Proof of Theorem chtdif
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eluzelre 11986 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ) |
2 | | chtval 25256 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℝ →
(θ‘𝑁) =
Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |
4 | | eluzel2 11980 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ) |
5 | | 2z 11744 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℤ |
6 | | ifcl 4352 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈
ℤ) → if(𝑀 ≤
2, 𝑀, 2) ∈
ℤ) |
7 | 4, 5, 6 | sylancl 580 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ) |
8 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ ℤ) |
9 | 4 | zred 11817 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ) |
10 | | 2re 11432 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℝ |
11 | | min2 12316 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈
ℝ) → if(𝑀 ≤
2, 𝑀, 2) ≤
2) |
12 | 9, 10, 11 | sylancl 580 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2) |
13 | | eluz2 11981 |
. . . . . . . . 9
⊢ (2 ∈
(ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ
∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)) |
14 | 7, 8, 12, 13 | syl3anbrc 1447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈
(ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) |
15 | | ppisval2 25251 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈
(ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) |
16 | 1, 14, 15 | syl2anc 579 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) |
17 | | eluzelz 11985 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ) |
18 | | flid 12911 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(⌊‘𝑁) = 𝑁) |
19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (⌊‘𝑁) = 𝑁) |
20 | 19 | oveq2d 6926 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)) |
21 | 20 | ineq1d 4042 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) |
22 | 16, 21 | eqtrd 2861 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) |
23 | 22 | sumeq1d 14815 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |
24 | 9 | ltp1d 11291 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1)) |
25 | | fzdisj 12668 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅) |
27 | 26 | ineq1d 4042 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩
ℙ)) |
28 | | inindir 4058 |
. . . . . . 7
⊢
(((if(𝑀 ≤ 2,
𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) |
29 | | 0in 4196 |
. . . . . . 7
⊢ (∅
∩ ℙ) = ∅ |
30 | 27, 28, 29 | 3eqtr3g 2884 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) =
∅) |
31 | | min1 12315 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈
ℝ) → if(𝑀 ≤
2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀) |
32 | 9, 10, 31 | sylancl 580 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀) |
33 | | eluz2 11981 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)) |
34 | 7, 4, 32, 33 | syl3anbrc 1447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) |
35 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
36 | | elfzuzb 12636 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))) |
37 | 34, 35, 36 | sylanbrc 578 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)) |
38 | | fzsplit 12667 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))) |
39 | 37, 38 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))) |
40 | 39 | ineq1d 4042 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ)) |
41 | | indir 4107 |
. . . . . . 7
⊢
(((if(𝑀 ≤ 2,
𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) |
42 | 40, 41 | syl6eq 2877 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) |
43 | | fzfid 13074 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin) |
44 | | inss1 4059 |
. . . . . . 7
⊢
((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) |
45 | | ssfi 8455 |
. . . . . . 7
⊢
(((if(𝑀 ≤ 2,
𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈
Fin) |
46 | 43, 44, 45 | sylancl 580 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈
Fin) |
47 | | inss2 4060 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆
ℙ |
48 | | simpr 479 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) |
49 | 47, 48 | sseldi 3825 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ) |
50 | | prmnn 15767 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℕ) |
51 | 49, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ) |
52 | 51 | nnrpd 12161 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+) |
53 | 52 | relogcld 24775 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈
ℝ) |
54 | 53 | recnd 10392 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈
ℂ) |
55 | 30, 42, 46, 54 | fsumsplit 14855 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))) |
56 | 23, 55 | eqtrd 2861 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))) |
57 | 3, 56 | eqtrd 2861 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑁) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))) |
58 | | chtval 25256 |
. . . . 5
⊢ (𝑀 ∈ ℝ →
(θ‘𝑀) =
Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |
59 | 9, 58 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |
60 | | ppisval2 25251 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈
(ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ)) |
61 | 9, 14, 60 | syl2anc 579 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ)) |
62 | | flid 12911 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ ℤ →
(⌊‘𝑀) = 𝑀) |
63 | 4, 62 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (⌊‘𝑀) = 𝑀) |
64 | 63 | oveq2d 6926 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) |
65 | 64 | ineq1d 4042 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) |
66 | 61, 65 | eqtrd 2861 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) |
67 | 66 | sumeq1d 14815 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |
68 | 59, 67 | eqtrd 2861 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |
69 | 57, 68 | oveq12d 6928 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))) |
70 | | fzfi 13073 |
. . . . . 6
⊢ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin |
71 | | inss1 4059 |
. . . . . 6
⊢
((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) |
72 | | ssfi 8455 |
. . . . . 6
⊢
(((if(𝑀 ≤ 2,
𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈
Fin) |
73 | 70, 71, 72 | mp2an 683 |
. . . . 5
⊢
((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin |
74 | 73 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈
Fin) |
75 | | ssun1 4005 |
. . . . . . 7
⊢
((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) |
76 | 75, 42 | syl5sseqr 3879 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) |
77 | 76 | sselda 3827 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) |
78 | 77, 54 | syldan 585 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈
ℂ) |
79 | 74, 78 | fsumcl 14848 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈
ℂ) |
80 | | fzfi 13073 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin |
81 | | inss1 4059 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁) |
82 | | ssfi 8455 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈
Fin) |
83 | 80, 81, 82 | mp2an 683 |
. . . . 5
⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin |
84 | 83 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈
Fin) |
85 | | ssun2 4006 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) |
86 | 85, 42 | syl5sseqr 3879 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) |
87 | 86 | sselda 3827 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) |
88 | 87, 54 | syldan 585 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈
ℂ) |
89 | 84, 88 | fsumcl 14848 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈
ℂ) |
90 | 79, 89 | pncan2d 10722 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |
91 | 69, 90 | eqtrd 2861 |
1
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) |