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Theorem chpchtsum 26719
Description: The second Chebyshev function is the sum of the theta function at arguments quickly approaching zero. (This is usually stated as an infinite sum, but after a certain point, the terms are all zero, and it is easier for us to use an explicit finite sum.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtsum (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
Distinct variable group:   𝐴,π‘˜

Proof of Theorem chpchtsum
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13937 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ Fin)
2 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
32elin2d 4199 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
4 prmnn 16610 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
65nnrpd 13013 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
76relogcld 26130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
87recnd 11241 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9 fsumconst 15735 . . . . 5 (((1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ Fin ∧ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) Β· (logβ€˜π‘)))
101, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) Β· (logβ€˜π‘)))
11 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
12 1red 11214 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 1 ∈ ℝ)
135nnred 12226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
14 prmuz2 16632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
153, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
16 eluz2gt1 12903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑝)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 1 < 𝑝)
182elin1d 4198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴))
19 0re 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
20 elicc2 13388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
2119, 11, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
2218, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴))
2322simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴)
2412, 13, 11, 17, 23ltletrd 11373 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 1 < 𝐴)
2511, 24rplogcld 26136 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
2613, 17rplogcld 26136 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
2725, 26rpdivcld 13032 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13015 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 13019 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))
30 flge0nn0 13784 . . . . . . 7 ((((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„•0)
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„•0)
32 hashfz1 14305 . . . . . 6 ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) = (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) = (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
3433oveq1d 7423 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) Β· (logβ€˜π‘)) = ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) Β· (logβ€˜π‘)))
3528flcld 13762 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„€)
3635zcnd 12666 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„‚)
3736, 8mulcomd 11234 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) Β· (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
3810, 34, 373eqtrrd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘))
3938sumeq2dv 15648 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘))
40 chpval2 26718 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
41 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
42 0red 11216 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 0 ∈ ℝ)
43 1red 11214 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 1 ∈ ℝ)
44 0lt1 11735 . . . . . . . . 9 0 < 1
4544a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 0 < 1)
46 elfzuz2 13505 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
47 eluzle 12834 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ≀ (βŒŠβ€˜π΄))
4847adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ≀ (βŒŠβ€˜π΄))
49 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
50 1z 12591 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„€
51 flge 13769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (1 ≀ 𝐴 ↔ 1 ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
5249, 50, 51sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (1 ≀ 𝐴 ↔ 1 ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
5348, 52mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ≀ 𝐴)
5446, 53sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 1 ≀ 𝐴)
5542, 43, 41, 45, 54ltletrd 11373 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 0 < 𝐴)
5642, 41, 55ltled 11361 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 0 ≀ 𝐴)
57 elfznn 13529 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5958nnrecred 12262 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
6041, 56, 59recxpcld 26230 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
61 chtval 26611 . . . . 5 ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
6260, 61syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
6362sumeq2dv 15648 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
64 ppifi 26607 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin)
65 fzfid 13937 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∈ Fin)
66 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
67 elfznn 13529 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
6866, 67anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•)))
70 0red 11216 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 0 ∈ ℝ)
71 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]𝐴) ∩ β„™) βŠ† β„™
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) βŠ† β„™)
7372sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
7473, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
7574nnred 12226 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
7674nngt0d 12260 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 0 < 𝑝)
7770, 75, 11, 76, 23ltletrd 11373 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 0 < 𝐴)
7877ex 413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) β†’ 0 < 𝐴))
7978adantrd 492 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) β†’ 0 < 𝐴))
8069, 79jcad 513 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)))
81 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8257, 81anim12ci 614 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
8382a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•)))
8455ex 413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 0 < 𝐴))
8584adantrd 492 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) β†’ 0 < 𝐴))
8683, 85jcad 513 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)))
87 elin 3964 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
88 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8988biantrud 532 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™)))
90 0red 11216 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 ∈ ℝ)
91 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9288, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
9392nnred 12226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
9492nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ β„•0)
9594nn0ge0d 12534 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝑝)
96 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ 𝐴))
9720, 96bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
9897baibd 540 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝 ≀ 𝐴))
9990, 91, 93, 95, 98syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝 ≀ 𝐴))
10089, 99bitr3d 280 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ↔ 𝑝 ≀ 𝐴))
10187, 100bitrid 282 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ↔ 𝑝 ≀ 𝐴))
102 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 < 𝐴)
10391, 102elrpd 13012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
104103relogcld 26130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
10588, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
106105, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 1 < 𝑝)
