MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmorcht Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prmorcht 26919
Description: Relate the primorial (product of the first 𝑛 primes) to the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmorcht.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
Assertion
Ref Expression
prmorcht (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))
Proof of Theorem prmorcht
Dummy variables π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 12224 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 chtval 26851 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
4 2eluzge1 12883 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
5 ppisval2 26846 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
61, 4, 5sylancl 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
7 nnz 12584 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ β„€)
8 flid 13778 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
109oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„• β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) = (1...𝐴))
1110ineq1d 4211 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((1...𝐴) ∩ β„™))
126, 11eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...𝐴) ∩ β„™))
1312sumeq1d 15652 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
14 inss1 4228 . . . . . . . 8 ((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴)
15 elinel1 4195 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐴))
16 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1817nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1918relogcld 26368 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2019recnd 11247 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2115, 20sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2221ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 fzfi 13942 . . . . . . . . . 10 (1...𝐴) ∈ Fin
2423olci 863 . . . . . . . . 9 ((1...𝐴) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
25 sumss2 15677 . . . . . . . . 9 (((((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ ((1...𝐴) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2624, 25mpan2 688 . . . . . . . 8 ((((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2714, 22, 26sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2813, 27eqtrd 2771 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
293, 28eqtrd 2771 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
30 elin 3964 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™) ↔ (π‘˜ ∈ (1...𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„™))
3130baibr 536 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)))
3231ifbid 4551 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
3332sumeq2i 15650 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0)
3429, 33eqtr4di 2789 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
35 eleq1w 2815 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
36 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (logβ€˜π‘›) = (logβ€˜π‘˜))
3735, 36ifbieq1d 4552 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
38 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))
39 fvex 6904 . . . . . . . 8 (logβ€˜π‘˜) ∈ V
40 0cn 11211 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
4140elexi 3493 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4239, 41ifex 4578 . . . . . . 7 if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ V
4337, 38, 42fvmpt 6998 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
4417, 43syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
45 elnnuz 12871 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• ↔ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4645biimpi 215 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
47 ifcl 4573 . . . . . 6 (((logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
4820, 40, 47sylancl 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
4944, 46, 48fsumser 15681 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄))
5034, 49eqtrd 2771 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄))
5150fveq2d 6895 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (expβ€˜(seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄)))
52 addcl 11195 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + 𝑝) ∈ β„‚)
5352adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + 𝑝) ∈ β„‚)
5444, 48eqeltrd 2832 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
55 efadd 16042 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘˜ + 𝑝)) = ((expβ€˜π‘˜) Β· (expβ€˜π‘)))
5655adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚)) β†’ (expβ€˜(π‘˜ + 𝑝)) = ((expβ€˜π‘˜) Β· (expβ€˜π‘)))
57 1nn 12228 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
58 ifcl 4573 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
5917, 57, 58sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
6059nnrpd 13019 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ ℝ+)
6160reeflogd 26369 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
62 fvif 6907 . . . . . . 7 (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1))
63 log1 26331 . . . . . . . 8 (logβ€˜1) = 0
64 ifeq2 4533 . . . . . . . 8 ((logβ€˜1) = 0 β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0)
6662, 65eqtri 2759 . . . . . 6 (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0)
6744, 66eqtr4di 2789 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)))
6867fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜)) = (expβ€˜(logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝑛 = π‘˜)
7035, 69ifbieq1d 4552 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
71 prmorcht.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
72 vex 3477 . . . . . . 7 π‘˜ ∈ V
7357elexi 3493 . . . . . . 7 1 ∈ V
7472, 73ifex 4578 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ V
7570, 71, 74fvmpt 6998 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
7617, 75syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
7761, 68, 763eqtr4d 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7853, 54, 46, 56, 77seqhomo 14020 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))
7951, 78eqtrd 2771 1 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118  β„•cn 12217  2c2 12272  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  seqcseq 13971  Ξ£csu 15637  expce 16010  β„™cprime 16613  logclog 26300  ΞΈccht 26832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-prm 16614  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cht 26838
This theorem is referenced by:  chtublem  26951  bposlem6  27029
  Copyright terms: Public domain W3C validator