ)
13 chpcl 25615 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝑛) ∈ ℝ → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1514recnd 10658 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) ∈ ℂ)
167, 10, 15adddid 10654 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
1716sumeq2dv 15050 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
18 fveq2 6667 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (Λ‘𝑛) = (Λ‘𝑚))
19 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑚))
2019fveq2d 6671 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (ψ‘(𝐴 / 𝑛)) = (ψ‘(𝐴 / 𝑚)))
2118, 20oveq12d 7166 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))))
2221cbvsumv 15043 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚)))
23 fzfid 13331 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚))) ∈ Fin)
24 elfznn 12926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
26 vmacl 25609 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
2827recnd 10658 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
29 elfznn 12926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚))) → 𝑘 ∈ ℕ)
3029adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
31 vmacl 25609 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
3332recnd 10658 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
3423, 28, 33fsummulc2 15129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
35 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3635, 25nndivred 11680 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ)
37 chpval 25613 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 𝑚) ∈ ℝ → (ψ‘(𝐴 / 𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (ψ‘(𝐴 / 𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘))
3938oveq2d 7164 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))(Λ‘𝑘)))
4030nncnd 11643 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
4124ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
4241nncnd 11643 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
4341nnne0d 11676 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → 𝑚 ≠ 0)
4440, 42, 43divcan3d 11410 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚) = 𝑘)
4544fveq2d 6671 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)) = (Λ‘𝑘))
4645oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
4746sumeq2dv 15050 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
4834, 39, 473eqtr4d 2871 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
4948sumeq2dv 15050 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
50 fvoveq1 7171 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) = (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))
5150oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
52 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
53 ssrab2 4060 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ⊆ ℕ
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})
5553, 54sseldi 3969 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
5655, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
57 dvdsdivcl 15656 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})
584, 57sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})
5953, 58sseldi 3969 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ)
60 vmacl 25609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
6256, 61remulcld 10660 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
6362recnd 10658 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
6463anasss 467 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛})) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
6551, 52, 64dvdsflsumcom 25679 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
6649, 65eqtr4d 2864 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝐴 / 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))))
6722, 66syl5eq 2873 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))))
6867oveq2d 7164 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
69 fzfid 13331 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
707, 10mulcld 10650 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
717, 15mulcld 10650 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛))) ∈ ℂ)
7269, 70, 71fsumadd 15086 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))))
73 fzfid 13331 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
74 dvdsssfz1 15658 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ⊆ (1...𝑛))
754, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ⊆ (1...𝑛))
7673, 75ssfid 8730 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ∈ Fin)
7776, 62fsumrecl 15081 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
7877recnd 10658 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
7969, 70, 78fsumadd 15086 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
8068, 72, 793eqtr4d 2871 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + ((Λ‘𝑛) · (ψ‘(𝐴 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
812, 17, 803eqtrd 2865 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑆𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) + Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3147  wss 3940   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   / cdiv 11286  cn 11627  ...cfz 12882  cfl 13150  Σcsu 15032  cdvds 15597  logclog 25051  Λcvma 25583  ψcchp 25584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-vma 25589  df-chp 25590
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  26067  pntrlog2bndlem4  26070
  Copyright terms: Public domain W3C validator