MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmorcht Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmorcht 26527
Description: Relate the primorial (product of the first 𝑛 primes) to the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmorcht.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
Assertion
Ref Expression
prmorcht (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem prmorcht
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 12160 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 chtval 26459 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
4 2eluzge1 12819 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (ℤ‘1)
5 ppisval2 26454 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘1)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
61, 4, 5sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7 nnz 12520 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8 flid 13713 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
109oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝐴)) = (1...𝐴))
1110ineq1d 4171 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
126, 11eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
1312sumeq1d 15586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
14 inss1 4188 . . . . . . . 8 ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
15 elinel1 4155 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ (1...𝐴))
16 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1817nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
1918relogcld 25978 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
2019recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
2115, 20sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
2221ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ)
23 fzfi 13877 . . . . . . . . . 10 (1...𝐴) ∈ Fin
2423olci 864 . . . . . . . . 9 ((1...𝐴) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
25 sumss2 15611 . . . . . . . . 9 (((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
2624, 25mpan2 689 . . . . . . . 8 ((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
2714, 22, 26sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
2813, 27eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
293, 28eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
30 elin 3926 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
3130baibr 537 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)))
3231ifbid 4509 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
3332sumeq2i 15584 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0)
3429, 33eqtr4di 2794 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
35 eleq1w 2820 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
36 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (log‘𝑛) = (log‘𝑘))
3735, 36ifbieq1d 4510 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
38 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))
39 fvex 6855 . . . . . . . 8 (log‘𝑘) ∈ V
40 0cn 11147 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
4140elexi 3464 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4239, 41ifex 4536 . . . . . . 7 if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ V
4337, 38, 42fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
4417, 43syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
45 elnnuz 12807 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
4645biimpi 215 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
47 ifcl 4531 . . . . . 6 (((log‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
4820, 40, 47sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
4944, 46, 48fsumser 15615 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
5034, 49eqtrd 2776 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
5150fveq2d 6846 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)))
52 addcl 11133 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
5352adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
5444, 48eqeltrd 2838 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) ∈ ℂ)
55 efadd 15976 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
5655adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
57 1nn 12164 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
58 ifcl 4531 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
5917, 57, 58sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
6059nnrpd 12955 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ+)
6160reeflogd 25979 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
62 fvif 6858 . . . . . . 7 (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1))
63 log1 25941 . . . . . . . 8 (log‘1) = 0
64 ifeq2 4491 . . . . . . . 8 ((log‘1) = 0 → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
6662, 65eqtri 2764 . . . . . 6 (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
6744, 66eqtr4di 2794 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
6867fveq2d 6846 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
7035, 69ifbieq1d 4510 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
71 prmorcht.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
72 vex 3449 . . . . . . 7 𝑘 ∈ V
7357elexi 3464 . . . . . . 7 1 ∈ V
7472, 73ifex 4536 . . . . . 6 if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
7570, 71, 74fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
7617, 75syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
7761, 68, 763eqtr4d 2786 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (𝐹𝑘))
7853, 54, 46, 56, 77seqhomo 13955 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))
7951, 78eqtrd 2776 1 (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cfl 13695  seqcseq 13906  Σcsu 15570  expce 15944  cprime 16547  logclog 25910  θccht 26440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-prm 16548  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cht 26446
This theorem is referenced by:  chtublem  26559  bposlem6  26637
  Copyright terms: Public domain W3C validator