MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmorcht Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmorcht 26672
Description: Relate the primorial (product of the first 𝑛 primes) to the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmorcht.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
Assertion
Ref Expression
prmorcht (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))

Proof of Theorem prmorcht
Dummy variables π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 12216 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 chtval 26604 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
4 2eluzge1 12875 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
5 ppisval2 26599 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
61, 4, 5sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
7 nnz 12576 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ β„€)
8 flid 13770 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜π΄) = 𝐴)
109oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„• β†’ (1...(βŒŠβ€˜π΄)) = (1...𝐴))
1110ineq1d 4211 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((1...𝐴) ∩ β„™))
126, 11eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((1...𝐴) ∩ β„™))
1312sumeq1d 15644 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜))
14 inss1 4228 . . . . . . . 8 ((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴)
15 elinel1 4195 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝐴))
16 elfznn 13527 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1716adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1817nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1918relogcld 26123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2019recnd 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2115, 20sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2221ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23 fzfi 13934 . . . . . . . . . 10 (1...𝐴) ∈ Fin
2423olci 865 . . . . . . . . 9 ((1...𝐴) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
25 sumss2 15669 . . . . . . . . 9 (((((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ ((1...𝐴) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2624, 25mpan2 690 . . . . . . . 8 ((((1...𝐴) ∩ β„™) βŠ† (1...𝐴) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2714, 22, 26sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
2813, 27eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
293, 28eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
30 elin 3964 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™) ↔ (π‘˜ ∈ (1...𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„™))
3130baibr 538 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™)))
3231ifbid 4551 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0))
3332sumeq2i 15642 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ ((1...𝐴) ∩ β„™), (logβ€˜π‘˜), 0)
3429, 33eqtr4di 2791 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
35 eleq1w 2817 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
36 fveq2 6889 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (logβ€˜π‘›) = (logβ€˜π‘˜))
3735, 36ifbieq1d 4552 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
38 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))
39 fvex 6902 . . . . . . . 8 (logβ€˜π‘˜) ∈ V
40 0cn 11203 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
4140elexi 3494 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4239, 41ifex 4578 . . . . . . 7 if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ V
4337, 38, 42fvmpt 6996 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
4417, 43syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
45 elnnuz 12863 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„• ↔ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4645biimpi 215 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„• β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
47 ifcl 4573 . . . . . 6 (((logβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
4820, 40, 47sylancl 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
4944, 46, 48fsumser 15673 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝐴)if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄))
5034, 49eqtrd 2773 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄))
5150fveq2d 6893 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (expβ€˜(seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄)))
52 addcl 11189 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + 𝑝) ∈ β„‚)
5352adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + 𝑝) ∈ β„‚)
5444, 48eqeltrd 2834 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
55 efadd 16034 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘˜ + 𝑝)) = ((expβ€˜π‘˜) Β· (expβ€˜π‘)))
5655adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 𝑝 ∈ β„‚)) β†’ (expβ€˜(π‘˜ + 𝑝)) = ((expβ€˜π‘˜) Β· (expβ€˜π‘)))
57 1nn 12220 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
58 ifcl 4573 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
5917, 57, 58sylancl 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ β„•)
6059nnrpd 13011 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ ℝ+)
6160reeflogd 26124 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
62 fvif 6905 . . . . . . 7 (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1))
63 log1 26086 . . . . . . . 8 (logβ€˜1) = 0
64 ifeq2 4533 . . . . . . . 8 ((logβ€˜1) = 0 β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7 if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), (logβ€˜1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0)
6662, 65eqtri 2761 . . . . . 6 (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)) = if(π‘˜ ∈ β„™, (logβ€˜π‘˜), 0)
6744, 66eqtr4di 2791 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜) = (logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1)))
6867fveq2d 6893 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜)) = (expβ€˜(logβ€˜if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))))
69 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝑛 = π‘˜)
7035, 69ifbieq1d 4552 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
71 prmorcht.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, 𝑛, 1))
72 vex 3479 . . . . . . 7 π‘˜ ∈ V
7357elexi 3494 . . . . . . 7 1 ∈ V
7472, 73ifex 4578 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1) ∈ V
7570, 71, 74fvmpt 6996 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
7617, 75syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, π‘˜, 1))
7761, 68, 763eqtr4d 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...𝐴)) β†’ (expβ€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0))β€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
7853, 54, 46, 56, 77seqhomo 14012 . 2 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (logβ€˜π‘›), 0)))β€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))
7951, 78eqtrd 2773 1 (𝐴 ∈ β„• β†’ (expβ€˜(ΞΈβ€˜π΄)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„•cn 12209  2c2 12264  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  βŒŠcfl 13752  seqcseq 13963  Ξ£csu 15629  expce 16002  β„™cprime 16605  logclog 26055  ΞΈccht 26585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-prm 16606  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-cht 26591
This theorem is referenced by:  chtublem  26704  bposlem6  26782
  Copyright terms: Public domain W3C validator