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Theorem chtdif 26523
Description: The difference of the Chebyshev function at two points sums the logarithms of the primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtdif (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘€)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem chtdif
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12779 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2 chtval 26475 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
4 eluzel2 12773 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 2z 12540 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
6 ifcl 4532 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ∈ β„€)
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ∈ β„€)
85a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 2 ∈ β„€)
94zred 12612 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10 2re 12232 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
11 min2 13115 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ≀ 2)
129, 10, 11sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ≀ 2)
13 eluz2 12774 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ≀ 2))
147, 8, 12, 13syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)))
15 ppisval2 26470 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2))) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
161, 14, 15syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
17 eluzelz 12778 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
18 flid 13719 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2019oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...(βŒŠβ€˜π‘)) = (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
2120ineq1d 4172 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™))
2216, 21eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™))
2322sumeq1d 15591 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
249ltp1d 12090 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 < (𝑀 + 1))
25 fzdisj 13474 . . . . . . . . 9 (𝑀 < (𝑀 + 1) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
2726ineq1d 4172 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ β„™) = (βˆ… ∩ β„™))
28 inindir 4188 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ β„™) = (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™))
29 0in 4354 . . . . . . 7 (βˆ… ∩ β„™) = βˆ…
3027, 28, 293eqtr3g 2796 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)) = βˆ…)
31 min1 13114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ≀ 𝑀)
329, 10, 31sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ≀ 𝑀)
33 eluz2 12774 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2) ≀ 𝑀))
347, 4, 32, 33syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)))
35 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
36 elfzuzb 13441 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
3734, 35, 36sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
38 fzsplit 13473 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) β†’ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) βˆͺ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) βˆͺ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
4039ineq1d 4172 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™) = (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) βˆͺ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ β„™))
41 indir 4236 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) βˆͺ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ β„™) = (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) βˆͺ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™))
4240, 41eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™) = (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) βˆͺ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)))
43 fzfid 13884 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin)
44 inss1 4189 . . . . . . 7 ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™) βŠ† (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁)
45 ssfi 9120 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™) βŠ† (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁)) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™) ∈ Fin)
47 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™))
4847elin2d 4160 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
49 prmnn 16555 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
5150nnrpd 12960 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
5251relogcld 25994 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
5352recnd 11188 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
5430, 42, 46, 53fsumsplit 15631 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)))
5523, 54eqtrd 2773 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)))
563, 55eqtrd 2773 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)))
57 chtval 26475 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘€) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
589, 57syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (ΞΈβ€˜π‘€) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
59 ppisval2 26470 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2))) β†’ ((0[,]𝑀) ∩ β„™) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...(βŒŠβ€˜π‘€)) ∩ β„™))
609, 14, 59syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((0[,]𝑀) ∩ β„™) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...(βŒŠβ€˜π‘€)) ∩ β„™))
61 flid 13719 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘€) = 𝑀)
624, 61syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (βŒŠβ€˜π‘€) = 𝑀)
6362oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...(βŒŠβ€˜π‘€)) = (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀))
6463ineq1d 4172 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...(βŒŠβ€˜π‘€)) ∩ β„™) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™))
6560, 64eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((0[,]𝑀) ∩ β„™) = ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™))
6665sumeq1d 15591 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
6758, 66eqtrd 2773 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (ΞΈβ€˜π‘€) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
6856, 67oveq12d 7376 . 2 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘€)) = ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)))
69 fzfi 13883 . . . . . 6 (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
70 inss1 4189 . . . . . 6 ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) βŠ† (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
71 ssfi 9120 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) βŠ† (if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) ∈ Fin)
7269, 70, 71mp2an 691 . . . . 5 ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) ∈ Fin
7372a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) ∈ Fin)
74 ssun1 4133 . . . . . . 7 ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) βŠ† (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) βˆͺ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™))
7574, 42sseqtrrid 3998 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) βŠ† ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™))
7675sselda 3945 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™))
7776, 53syldan 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
7873, 77fsumcl 15623 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
79 fzfi 13883 . . . . . 6 ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
80 inss1 4189 . . . . . 6 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™) βŠ† ((𝑀 + 1)...𝑁)
81 ssfi 9120 . . . . . 6 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™) βŠ† ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™) ∈ Fin)
8279, 80, 81mp2an 691 . . . . 5 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™) ∈ Fin
8382a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™) ∈ Fin)
84 ssun2 4134 . . . . . . 7 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™) βŠ† (((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™) βˆͺ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™))
8584, 42sseqtrrid 3998 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™) βŠ† ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™))
8685sselda 3945 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ β„™))
8786, 53syldan 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
8883, 87fsumcl 15623 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
8978, 88pncan2d 11519 . 2 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)) βˆ’ Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≀ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ β„™)(logβ€˜π‘)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
9068, 89eqtrd 2773 1 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘) βˆ’ (ΞΈβ€˜π‘€)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  2c2 12213  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  βŒŠcfl 13701  Ξ£csu 15576  β„™cprime 16552  logclog 25926  ΞΈccht 26456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-prm 16553  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cht 26462
This theorem is referenced by:  efchtdvds  26524
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