MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtval 26614
Description: Value of the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtval (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chtval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (0[,]π‘₯) = (0[,]𝐴))
21ineq1d 4212 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((0[,]π‘₯) ∩ β„™) = ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
32sumeq1d 15647 . 2 (π‘₯ = 𝐴 β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]π‘₯) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
4 df-cht 26601 . 2 ΞΈ = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ Σ𝑝 ∈ ((0[,]π‘₯) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
5 sumex 15634 . 2 Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6999 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  [,]cicc 13327  Ξ£csu 15632  β„™cprime 16608  logclog 26063  ΞΈccht 26595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fun 6546  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seq 13967  df-sum 15633  df-cht 26601
This theorem is referenced by:  efchtcl  26615  chtge0  26616  chtfl  26653  chtprm  26657  chtnprm  26658  chtwordi  26660  chtdif  26662  cht1  26669  prmorcht  26682  chtlepsi  26709  chtleppi  26713  chpchtsum  26722  chpub  26723  chtppilimlem1  26976  chtvalz  33641
  Copyright terms: Public domain W3C validator