10793, 106rplogcld 26136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
108104, 107rerpdivcld 13046 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
109 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
110109nnzd 12584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
111 flge 13769 . . . . . . . . . 10 ((((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
112108, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
113109nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
11492, 113nnexpcld 14207 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„•)
115114nnrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
116115, 103logled 26134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ (logβ€˜(π‘β†‘π‘˜)) ≀ (logβ€˜π΄)))
11792nnrpd 13013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
118 relogexp 26103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (logβ€˜(π‘β†‘π‘˜)) = (π‘˜ Β· (logβ€˜π‘)))
119117, 110, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (logβ€˜(π‘β†‘π‘˜)) = (π‘˜ Β· (logβ€˜π‘)))
120119breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((logβ€˜(π‘β†‘π‘˜)) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ (π‘˜ Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄)))
121109nnred 12226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
122121, 104, 107lemuldivd 13064 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘˜ Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ π‘˜ ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
123116, 120, 1223bitrd 304 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ π‘˜ ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
124 nnuz 12864 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
125109, 124eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
126108flcld 13762 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„€)
127 elfz5 13492 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
128125, 126, 127syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
129112, 123, 1283bitr4rd 311 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ↔ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴))
130101, 129anbi12d 631 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) ↔ (𝑝 ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴)))
13191flcld 13762 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„€)
132 elfz5 13492 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
133125, 131, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
134 flge 13769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ≀ 𝐴 ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
13591, 110, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝐴 ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
136133, 135bitr4d 281 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ π‘˜ ≀ 𝐴))
137 elin 3964 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™) ↔ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
13888biantrud 532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∧ 𝑝 ∈ β„™)))
139103rpge0d 13019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
140109nnrecred 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
14191, 139, 140recxpcld 26230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
142 elicc2 13388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)))))
143 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
144142, 143bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)))))
145144baibd 540 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
14690, 141, 93, 95, 145syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
147138, 146bitr3d 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ↔ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
14891, 139, 140cxpge0d 26231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)))
149109nnrpd 13013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
15093, 95, 141, 148, 149cxple2d 26234 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ↔ (π‘β†‘π‘π‘˜) ≀ ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))β†‘π‘π‘˜)))
15192nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
152 cxpexp 26175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘π‘˜) = (π‘β†‘π‘˜))
153151, 113, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘β†‘π‘π‘˜) = (π‘β†‘π‘˜))
154109nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
155109nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ β‰  0)
156154, 155recid2d 11985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((1 / π‘˜) Β· π‘˜) = 1)
157156oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝐴↑𝑐((1 / π‘˜) Β· π‘˜)) = (𝐴↑𝑐1))
158103, 140, 154cxpmuld 26243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝐴↑𝑐((1 / π‘˜) Β· π‘˜)) = ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))β†‘π‘π‘˜))
15991recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
160159cxp1d 26213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
161157, 158, 1603eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))β†‘π‘π‘˜) = 𝐴)
162153, 161breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘π‘˜) ≀ ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))β†‘π‘π‘˜) ↔ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴))
163147, 150, 1623bitrd 304 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ↔ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴))
164137, 163bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™) ↔ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴))
165136, 164anbi12d 631 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) ↔ (π‘˜ ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴)))
166114nnred 12226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
167 bernneq3 14193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ < (π‘β†‘π‘˜))
168105, 113, 167syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ < (π‘β†‘π‘˜))
169121, 166, 168ltled 11361 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ≀ (π‘β†‘π‘˜))
170 letr 11307 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ≀ (π‘β†‘π‘˜) ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ π‘˜ ≀ 𝐴))
171121, 166, 91, 170syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘˜ ≀ (π‘β†‘π‘˜) ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ π‘˜ ≀ 𝐴))
172169, 171mpand 693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 β†’ π‘˜ ≀ 𝐴))
173172pm4.71rd 563 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ (π‘˜ ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴)))
174151exp1d 14105 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝↑1) = 𝑝)
17592nnge1d 12259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 1 ≀ 𝑝)
17693, 175, 125leexp2ad 14216 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝↑1) ≀ (π‘β†‘π‘˜))
177174, 176eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ≀ (π‘β†‘π‘˜))
178 letr 11307 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((𝑝 ≀ (π‘β†‘π‘˜) ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴))
17993, 166, 91, 178syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ≀ (π‘β†‘π‘˜) ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴))
180177, 179mpand 693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 β†’ 𝑝 ≀ 𝐴))
181180pm4.71rd 563 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ (𝑝 ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴)))
182165, 173, 1813bitr2rd 307 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™))))
183130, 182bitrd 278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™))))
184183ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)))))
18580, 86, 184pm5.21ndd 380 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™))))
1868adantrr 715 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
18764, 65, 1, 185, 186fsumcom2 15719 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
18863, 187eqtr4d 2775 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘))
18939, 40, 1883eqtr4d 2782 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  βŒŠcfl 13754  β†‘cexp 14026  β™―chash 14289  Ξ£csu 15631  β„™cprime 16607  logclog 26062  β†‘𝑐ccxp 26063  ΞΈccht 26592  Οˆcchp 26594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065  df-cht 26598  df-vma 26599  df-chp 26600
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