MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtval 25679
Description: Value of the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtval (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chtval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7156 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
21ineq1d 4186 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
32sumeq1d 15050 . 2 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4 df-cht 25666 . 2 θ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
5 sumex 15036 . 2 Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6761 1 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3933  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  [,]cicc 12733  Σcsu 15034  cprime 16007  logclog 25130  θccht 25660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-iota 6307  df-fun 6350  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-seq 13362  df-sum 15035  df-cht 25666
This theorem is referenced by:  efchtcl  25680  chtge0  25681  chtfl  25718  chtprm  25722  chtnprm  25723  chtwordi  25725  chtdif  25727  cht1  25734  prmorcht  25747  chtlepsi  25774  chtleppi  25778  chpchtsum  25787  chpub  25788  chtppilimlem1  26041  chtvalz  31888
  Copyright terms: Public domain W3C validator