Theorem prmorcht 27141

Description: Relate the primorial (product of the first 𝑛 primes) to the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmorcht.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))

Assertion

Ref	Expression
prmorcht	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem prmorcht

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12181	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		chtval 27073	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
4		2eluzge1 12832	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
5		ppisval2 27068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6	1, 4, 5	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7		nnz 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8		flid 13767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
10	9	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝐴)) = (1...𝐴))
11	10	ineq1d 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
12	6, 11	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
13	12	sumeq1d 15662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
14		inss1 4177	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
15		elinel1 4141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ (1...𝐴))
16		elfznn 13507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 26587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
21	15, 20	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22	21	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ)
23		fzfi 13934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
24	23	olci 867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
25		sumss2 15688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
26	24, 25	mpan2 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
27	14, 22, 26	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
28	13, 27	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
29	3, 28	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
30		elin 3905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
31	30	baibr 536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)))
32	31	ifbid 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
33	32	sumeq2i 15660	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0)
34	29, 33	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
35		eleq1w 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
36		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘𝑛) = (log‘𝑘))
37	35, 36	ifbieq1d 4491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
38		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))
39		fvex 6853	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘𝑘) ∈ V
40		0cn 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
41	40	elexi 3452	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
42	39, 41	ifex 4517	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ V
43	37, 38, 42	fvmpt 6947	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
44	17, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
45		elnnuz 12828	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
46	45	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
47		ifcl 4512	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
48	20, 40, 47	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
49	44, 46, 48	fsumser 15692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
50	34, 49	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
51	50	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)))
52		addcl 11120	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
53	52	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
54	44, 48	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) ∈ ℂ)
55		efadd 16059	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
56	55	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
57		1nn 12185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
58		ifcl 4512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
59	17, 57, 58	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 12984	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ+)
61	60	reeflogd 26588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
62		fvif 6856	. . . . . . 7 ⊢ (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1))
63		log1 26549	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
64		ifeq2 4471	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘1) = 0 → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
66	62, 65	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
67	44, 66	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
68	67	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))))
69		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
70	35, 69	ifbieq1d 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
71		prmorcht.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
72		vex 3433	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
73	57	elexi 3452	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
74	72, 73	ifex 4517	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
75	70, 71, 74	fvmpt 6947	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
76	17, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
77	61, 68, 76	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
78	53, 54, 46, 56, 77	seqhomo 14011	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))
79	51, 78	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  [,]cicc 13301  ...cfz 13461  ⌊cfl 13749  seqcseq 13963  Σcsu 15648  expce 16026  ℙcprime 16640  logclog 26518  θccht 27054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-dvds 16222  df-prm 16641  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-cht 27060

This theorem is referenced by:  chtublem  27174  bposlem6  27252