Theorem chtnprm 27104

Description: The Chebyshev function at a non-prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtnprm

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 4146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
4		nelne2 3031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
6		velsn 4584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 1))
7	6	necon3bbii 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
8	5, 7	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)})
9	1	elin1d 4145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)))
10		2z 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		zcn 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		pncan 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
16		elfzuz2 13446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
17		uz2m1nn 12837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
18	9, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
19	15, 18	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℕ)
20		nnuz 12791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		2m1e1 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
22	21	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
23	20, 22	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
24	19, 23	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
25		fzsuc2 13499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
26	10, 24, 25	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
27	9, 26	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
28		elun 4094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
30	29	ord 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (¬ 𝑥 ∈ (2...𝐴) → 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
31	8, 30	mt3d 148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...𝐴))
32	31, 2	elind 4141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
33	32	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)))
34	33	ssrdv 3928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
35		uzid 12767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
37		peano2uz 12815	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
38		fzss2 13481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)))
39		ssrin 4183	. . . . . . 7 ⊢ ((2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
40	36, 37, 38, 39	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
41	34, 40	eqssd 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
42		peano2z 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
44		flid 13729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
46	45	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘(𝐴 + 1))) = (2...(𝐴 + 1)))
47	46	ineq1d 4160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
48		flid 13729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
50	49	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘𝐴)) = (2...𝐴))
51	50	ineq1d 4160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
52	41, 47, 51	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
53		zre 12493	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
55		peano2re 11307	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
56		ppisval 27054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
57	54, 55, 56	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
58		ppisval 27054	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
59	54, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
60	52, 57, 59	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
61	60	sumeq1d 15624	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
62		chtval 27060	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
63	54, 55, 62	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
64		chtval 27060	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
65	54, 64	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
66	61, 63, 65	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   − cmin 11365  ℕcn 12146  2c2 12201  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12752  [,]cicc 13265  ...cfz 13424  ⌊cfl 13711  Σcsu 15610  ℙcprime 16599  logclog 26503  θccht 27041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fl 13713  df-seq 13926  df-exp 13986  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-sum 15611  df-dvds 16181  df-prm 16600  df-cht 27047

This theorem is referenced by:  chtub  27163