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Theorem chpchtsum 26729
Description: The second Chebyshev function is the sum of the theta function at arguments quickly approaching zero. (This is usually stated as an infinite sum, but after a certain point, the terms are all zero, and it is easier for us to use an explicit finite sum.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtsum (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
Distinct variable group:   𝐴,π‘˜

Proof of Theorem chpchtsum
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ Fin)
2 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
32elin2d 4199 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
4 prmnn 16613 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
65nnrpd 13016 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
76relogcld 26138 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
87recnd 11244 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9 fsumconst 15738 . . . . 5 (((1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ∈ Fin ∧ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) Β· (logβ€˜π‘)))
101, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) Β· (logβ€˜π‘)))
11 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
12 1red 11217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 1 ∈ ℝ)
135nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
14 prmuz2 16635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
153, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
16 eluz2gt1 12906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑝)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 1 < 𝑝)
182elin1d 4198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴))
19 0re 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
20 elicc2 13391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
2119, 11, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
2218, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴))
2322simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴)
2412, 13, 11, 17, 23ltletrd 11376 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 1 < 𝐴)
2511, 24rplogcld 26144 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
2613, 17rplogcld 26144 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
2725, 26rpdivcld 13035 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13018 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 13022 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))
30 flge0nn0 13787 . . . . . . 7 ((((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„•0)
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„•0)
32 hashfz1 14308 . . . . . 6 ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) = (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) = (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
3433oveq1d 7426 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) Β· (logβ€˜π‘)) = ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) Β· (logβ€˜π‘)))
3528flcld 13765 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„€)
3635zcnd 12669 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„‚)
3736, 8mulcomd 11237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) Β· (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
3810, 34, 373eqtrrd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘))
3938sumeq2dv 15651 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘))
40 chpval2 26728 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)((logβ€˜π‘) Β· (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
41 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
42 0red 11219 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 0 ∈ ℝ)
43 1red 11217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 1 ∈ ℝ)
44 0lt1 11738 . . . . . . . . 9 0 < 1
4544a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 0 < 1)
46 elfzuz2 13508 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
47 eluzle 12837 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ≀ (βŒŠβ€˜π΄))
4847adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ≀ (βŒŠβ€˜π΄))
49 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
50 1z 12594 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„€
51 flge 13772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (1 ≀ 𝐴 ↔ 1 ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
5249, 50, 51sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (1 ≀ 𝐴 ↔ 1 ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
5348, 52mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 1 ≀ 𝐴)
5446, 53sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 1 ≀ 𝐴)
5542, 43, 41, 45, 54ltletrd 11376 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 0 < 𝐴)
5642, 41, 55ltled 11364 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ 0 ≀ 𝐴)
57 elfznn 13532 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5958nnrecred 12265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
6041, 56, 59recxpcld 26238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
61 chtval 26621 . . . . 5 ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
6260, 61syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
6362sumeq2dv 15651 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
64 ppifi 26617 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin)
65 fzfid 13940 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∈ Fin)
66 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
67 elfznn 13532 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
6866, 67anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•)))
70 0red 11219 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 0 ∈ ℝ)
71 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]𝐴) ∩ β„™) βŠ† β„™
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) βŠ† β„™)
7372sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
7473, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
7574nnred 12229 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
7674nngt0d 12263 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 0 < 𝑝)
7770, 75, 11, 76, 23ltletrd 11376 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 0 < 𝐴)
7877ex 413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) β†’ 0 < 𝐴))
7978adantrd 492 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) β†’ 0 < 𝐴))
8069, 79jcad 513 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)))
81 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8257, 81anim12ci 614 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
8382a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•)))
8455ex 413 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) β†’ 0 < 𝐴))
8584adantrd 492 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) β†’ 0 < 𝐴))
8683, 85jcad 513 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) β†’ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)))
87 elin 3964 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
88 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8988biantrud 532 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™)))
90 0red 11219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 ∈ ℝ)
91 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9288, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
9392nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
9492nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ β„•0)
9594nn0ge0d 12537 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝑝)
96 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ 𝐴))
9720, 96bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
9897baibd 540 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝 ≀ 𝐴))
9990, 91, 93, 95, 98syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝 ≀ 𝐴))
10089, 99bitr3d 280 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ↔ 𝑝 ≀ 𝐴))
10187, 100bitrid 282 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ↔ 𝑝 ≀ 𝐴))
102 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 < 𝐴)
10391, 102elrpd 13015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
104103relogcld 26138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
10588, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
106105, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 1 < 𝑝)
10793, 106rplogcld 26144 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
108104, 107rerpdivcld 13049 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
109 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
110109nnzd 12587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
111 flge 13772 . . . . . . . . . 10 ((((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
