Theorem chtdif 27125

Description: The difference of the Chebyshev function at two points sums the logarithms of the primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtdif	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem chtdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		chtval 27077	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4		eluzel2 12862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		2z 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		ifcl 4551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
8	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ ℤ)
9	4	zred 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		2re 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		min2 13211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
13		eluz2 12863	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
14	7, 8, 12, 13	syl3anbrc 1344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
15		ppisval2 27072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
16	1, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
17		eluzelz 12867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		flid 13830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
20	19	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
21	20	ineq1d 4199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
22	16, 21	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
23	22	sumeq1d 15721	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
24	9	ltp1d 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
25		fzdisj 13573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
27	26	ineq1d 4199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
28		inindir 4216	. . . . . . 7 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
29		0in 4377	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
30	27, 28, 29	3eqtr3g 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
31		min1 13210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
32	9, 10, 31	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
33		eluz2 12863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
34	7, 4, 32, 33	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
35		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36		elfzuzb 13540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
37	34, 35, 36	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
38		fzsplit 13572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
40	39	ineq1d 4199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
41		indir 4266	. . . . . . 7 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
42	40, 41	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
43		fzfid 13996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin)
44		inss1 4217	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)
45		ssfi 9192	. . . . . . 7 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
48	47	elin2d 4185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
49		prmnn 16698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 13054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
52	51	relogcld 26589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
54	30, 42, 46, 53	fsumsplit 15762	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
55	23, 54	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
56	3, 55	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑁) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
57		chtval 27077	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
58	9, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
59		ppisval2 27072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ))
60	9, 14, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ))
61		flid 13830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘𝑀) = 𝑀)
62	4, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (⌊‘𝑀) = 𝑀)
63	62	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀))
64	63	ineq1d 4199	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))
65	60, 64	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))
66	65	sumeq1d 15721	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
67	58, 66	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
68	56, 67	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
69		fzfi 13995	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
70		inss1 4217	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
71		ssfi 9192	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
72	69, 70, 71	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
74		ssun1 4158	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
75	74, 42	sseqtrrid 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
76	75	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
77	76, 53	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
78	73, 77	fsumcl 15754	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℂ)
79		fzfi 13995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
80		inss1 4217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
81		ssfi 9192	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
82	79, 80, 81	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
83	82	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
84		ssun2 4159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
85	84, 42	sseqtrrid 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
86	85	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
87	86, 53	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
88	83, 87	fsumcl 15754	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℂ)
89	78, 88	pncan2d 11601	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
90	68, 89	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ifcif 4505   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  [,]cicc 13370  ...cfz 13529  ⌊cfl 13812  Σcsu 15707  ℙcprime 16695  logclog 26520  θccht 27058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-prm 16696  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-cht 27064

This theorem is referenced by:  efchtdvds  27126