Theorem prmorcht 26232

Description: Relate the primorial (product of the first 𝑛 primes) to the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmorcht.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))

Assertion

Ref	Expression
prmorcht	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem prmorcht

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		chtval 26164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
4		2eluzge1 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
5		ppisval2 26159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6	1, 4, 5	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7		nnz 12272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8		flid 13456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
10	9	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝐴)) = (1...𝐴))
11	10	ineq1d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
12	6, 11	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
13	12	sumeq1d 15341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
14		inss1 4159	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
15		elinel1 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ (1...𝐴))
16		elfznn 13214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 25683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
21	15, 20	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22	21	ralrimiva 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ)
23		fzfi 13620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
24	23	olci 862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
25		sumss2 15366	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
26	24, 25	mpan2 687	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
27	14, 22, 26	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
28	13, 27	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
29	3, 28	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
30		elin 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
31	30	baibr 536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)))
32	31	ifbid 4479	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
33	32	sumeq2i 15339	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0)
34	29, 33	eqtr4di 2797	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
35		eleq1w 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
36		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘𝑛) = (log‘𝑘))
37	35, 36	ifbieq1d 4480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
38		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))
39		fvex 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘𝑘) ∈ V
40		0cn 10898	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
41	40	elexi 3441	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
42	39, 41	ifex 4506	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ V
43	37, 38, 42	fvmpt 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
44	17, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
45		elnnuz 12551	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
46	45	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
47		ifcl 4501	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
48	20, 40, 47	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
49	44, 46, 48	fsumser 15370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
50	34, 49	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
51	50	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)))
52		addcl 10884	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
53	52	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
54	44, 48	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) ∈ ℂ)
55		efadd 15731	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
56	55	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
57		1nn 11914	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
58		ifcl 4501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
59	17, 57, 58	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 12699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ+)
61	60	reeflogd 25684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
62		fvif 6772	. . . . . . 7 ⊢ (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1))
63		log1 25646	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
64		ifeq2 4461	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘1) = 0 → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
66	62, 65	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
67	44, 66	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
68	67	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))))
69		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
70	35, 69	ifbieq1d 4480	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
71		prmorcht.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
72		vex 3426	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
73	57	elexi 3441	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
74	72, 73	ifex 4506	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
75	70, 71, 74	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
76	17, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
77	61, 68, 76	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
78	53, 54, 46, 56, 77	seqhomo 13698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))
79	51, 78	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  [,]cicc 13011  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438  seqcseq 13649  Σcsu 15325  expce 15699  ℙcprime 16304  logclog 25615  θccht 26145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-prm 16305  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cht 26151

This theorem is referenced by:  chtublem  26264  bposlem6  26342