MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtprm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chtprm 26657
Description: The Chebyshev function at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtprm ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = ((ΞΈβ€˜π΄) + (logβ€˜(𝐴 + 1))))
Proof of Theorem chtprm
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 12603 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„€)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„€)
3 zre 12562 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ β„€ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
5 chtval 26614 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
7 ppisval 26608 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ β†’ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(𝐴 + 1))) ∩ β„™))
84, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(𝐴 + 1))) ∩ β„™))
9 flid 13773 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 1) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
102, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
1110oveq2d 7425 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (2...(βŒŠβ€˜(𝐴 + 1))) = (2...(𝐴 + 1)))
1211ineq1d 4212 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(βŒŠβ€˜(𝐴 + 1))) ∩ β„™) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™))
138, 12eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™))
1413sumeq1d 15647 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
156, 14eqtrd 2773 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
16 zre 12562 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1716adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1817ltp1d 12144 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 < (𝐴 + 1))
1917, 4ltnled 11361 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 < (𝐴 + 1) ↔ Β¬ (𝐴 + 1) ≀ 𝐴))
2018, 19mpbid 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Β¬ (𝐴 + 1) ≀ 𝐴)
21 elinel1 4196 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴))
22 elfzle2 13505 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ (2...𝐴) β†’ (𝐴 + 1) ≀ 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ≀ 𝐴)
2420, 23nsyl 140 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Β¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™))
25 disjsn 4716 . . . 4 ((((2...𝐴) ∩ β„™) ∩ {(𝐴 + 1)}) = βˆ… ↔ Β¬ (𝐴 + 1) ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™))
2624, 25sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (((2...𝐴) ∩ β„™) ∩ {(𝐴 + 1)}) = βˆ…)
27 2z 12594 . . . . . . 7 2 ∈ β„€
28 zcn 12563 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2928adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
30 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
31 pncan 11466 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 + 1) βˆ’ 1) = 𝐴)
3229, 30, 31sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((𝐴 + 1) βˆ’ 1) = 𝐴)
33 prmuz2 16633 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 1) ∈ β„™ β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3433adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
35 uz2m1nn 12907 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((𝐴 + 1) βˆ’ 1) ∈ β„•)
3732, 36eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
38 nnuz 12865 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
39 2m1e1 12338 . . . . . . . . . 10 (2 βˆ’ 1) = 1
4039fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜(2 βˆ’ 1)) = (β„€β‰₯β€˜1)
4138, 40eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜(2 βˆ’ 1))
4237, 41eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜(2 βˆ’ 1)))
43 fzsuc2 13559 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜(2 βˆ’ 1))) β†’ (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) βˆͺ {(𝐴 + 1)}))
4427, 42, 43sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) βˆͺ {(𝐴 + 1)}))
4544ineq1d 4212 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) = (((2...𝐴) βˆͺ {(𝐴 + 1)}) ∩ β„™))
46 indir 4276 . . . . 5 (((2...𝐴) βˆͺ {(𝐴 + 1)}) ∩ β„™) = (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™))
4745, 46eqtrdi 2789 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) = (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™)))
48 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„™)
4948snssd 4813 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ {(𝐴 + 1)} βŠ† β„™)
50 df-ss 3966 . . . . . 6 ({(𝐴 + 1)} βŠ† β„™ ↔ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™) = {(𝐴 + 1)})
5149, 50sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™) = {(𝐴 + 1)})
5251uneq2d 4164 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ ({(𝐴 + 1)} ∩ β„™)) = (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ {(𝐴 + 1)}))
5347, 52eqtrd 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) = (((2...𝐴) ∩ β„™) βˆͺ {(𝐴 + 1)}))
54 fzfid 13938 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (2...(𝐴 + 1)) ∈ Fin)
55 inss1 4229 . . . 4 ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) βŠ† (2...(𝐴 + 1))
56 ssfi 9173 . . . 4 (((2...(𝐴 + 1)) ∈ Fin ∧ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) βŠ† (2...(𝐴 + 1))) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) ∈ Fin)
5754, 55, 56sylancl 587 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™) ∈ Fin)
58 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™))
5958elin2d 4200 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
60 prmnn 16611 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
6261nnrpd 13014 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
6362relogcld 26131 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
6463recnd 11242 . . 3 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) ∧ 𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
6526, 53, 57, 64fsumsplit 15687 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = (Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (logβ€˜π‘)))
66 chtval 26614 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
6717, 66syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
68 ppisval 26608 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
6917, 68syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
70 flid 13773 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
7170adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
7271oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (2...(βŒŠβ€˜π΄)) = (2...𝐴))
7372ineq1d 4212 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((2...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((2...𝐴) ∩ β„™))
7469, 73eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((2...𝐴) ∩ β„™))
7574sumeq1d 15647 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
7667, 75eqtr2d 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = (ΞΈβ€˜π΄))
77 prmnn 16611 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ β„™ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7877adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7978nnrpd 13014 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
8079relogcld 26131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8180recnd 11242 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ∈ β„‚)
82 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑝 = (𝐴 + 1) β†’ (logβ€˜π‘) = (logβ€˜(𝐴 + 1)))
8382sumsn 15692 . . . 4 (((𝐴 + 1) ∈ β„• ∧ (logβ€˜(𝐴 + 1)) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (logβ€˜π‘) = (logβ€˜(𝐴 + 1)))
8478, 81, 83syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (logβ€˜π‘) = (logβ€˜(𝐴 + 1)))
8576, 84oveq12d 7427 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (Σ𝑝 ∈ ((2...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ {(𝐴 + 1)} (logβ€˜π‘)) = ((ΞΈβ€˜π΄) + (logβ€˜(𝐴 + 1))))
8615, 65, 853eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„™) β†’ (ΞΈβ€˜(𝐴 + 1)) = ((ΞΈβ€˜π΄) + (logβ€˜(𝐴 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  Ξ£csu 15632  β„™cprime 16608  logclog 26063  ΞΈccht 26595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cht 26601
This theorem is referenced by:  cht2  26676  cht3  26677
  Copyright terms: Public domain W3C validator