Theorem chtval 26848

Description: Value of the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chtval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4212	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	sumeq1d 15653	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4		df-cht 26835	. 2 ⊢ θ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
5		sumex 15640	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6999	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∩ cin 3948  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ℝcr 11113  0cc0 11114  [,]cicc 13333  Σcsu 15638  ℙcprime 16614  logclog 26297  θccht 26829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fun 6546  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-seq 13973  df-sum 15639  df-cht 26835

This theorem is referenced by:  efchtcl  26849  chtge0  26850  chtfl  26887  chtprm  26891  chtnprm  26892  chtwordi  26894  chtdif  26896  cht1  26903  prmorcht  26916  chtlepsi  26943  chtleppi  26947  chpchtsum  26956  chpub  26957  chtppilimlem1  27210  chtvalz  33937