MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtprm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chtprm 26646
Description: The Chebyshev function at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtprm ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = ((ΞΈβ€˜π΄) + (logβ€˜(𝐴 + 1))))
Proof of Theorem chtprm
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 12599 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„€)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„€)
3 zre 12558 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ β„€ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
5 chtval 26603 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
7 ppisval 26597 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ β†’ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(𝐴 + 1))) ∩ β„™))
84, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(𝐴 + 1))) ∩ β„™))
9 flid 13769 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 1) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
102, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
1110oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (2...(βŒŠβ€˜(𝐴 + 1))) = (2...(𝐴 + 1)))
1211ineq1d 4210 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(βŒŠβ€˜(𝐴 + 1))) ∩ β„™) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™))
138, 12eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™))
1413sumeq1d 15643 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
156, 14eqtrd 2772 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
16 zre 12558 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1817ltp1d 12140 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 < (𝐴 + 1))
1917, 4ltnled 11357 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ Β¬ (𝐴 + 1) ≀ 𝐴))
2018, 19mpbid 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Β¬ (𝐴 + 1) ≀ 𝐴)
21 elinel1 4194 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴))
22 elfzle2 13501 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴) β†’ (𝐴 + 1) ≀ 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ≀ 𝐴)
2420, 23nsyl 140 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Β¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™))
25 disjsn 4714 . . . 4 ((((2...𝐴) ∩ β„™) ∩ {(𝐴 + 1)}) = βˆ… ↔ Β¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™))
2624, 25sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (((2...𝐴) ∩ β„™) ∩ {(𝐴 + 1)}) = βˆ…)
27 2z 12590 . . . . . . 7 2 ∈ β„€
28 zcn 12559 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
30 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
31 pncan 11462 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 + 1) βˆ’ 1) = 𝐴)
3229, 30, 31sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((𝐴 + 1) βˆ’ 1) = 𝐴)
33 prmuz2 16629 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 1) ∈ β„™ β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3433adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
35 uz2m1nn 12903 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((𝐴 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
3732, 36eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
38 nnuz 12861 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
39 2m1e1 12334 . . . . . . . . . 10 (2 βˆ’ 1) = 1
4039fveq2i 6891 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜(2 βˆ’ 1)) = (β„€β‰₯β€˜1)
4138, 40eqtr4i 2763 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜(2 βˆ’ 1))
4237, 41eleqtrdi 2843 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜(2 βˆ’ 1)))
43 fzsuc2 13555 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜(2 βˆ’ 1))) β†’ (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) βˆͺ {(𝐴 + 1)}))
4427, 42, 43sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) βˆͺ {(𝐴 + 1)}))
4544ineq1d 4210 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) = (((2...𝐴) βˆͺ {(𝐴 + 1)}) ∩ β„™))
46 indir 4274 . . . . 5 (((2...𝐴) βˆͺ {(𝐴 + 1)}) ∩ β„™) = (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™))
4745, 46eqtrdi 2788 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) = (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™)))
48 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„™)
4948snssd 4811 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ {(𝐴 + 1)} βŠ† β„™)
50 df-ss 3964 . . . . . 6 ({(𝐴 + 1)} βŠ† β„™ ↔ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™) = {(𝐴 + 1)})
5149, 50sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™) = {(𝐴 + 1)})
5251uneq2d 4162 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™)) = (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ {(𝐴 + 1)}))
5347, 52eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) = (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ {(𝐴 + 1)}))
54 fzfid 13934 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (2...(𝐴 + 1)) ∈ Fin)
55 inss1 4227 . . . 4 ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) βŠ† (2...(𝐴 + 1))
56 ssfi 9169 . . . 4 (((2...(𝐴 + 1)) ∈ Fin ∧ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) βŠ† (2...(𝐴 + 1))) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) ∈ Fin)
5754, 55, 56sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) ∈ Fin)
58 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™))
5958elin2d 4198 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
60 prmnn 16607 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
6261nnrpd 13010 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
6362relogcld 26122 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
6463recnd 11238 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
6526, 53, 57, 64fsumsplit 15683 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = (Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (logβ€˜π‘)))
66 chtval 26603 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
6717, 66syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
68 ppisval 26597 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
6917, 68syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
70 flid 13769 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
7170adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
7271oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (2...(βŒŠβ€˜π΄)) = (2...𝐴))
7372ineq1d 4210 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((2...𝐴) ∩ β„™))
7469, 73eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((2...𝐴) ∩ β„™))
7574sumeq1d 15643 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
7667, 75eqtr2d 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = (ΞΈβ€˜π΄))
77 prmnn 16607 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ β„™ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7877adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7978nnrpd 13010 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
8079relogcld 26122 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8180recnd 11238 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ∈ β„‚)
82 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑝 = (𝐴 + 1) β†’ (logβ€˜π‘) = (logβ€˜(𝐴 + 1)))
8382sumsn 15688 . . . 4 (((𝐴 + 1) ∈ β„• ∧ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (logβ€˜π‘) = (logβ€˜(𝐴 + 1)))
8478, 81, 83syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (logβ€˜π‘) = (logβ€˜(𝐴 + 1)))
8576, 84oveq12d 7423 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (logβ€˜π‘)) = ((ΞΈβ€˜π΄) + (logβ€˜(𝐴 + 1))))
8615, 65, 853eqtrd 2776 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = ((ΞΈβ€˜π΄) + (logβ€˜(𝐴 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  βŒŠcfl 13751  Ξ£csu 15628  β„™cprime 16604  logclog 26054  ΞΈccht 26584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-prm 16605  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cht 26590
This theorem is referenced by:  cht2  26665  cht3  26666
  Copyright terms: Public domain W3C validator