Theorem chtprm 27328

Description: The Chebyshev function at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = ((θ‘𝐴) + (log‘(𝐴 + 1))))

Proof of Theorem chtprm

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 12641	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3		zre 12601	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
5		chtval 27285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
7		ppisval 27279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
9		flid 13848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
10	2, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
11	10	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘(𝐴 + 1))) = (2...(𝐴 + 1)))
12	11	ineq1d 4171	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
13	8, 12	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
14	13	sumeq1d 15758	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
15	6, 14	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
16		zre 12601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	ltp1d 12151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
19	17, 4	ltnled 11363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴))
20	18, 19	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
21		elinel1 4153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴))
22		elfzle2 13562	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
23	21, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ) → (𝐴 + 1) ≤ 𝐴)
24	20, 23	nsyl 141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
25		disjsn 4676	. . . 4 ⊢ ((((2...𝐴) ∩ ℙ) ∩ {(𝐴 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
26	24, 25	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∩ {(𝐴 + 1)}) = ∅)
27		2z 12632	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
28		zcn 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		pncan 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
32	29, 30, 31	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
33		prmuz2 16760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℙ → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
34	33	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
35		uz2m1nn 12953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
37	32, 36	eqeltrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
38		nnuz 12907	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39		2m1e1 12371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39	fveq2i 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
41	38, 40	eqtr4i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
42	37, 41	eleqtrdi 2872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
43		fzsuc2 13617	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
44	27, 42, 43	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
45	44	ineq1d 4171	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ))
46		indir 4238	. . . . 5 ⊢ (((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ))
47	45, 46	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)))
48		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
49	48	snssd 4751	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → {(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ)
50		dfss2 3922	. . . . . 6 ⊢ ({(𝐴 + 1)} ⊆ ℙ ↔ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
51	49, 50	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ) = {(𝐴 + 1)})
52	51	uneq2d 4121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ ({(𝐴 + 1)} ∩ ℙ)) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
53	47, 52	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = (((2...𝐴) ∩ ℙ) ∪ {(𝐴 + 1)}))
54		fzfid 14016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(𝐴 + 1)) ∈ Fin)
55		inss1 4188	. . . 4 ⊢ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(𝐴 + 1))
56		ssfi 9155	. . . 4 ⊢ (((2...(𝐴 + 1)) ∈ Fin ∧ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(𝐴 + 1))) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
57	54, 55, 56	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
58		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
59	58	elin2d 4157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
60		prmnn 16738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
61	59, 60	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
62	61	nnrpd 13064	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
63	62	relogcld 26799	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
64	63	recnd 11243	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
65	26, 53, 57, 64	fsumsplit 15799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (log‘𝑝)))
66		chtval 27285	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
67	17, 66	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
68		ppisval 27279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
69	17, 68	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
70		flid 13848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
71	70	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
72	71	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘𝐴)) = (2...𝐴))
73	72	ineq1d 4171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
74	69, 73	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
75	74	sumeq1d 15758	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
76	67, 75	eqtr2d 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (θ‘𝐴))
77		prmnn 16738	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℙ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
78	77	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
79	78	nnrpd 13064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
80	79	relogcld 26799	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
82		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝐴 + 1) → (log‘𝑝) = (log‘(𝐴 + 1)))
83	82	sumsn 15804	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (log‘𝑝) = (log‘(𝐴 + 1)))
84	78, 81, 83	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (log‘𝑝) = (log‘(𝐴 + 1)))
85	76, 84	oveq12d 7430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (log‘𝑝)) = ((θ‘𝐴) + (log‘(𝐴 + 1))))
86	15, 65, 85	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = ((θ‘𝐴) + (log‘(𝐴 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  ℕcn 12239  2c2 12301  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  [,]cicc 13381  ...cfz 13541  ⌊cfl 13830  Σcsu 15744  ℙcprime 16735  logclog 26730  θccht 27266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-dvds 16317  df-prm 16736  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-cht 27272

This theorem is used by:  cht2  27347  cht3  27348