Theorem chtdif 27359

Description: The difference of the Chebyshev function at two points sums the logarithms of the primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtdif	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem chtdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12891	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		chtval 27311	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4		eluzel2 12885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		2z 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		ifcl 4538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
8	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ ℤ)
9	4	zred 12718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		2re 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		min2 13234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
12	9, 10, 11	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
13		eluz2 12886	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
14	7, 8, 12, 13	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
15		ppisval2 27306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
16	1, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
17		eluzelz 12890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		flid 13861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
20	19	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
21	20	ineq1d 4175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
22	16, 21	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
23	22	sumeq1d 15777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
24	9	ltp1d 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
25		fzdisj 13598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
27	26	ineq1d 4175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
28		inindir 4191	. . . . . . 7 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
29		0in 4357	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
30	27, 28, 29	3eqtr3g 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
31		min1 13233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
32	9, 10, 31	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
33		eluz2 12886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
34	7, 4, 32, 33	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
35		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36		elfzuzb 13564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
37	34, 35, 36	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
38		fzsplit 13597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
40	39	ineq1d 4175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
41		indir 4242	. . . . . . 7 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
42	40, 41	eqtrdi 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
43		fzfid 14029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin)
44		inss1 4192	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)
45		ssfi 9167	. . . . . . 7 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
48	47	elin2d 4161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
49		prmnn 16757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
52	51	relogcld 26825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
54	30, 42, 46, 53	fsumsplit 15818	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
55	23, 54	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
56	3, 55	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑁) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
57		chtval 27311	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
58	9, 57	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
59		ppisval2 27306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ))
60	9, 14, 59	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ))
61		flid 13861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘𝑀) = 𝑀)
62	4, 61	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (⌊‘𝑀) = 𝑀)
63	62	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀))
64	63	ineq1d 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))
65	60, 64	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))
66	65	sumeq1d 15777	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
67	58, 66	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
68	56, 67	oveq12d 7441	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
69		fzfi 14028	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
70		inss1 4192	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
71		ssfi 9167	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
72	69, 70, 71	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
74		ssun1 4134	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
75	74, 42	sseqtrrid 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
76	75	sselda 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
77	76, 53	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
78	73, 77	fsumcl 15810	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℂ)
79		fzfi 14028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
80		inss1 4192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
81		ssfi 9167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
82	79, 80, 81	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
83	82	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
84		ssun2 4135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
85	84, 42	sseqtrrid 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
86	85	sselda 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
87	86, 53	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
88	83, 87	fsumcl 15810	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℂ)
89	78, 88	pncan2d 11589	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
90	68, 89	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ifcif 4492   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  [,]cicc 13393  ...cfz 13553  ⌊cfl 13843  Σcsu 15763  ℙcprime 16754  logclog 26756  θccht 27292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-prm 16755  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cht 27298

This theorem is used by:  efchtdvds  27360