MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtval 26603
Description: Value of the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtval (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chtval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
21ineq1d 4210 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
32sumeq1d 15643 . 2 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4 df-cht 26590 . 2 θ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
5 sumex 15630 . 2 Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6995 1 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3946  cfv 6540  (class class class)co 7405  cr 11105  0cc0 11106  [,]cicc 13323  Σcsu 15628  cprime 16604  logclog 26054  θccht 26584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-iota 6492  df-fun 6542  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-seq 13963  df-sum 15629  df-cht 26590
This theorem is referenced by:  efchtcl  26604  chtge0  26605  chtfl  26642  chtprm  26646  chtnprm  26647  chtwordi  26649  chtdif  26651  cht1  26658  prmorcht  26671  chtlepsi  26698  chtleppi  26702  chpchtsum  26711  chpub  26712  chtppilimlem1  26965  chtvalz  33629
  Copyright terms: Public domain W3C validator