MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selberg 27436
Description: Selberg's symmetry formula. The statement has many forms, and this one is equivalent to the statement that Σ𝑛 ≀ π‘₯, Ξ›(𝑛)log𝑛 + Ξ£π‘š Β· 𝑛 ≀ π‘₯, Ξ›(π‘š)Ξ›(𝑛) = 2π‘₯logπ‘₯ + 𝑂(π‘₯). Equation 10.4.10 of [Shapiro], p. 419. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberg (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛

Proof of Theorem selberg
Dummy variables 𝑑 π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑑 β†’ (Ξ›β€˜π‘›) = (Ξ›β€˜π‘‘))
2 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑑 β†’ (π‘₯ / 𝑛) = (π‘₯ / 𝑑))
32fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑑 β†’ (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) = (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
41, 3oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑑 β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))
54cbvsumv 15648 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
6 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) ∈ Fin)
7 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
87adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
9 vmacl 27005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
1110recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
12 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) β†’ π‘š ∈ β„•)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
14 vmacl 27005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘š) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (Ξ›β€˜π‘š) ∈ ℝ)
1615recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (Ξ›β€˜π‘š) ∈ β„‚)
176, 11, 16fsummulc2 15736 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))(Ξ›β€˜π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜π‘š)))
187nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
19 rpdivcl 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
2018, 19sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
2120rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
22 chpval 27009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))(Ξ›β€˜π‘š))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))(Ξ›β€˜π‘š))
2423oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))(Ξ›β€˜π‘š)))
2513nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
267ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
2726nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
2826nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ 𝑑 β‰  0)
2925, 27, 28divcan3d 11999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑) = π‘š)
3029fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)) = (Ξ›β€˜π‘š))
3130oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜π‘š)))
3231sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜π‘š)))
3317, 24, 323eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))))
3433sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))))
355, 34eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))))
36 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑)) = (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))
3736oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))))
38 rpre 12988 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
39 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} βŠ† β„•
40 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})
4139, 40sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
4241anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛}) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
4342, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛}) β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
44 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
46 dvdsdivcl 16266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛}) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})
4745, 46sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛}) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})
4839, 47sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛}) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ β„•)
49 vmacl 27005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 / 𝑑) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛}) β†’ (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
5143, 50remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℝ)
5251recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
5352anasss 466 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
5437, 38, 53dvdsflsumcom 27075 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))))
5535, 54eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))))
5655oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
57 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
58 vmacl 27005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ)
5945, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ)
6059recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ β„‚)
6144nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
62 rpdivcl 13005 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
6361, 62sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
6463rpred 13022 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
65 chpcl 27011 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
6766recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
6860, 67mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
6945nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
70 relogcl 26464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
7271recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
7360, 72mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
7457, 68, 73fsumadd 15692 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
75 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
76 dvdsssfz1 16268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} βŠ† (1...𝑛))
7745, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} βŠ† (1...𝑛))
7875, 77ssfid 9269 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ∈ Fin)
7978, 51fsumrecl 15686 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ ℝ)
8079recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) ∈ β„‚)
8157, 80, 73fsumadd 15692 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
8256, 74, 813eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
8372, 67addcomd 11420 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) = ((Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + (logβ€˜π‘›)))
8483oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = ((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + (logβ€˜π‘›))))
8560, 67, 72adddid 11242 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + (logβ€˜π‘›))) = (((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
8684, 85eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
8786sumeq2dv 15655 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((Ξ›β€˜π‘›) Β· (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
88 logsqvma2 27431 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
8945, 88syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
9089sumeq2dv 15655 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (Ξ›β€˜(𝑛 / 𝑑))) + ((Ξ›β€˜π‘›) Β· (logβ€˜π‘›))))
9182, 87, 903eqtr4d 2776 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)))
92 fvoveq1 7428 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) = (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)))
9392oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2) = ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2))
9493oveq2d 7421 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑑 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)))
95 mucl 27028 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
9641, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„€)
9796zcnd 12671 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
9861ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
9941nnrpd 13020 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
10098, 99rpdivcld 13039 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+)
101 relogcl 26464 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ ℝ)
102101recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 / 𝑑) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
103100, 102syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ (logβ€˜(𝑛 / 𝑑)) ∈ β„‚)
104103sqcld 14114 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2) ∈ β„‚)
10597, 104mulcld 11238 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) ∈ β„‚)
10694, 38, 105dvdsflsumcom 27075 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ 𝑛} ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜(𝑛 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)))
10729fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ (logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑)) = (logβ€˜π‘š))
108107oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2) = ((logβ€˜π‘š)↑2))
109108oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)) = ((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
110109sumeq2dv 15655 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
111110sumeq2dv 15655 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜((𝑑 Β· π‘š) / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
11291, 106, 1113eqtrd 2770 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
113112oveq1d 7420 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) / π‘₯) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯))
114113oveq1d 7420 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
115114mpteq2ia 5244 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
116 eqid 2726 . . 3 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))) / 𝑑) = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))) / 𝑑)
117116selberglem2 27434 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))((ΞΌβ€˜π‘‘) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
118115, 117eqeltri 2823 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ›β€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘›) + (Οˆβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„+crp 12980  ...cfz 13490  βŒŠcfl 13761  β†‘cexp 14032  π‘‚(1)co1 15436  Ξ£csu 15638   βˆ₯ cdvds 16204  logclog 26443  Ξ›cvma 26979  Οˆcchp 26980  ΞΌcmu 26982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-o1 15440  df-lo1 15441  df-sum 15639  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ulm 26268  df-log 26445  df-cxp 26446  df-atan 26754  df-em 26880  df-vma 26985  df-chp 26986  df-mu 26988
This theorem is referenced by:  selbergb  27437  selberg2  27439  selbergs  27462
  Copyright terms: Public domain W3C validator