Theorem chtval 27467

Description: Value of the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem chtval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7451	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4119	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	sumeq1d 15896	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4		df-cht 27454	. 2 ⊢ θ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑥) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
5		sumex 15884	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 7016	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  [,]cicc 13506  Σcsu 15882  ℙcprime 16875  logclog 26912  θccht 27448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-iota 6512  df-fun 6560  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-seq 14172  df-sum 15883  df-cht 27454

This theorem is used by:  efchtcl  27468  chtge0  27469  chtfl  27506  chtprm  27510  chtnprm  27511  chtwordi  27513  chtdif  27515  cht1  27522  prmorcht  27535  chtlepsi  27563  chtleppi  27567  chpchtsum  27576  chpub  27577  chtppilimlem1  27830  chtvalz  35328