Theorem chtnprm 27212

Description: The Chebyshev function at a non-prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtnprm

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 4215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
4		nelne2 3038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
6		velsn 4647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 1))
7	6	necon3bbii 2986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
8	5, 7	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)})
9	1	elin1d 4214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)))
10		2z 12647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		zcn 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		pncan 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
16		elfzuz2 13566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
17		uz2m1nn 12963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
18	9, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
19	15, 18	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℕ)
20		nnuz 12919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		2m1e1 12390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
22	21	fveq2i 6910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘(2 − 1)) = (ℤ≥‘1)
23	20, 22	eqtr4i 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(2 − 1))
24	19, 23	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1)))
25		fzsuc2 13619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
26	10, 24, 25	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
27	9, 26	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
28		elun 4163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
30	29	ord 864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (¬ 𝑥 ∈ (2...𝐴) → 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
31	8, 30	mt3d 148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...𝐴))
32	31, 2	elind 4210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
33	32	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)))
34	33	ssrdv 4001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
35		uzid 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
37		peano2uz 12941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
38		fzss2 13601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)))
39		ssrin 4250	. . . . . . 7 ⊢ ((2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
40	36, 37, 38, 39	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
41	34, 40	eqssd 4013	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
42		peano2z 12656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
44		flid 13845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
46	45	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘(𝐴 + 1))) = (2...(𝐴 + 1)))
47	46	ineq1d 4227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
48		flid 13845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
50	49	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘𝐴)) = (2...𝐴))
51	50	ineq1d 4227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
52	41, 47, 51	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
53		zre 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
55		peano2re 11432	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
56		ppisval 27162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
57	54, 55, 56	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
58		ppisval 27162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
59	54, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
60	52, 57, 59	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
61	60	sumeq1d 15733	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
62		chtval 27168	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
63	54, 55, 62	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
64		chtval 27168	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
65	54, 64	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
66	61, 63, 65	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ⌊cfl 13827  Σcsu 15719  ℙcprime 16705  logclog 26611  θccht 27149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-cht 27155

This theorem is referenced by:  chtub  27271