Theorem prmorcht 26060

Description: Relate the primorial (product of the first 𝑛 primes) to the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmorcht.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))

Assertion

Ref	Expression
prmorcht	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem prmorcht

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		chtval 25992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
4		2eluzge1 12490	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
5		ppisval2 25987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6	1, 4, 5	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7		nnz 12199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8		flid 13383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
10	9	oveq2d 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝐴)) = (1...𝐴))
11	10	ineq1d 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
12	6, 11	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
13	12	sumeq1d 15265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
14		inss1 4143	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
15		elinel1 4109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ (1...𝐴))
16		elfznn 13141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
17	16	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 25511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
21	15, 20	sylan2 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22	21	ralrimiva 3105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ)
23		fzfi 13545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
24	23	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
25		sumss2 15290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
26	24, 25	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
27	14, 22, 26	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
28	13, 27	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
29	3, 28	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
30		elin 3882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
31	30	baibr 540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)))
32	31	ifbid 4462	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
33	32	sumeq2i 15263	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0)
34	29, 33	eqtr4di 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
35		eleq1w 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
36		fveq2 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘𝑛) = (log‘𝑘))
37	35, 36	ifbieq1d 4463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
38		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))
39		fvex 6730	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘𝑘) ∈ V
40		0cn 10825	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
41	40	elexi 3427	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
42	39, 41	ifex 4489	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ V
43	37, 38, 42	fvmpt 6818	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
44	17, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
45		elnnuz 12478	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
46	45	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
47		ifcl 4484	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
48	20, 40, 47	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
49	44, 46, 48	fsumser 15294	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
50	34, 49	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
51	50	fveq2d 6721	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)))
52		addcl 10811	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
53	52	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
54	44, 48	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) ∈ ℂ)
55		efadd 15655	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
56	55	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
57		1nn 11841	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
58		ifcl 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
59	17, 57, 58	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 12626	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ+)
61	60	reeflogd 25512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
62		fvif 6733	. . . . . . 7 ⊢ (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1))
63		log1 25474	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
64		ifeq2 4444	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘1) = 0 → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
66	62, 65	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
67	44, 66	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
68	67	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))))
69		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
70	35, 69	ifbieq1d 4463	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
71		prmorcht.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
72		vex 3412	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
73	57	elexi 3427	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
74	72, 73	ifex 4489	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
75	70, 71, 74	fvmpt 6818	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
76	17, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
77	61, 68, 76	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
78	53, 54, 46, 56, 77	seqhomo 13623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))
79	51, 78	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ifcif 4439   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  ℕcn 11830  2c2 11885  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  [,]cicc 12938  ...cfz 13095  ⌊cfl 13365  seqcseq 13574  Σcsu 15249  expce 15623  ℙcprime 16228  logclog 25443  θccht 25973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-prm 16229  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-cht 25979

This theorem is referenced by:  chtublem  26092  bposlem6  26170