Theorem chtval 27088

Description: Value of the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chtval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4173	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	sumeq1d 15635	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4		df-cht 27075	. 2 ⊢ θ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
5		sumex 15623	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6949	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  [,]cicc 13276  Σcsu 15621  ℙcprime 16610  logclog 26531  θccht 27069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-iota 6456  df-fun 6502  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-seq 13937  df-sum 15622  df-cht 27075

This theorem is referenced by:  efchtcl  27089  chtge0  27090  chtfl  27127  chtprm  27131  chtnprm  27132  chtwordi  27134  chtdif  27136  cht1  27143  prmorcht  27156  chtlepsi  27185  chtleppi  27189  chpchtsum  27198  chpub  27199  chtppilimlem1  27452  chtvalz  34806