Theorem prmorcht 25472

Description: Relate the primorial (product of the first 𝑛 primes) to the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmorcht.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))

Assertion

Ref	Expression
prmorcht	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem prmorcht

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		chtval 25404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
4		2eluzge1 12106	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
5		ppisval2 25399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6	1, 4, 5	sylancl 578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7		nnz 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
8		flid 12991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
10	9	oveq2d 6990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1...(⌊‘𝐴)) = (1...𝐴))
11	10	ineq1d 4069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
12	6, 11	eqtrd 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((1...𝐴) ∩ ℙ))
13	12	sumeq1d 14916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘))
14		inss1 4086	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
15		elinel1 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) → 𝑘 ∈ (1...𝐴))
16		elfznn 12750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
17	16	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
19	18	relogcld 24922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
21	15, 20	sylan2 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22	21	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ)
23		fzfi 13153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
24	23	olci 853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
25		sumss2 14941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
26	24, 25	mpan2 679	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
27	14, 22, 26	sylancr 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
28	13, 27	eqtrd 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
29	3, 28	eqtrd 2807	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
30		elin 4051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
31	30	baibr 529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)))
32	31	ifbid 4366	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0))
33	32	sumeq2i 14914	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘𝑘), 0)
34	29, 33	syl6eqr 2825	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
35		eleq1w 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
36		fveq2 6496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (log‘𝑛) = (log‘𝑘))
37	35, 36	ifbieq1d 4367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
38		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))
39		fvex 6509	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘𝑘) ∈ V
40		0cn 10429	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
41	40	elexi 3427	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
42	39, 41	ifex 4392	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ V
43	37, 38, 42	fvmpt 6593	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
44	17, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
45		elnnuz 12094	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
46	45	biimpi 208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
47		ifcl 4388	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
48	20, 40, 47	sylancl 578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) ∈ ℂ)
49	44, 46, 48	fsumser 14945	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝐴)if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
50	34, 49	eqtrd 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (θ‘𝐴) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴))
51	50	fveq2d 6500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)))
52		addcl 10415	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
53	52	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑝) ∈ ℂ)
54	44, 48	eqeltrd 2859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) ∈ ℂ)
55		efadd 15305	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
56	55	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑘 + 𝑝)) = ((exp‘𝑘) · (exp‘𝑝)))
57		1nn 11450	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
58		ifcl 4388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
59	17, 57, 58	sylancl 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 12244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℝ+)
61	60	reeflogd 24923	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
62		fvif 6512	. . . . . . 7 ⊢ (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1))
63		log1 24885	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
64		ifeq2 4349	. . . . . . . 8 ⊢ ((log‘1) = 0 → if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), (log‘1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
66	62, 65	eqtri 2795	. . . . . 6 ⊢ (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, (log‘𝑘), 0)
67	44, 66	syl6eqr 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘) = (log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1)))
68	67	fveq2d 6500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (exp‘(log‘if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))))
69		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
70	35, 69	ifbieq1d 4367	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
71		prmorcht.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, 𝑛, 1))
72		vex 3411	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
73	57	elexi 3427	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
74	72, 73	ifex 4392	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
75	70, 71, 74	fvmpt 6593	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
76	17, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
77	61, 68, 76	3eqtr4d 2817	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → (exp‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0))‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
78	53, 54, 46, 56, 77	seqhomo 13230	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (log‘𝑛), 0)))‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))
79	51, 78	eqtrd 2807	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(θ‘𝐴)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ wo 834   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081   ∩ cin 3821   ⊆ wss 3822  ifcif 4344   ↦ cmpt 5004  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  Fincfn 8304  ℂcc 10331  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338  ℕcn 11437  2c2 11493  ℤcz 11791  ℤ_≥cuz 12056  [,]cicc 12555  ...cfz 12706  ⌊cfl 12973  seqcseq 13182  Σcsu 14901  expce 15273  ℙcprime 15869  logclog 24854  θccht 25385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ioc 12557  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fac 13447  df-bc 13476  df-hash 13504  df-shft 14285  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-limsup 14687  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-ef 15279  df-sin 15281  df-cos 15282  df-pi 15284  df-dvds 15466  df-prm 15870  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-lp 21463  df-perf 21464  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cncf 23204  df-limc 24182  df-dv 24183  df-log 24856  df-cht 25391

This theorem is referenced by:  chtublem  25504  bposlem6  25582