112108, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
113109nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
11492, 113nnexpcld 14210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„•)
115114nnrpd 13016 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
116115, 103logled 26142 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ (logβ€˜(π‘β†‘π‘˜)) ≀ (logβ€˜π΄)))
11792nnrpd 13016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
118 relogexp 26111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (logβ€˜(π‘β†‘π‘˜)) = (π‘˜ Β· (logβ€˜π‘)))
119117, 110, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (logβ€˜(π‘β†‘π‘˜)) = (π‘˜ Β· (logβ€˜π‘)))
120119breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((logβ€˜(π‘β†‘π‘˜)) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ (π‘˜ Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄)))
121109nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
122121, 104, 107lemuldivd 13067 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘˜ Β· (logβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ π‘˜ ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
123116, 120, 1223bitrd 304 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ π‘˜ ≀ ((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))
124 nnuz 12867 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
125109, 124eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
126108flcld 13765 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„€)
127 elfz5 13495 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))) ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
128125, 126, 127syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))
129112, 123, 1283bitr4rd 311 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))) ↔ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴))
130101, 129anbi12d 631 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) ↔ (𝑝 ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴)))
13191flcld 13765 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„€)
132 elfz5 13495 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
133125, 131, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
134 flge 13772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ≀ 𝐴 ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
13591, 110, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝐴 ↔ π‘˜ ≀ (βŒŠβ€˜π΄)))
136133, 135bitr4d 281 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ↔ π‘˜ ≀ 𝐴))
137 elin 3964 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™) ↔ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∧ 𝑝 ∈ β„™))
13888biantrud 532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∧ 𝑝 ∈ β„™)))
139103rpge0d 13022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
140109nnrecred 12265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
14191, 139, 140recxpcld 26238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
142 elicc2 13391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)))))
143 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
144142, 143bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝) ∧ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)))))
145144baibd 540 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
14690, 141, 93, 95, 145syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ↔ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
147138, 146bitr3d 280 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ↔ 𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
14891, 139, 140cxpge0d 26239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 0 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)))
149109nnrpd 13016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
15093, 95, 141, 148, 149cxple2d 26242 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ≀ (𝐴↑𝑐(1 / π‘˜)) ↔ (π‘β†‘π‘π‘˜) ≀ ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))β†‘π‘π‘˜)))
15192nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ β„‚)
152 cxpexp 26183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘π‘˜) = (π‘β†‘π‘˜))
153151, 113, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘β†‘π‘π‘˜) = (π‘β†‘π‘˜))
154109nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
155109nnne0d 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ β‰  0)
156154, 155recid2d 11988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((1 / π‘˜) Β· π‘˜) = 1)
157156oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝐴↑𝑐((1 / π‘˜) Β· π‘˜)) = (𝐴↑𝑐1))
158103, 140, 154cxpmuld 26252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝐴↑𝑐((1 / π‘˜) Β· π‘˜)) = ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))β†‘π‘π‘˜))
15991recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
160159cxp1d 26221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
161157, 158, 1603eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))β†‘π‘π‘˜) = 𝐴)
162153, 161breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘π‘˜) ≀ ((𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))β†‘π‘π‘˜) ↔ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴))
163147, 150, 1623bitrd 304 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ (0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∧ 𝑝 ∈ β„™) ↔ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴))
164137, 163bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™) ↔ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴))
165136, 164anbi12d 631 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)) ↔ (π‘˜ ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴)))
166114nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
167 bernneq3 14196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ < (π‘β†‘π‘˜))
168105, 113, 167syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ < (π‘β†‘π‘˜))
169121, 166, 168ltled 11364 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ π‘˜ ≀ (π‘β†‘π‘˜))
170 letr 11310 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ≀ (π‘β†‘π‘˜) ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ π‘˜ ≀ 𝐴))
171121, 166, 91, 170syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘˜ ≀ (π‘β†‘π‘˜) ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ π‘˜ ≀ 𝐴))
172169, 171mpand 693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 β†’ π‘˜ ≀ 𝐴))
173172pm4.71rd 563 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ (π‘˜ ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴)))
174151exp1d 14108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝↑1) = 𝑝)
17592nnge1d 12262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 1 ≀ 𝑝)
17693, 175, 125leexp2ad 14219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ (𝑝↑1) ≀ (π‘β†‘π‘˜))
177174, 176eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ 𝑝 ≀ (π‘β†‘π‘˜))
178 letr 11310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((𝑝 ≀ (π‘β†‘π‘˜) ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴))
17993, 166, 91, 178syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ≀ (π‘β†‘π‘˜) ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴))
180177, 179mpand 693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 β†’ 𝑝 ≀ 𝐴))
181180pm4.71rd 563 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴 ↔ (𝑝 ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴)))
182165, 173, 1813bitr2rd 307 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ≀ 𝐴 ∧ (π‘β†‘π‘˜) ≀ 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™))))
183130, 182bitrd 278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™))))
184183ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((𝑝 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 0 < 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)))))
18580, 86, 184pm5.21ndd 380 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))) ↔ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∧ 𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™))))
1868adantrr 715 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘)))))) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
18764, 65, 1, 185, 186fsumcom2 15722 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
18863, 187eqtr4d 2775 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((logβ€˜π΄) / (logβ€˜π‘))))(logβ€˜π‘))
18939, 40, 1883eqtr4d 2782 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π΄))(ΞΈβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  [,]cicc 13329  ...cfz 13486  βŒŠcfl 13757  β†‘cexp 14029  β™―chash 14292  Ξ£csu 15634  β„™cprime 16610  logclog 26070  β†‘𝑐ccxp 26071  ΞΈccht 26602  Οˆcchp 26604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-cht 26608  df-vma 26609  df-chp 26610
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