MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmorcht Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmorcht 26918
Description: Relate the primorial (product of the first 𝑛 primes) to the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmorcht.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
Assertion
Ref Expression
prmorcht (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))

Proof of Theorem prmorcht
Dummy variables π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 12223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 chtval 26850 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
4 2eluzge1 12882 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
5 ppisval2 26845 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
61, 4, 5sylancl 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
7 nnz 12583 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ β„€)
8 flid 13777 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
109oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„• β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) = (1...𝐴))
1110ineq1d 4210 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((1...𝐴) ∩ β„™))
126, 11eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...𝐴) ∩ β„™))
1312sumeq1d 15651 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
14 inss1 4227 . . . . . . . 8 ((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴)
15 elinel1 4194 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐴))
16 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1716adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1817nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1918relogcld 26367 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2019recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2115, 20sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2221ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 fzfi 13941 . . . . . . . . . 10 (1...𝐴) ∈ Fin
2423olci 862 . . . . . . . . 9 ((1...𝐴) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
25 sumss2 15676 . . . . . . . . 9 (((((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ ((1...𝐴) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2624, 25mpan2 687 . . . . . . . 8 ((((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2714, 22, 26sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2813, 27eqtrd 2770 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
293, 28eqtrd 2770 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
30 elin 3963 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™) ↔ (π‘˜ ∈ (1...𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„™))
3130baibr 535 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)))
3231ifbid 4550 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
3332sumeq2i 15649 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0)
3429, 33eqtr4di 2788 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
35 eleq1w 2814 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
36 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (logβ€˜π‘›) = (logβ€˜π‘˜))
3735, 36ifbieq1d 4551 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
38 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))
39 fvex 6903 . . . . . . . 8 (logβ€˜π‘˜) ∈ V
40 0cn 11210 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
4140elexi 3492 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4239, 41ifex 4577 . . . . . . 7 if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ V
4337, 38, 42fvmpt 6997 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
4417, 43syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
45 elnnuz 12870 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• ↔ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4645biimpi 215 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
47 ifcl 4572 . . . . . 6 (((logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
4820, 40, 47sylancl 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
4944, 46, 48fsumser 15680 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄))
5034, 49eqtrd 2770 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄))
5150fveq2d 6894 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (expβ€˜(seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄)))
52 addcl 11194 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + 𝑝) ∈ β„‚)
5352adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + 𝑝) ∈ β„‚)
5444, 48eqeltrd 2831 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
55 efadd 16041 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘˜ + 𝑝)) = ((expβ€˜π‘˜) Β· (expβ€˜π‘)))
5655adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚)) β†’ (expβ€˜(π‘˜ + 𝑝)) = ((expβ€˜π‘˜) Β· (expβ€˜π‘)))
57 1nn 12227 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
58 ifcl 4572 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
5917, 57, 58sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
6059nnrpd 13018 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ ℝ+)
6160reeflogd 26368 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
62 fvif 6906 . . . . . . 7 (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1))
63 log1 26330 . . . . . . . 8 (logβ€˜1) = 0
64 ifeq2 4532 . . . . . . . 8 ((logβ€˜1) = 0 β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0)
6662, 65eqtri 2758 . . . . . 6 (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0)
6744, 66eqtr4di 2788 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)))
6867fveq2d 6894 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜)) = (expβ€˜(logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝑛 = π‘˜)
7035, 69ifbieq1d 4551 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
71 prmorcht.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
72 vex 3476 . . . . . . 7 π‘˜ ∈ V
7357elexi 3492 . . . . . . 7 1 ∈ V
7472, 73ifex 4577 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ V
7570, 71, 74fvmpt 6997 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
7617, 75syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
7761, 68, 763eqtr4d 2780 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7853, 54, 46, 56, 77seqhomo 14019 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))
7951, 78eqtrd 2770 1 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  βŒŠcfl 13759  seqcseq 13970  Ξ£csu 15636  expce 16009  β„™cprime 16612  logclog 26299  ΞΈccht 26831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-prm 16613  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cht 26837
This theorem is referenced by:  chtublem  26950  bposlem6  27028
  Copyright terms: Public domain W3C validator