MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtnprm 26503
Description: The Chebyshev function at a non-prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtnprm ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtnprm
Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
21elin2d 4159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ℙ)
3 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
4 nelne2 3042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
6 velsn 4602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 1))
76necon3bbii 2991 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
85, 7sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)})
91elin1d 4158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)))
10 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
11 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
13 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
14 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
16 elfzuz2 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2))
17 uz2m1nn 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
189, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
1915, 18eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℕ)
20 nnuz 12806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
21 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
2221fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
2320, 22eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
2419, 23eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
25 fzsuc2 13499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
2610, 24, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
279, 26eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
28 elun 4108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
3029ord 862 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (¬ 𝑥 ∈ (2...𝐴) → 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
318, 30mt3d 148 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...𝐴))
3231, 2elind 4154 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
3332expr 457 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)))
3433ssrdv 3950 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
35 uzid 12778 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
37 peano2uz 12826 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
38 fzss2 13481 . . . . . . 7 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → (2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)))
39 ssrin 4193 . . . . . . 7 ((2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
4036, 37, 38, 394syl 19 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
4134, 40eqssd 3961 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
42 peano2z 12544 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
4342adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
44 flid 13713 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
4645oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘(𝐴 + 1))) = (2...(𝐴 + 1)))
4746ineq1d 4171 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
48 flid 13713 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
5049oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘𝐴)) = (2...𝐴))
5150ineq1d 4171 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
5241, 47, 513eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
53 zre 12503 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
55 peano2re 11328 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
56 ppisval 26453 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
5754, 55, 563syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
58 ppisval 26453 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
5954, 58syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6052, 57, 593eqtr4d 2786 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
6160sumeq1d 15586 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
62 chtval 26459 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6354, 55, 623syl 18 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
64 chtval 26459 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6554, 64syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6661, 63, 653eqtr4d 2786 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cun 3908  cin 3909  wss 3910  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cfl 13695  Σcsu 15570  cprime 16547  logclog 25910  θccht 26440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-prm 16548  df-cht 26446
This theorem is referenced by:  chtub  26560
  Copyright terms: Public domain W3C validator