Theorem chtval 27171

Description: Value of the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chtval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4240	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	sumeq1d 15748	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4		df-cht 27158	. 2 ⊢ θ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
5		sumex 15736	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 7029	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  [,]cicc 13410  Σcsu 15734  ℙcprime 16718  logclog 26614  θccht 27152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-iota 6525  df-fun 6575  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-seq 14053  df-sum 15735  df-cht 27158

This theorem is referenced by:  efchtcl  27172  chtge0  27173  chtfl  27210  chtprm  27214  chtnprm  27215  chtwordi  27217  chtdif  27219  cht1  27226  prmorcht  27239  chtlepsi  27268  chtleppi  27272  chpchtsum  27281  chpub  27282  chtppilimlem1  27535  chtvalz  34606