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Theorem chtdif 25304
Description: The difference of the Chebyshev function at two points sums the logarithms of the primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtdif (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem chtdif
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11986 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 chtval 25256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4 eluzel2 11980 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 2z 11744 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
6 ifcl 4352 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
74, 5, 6sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
85a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 2 ∈ ℤ)
94zred 11817 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 2re 11432 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
11 min2 12316 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
129, 10, 11sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
13 eluz2 11981 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
147, 8, 12, 13syl3anbrc 1447 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
15 ppisval2 25251 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
161, 14, 15syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
17 eluzelz 11985 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 flid 12911 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
2019oveq2d 6926 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
2120ineq1d 4042 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
2216, 21eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
2322sumeq1d 14815 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
249ltp1d 11291 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
25 fzdisj 12668 . . . . . . . . 9 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
2726ineq1d 4042 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
28 inindir 4058 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
29 0in 4196 . . . . . . 7 (∅ ∩ ℙ) = ∅
3027, 28, 293eqtr3g 2884 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
31 min1 12315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
329, 10, 31sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
33 eluz2 11981 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
347, 4, 32, 33syl3anbrc 1447 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
35 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
36 elfzuzb 12636 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
3734, 35, 36sylanbrc 578 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
38 fzsplit 12667 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
4039ineq1d 4042 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
41 indir 4107 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
4240, 41syl6eq 2877 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
43 fzfid 13074 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin)
44 inss1 4059 . . . . . . 7 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)
45 ssfi 8455 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 580 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47 inss2 4060 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
48 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
4947, 48sseldi 3825 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
50 prmnn 15767 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
5251nnrpd 12161 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
5352relogcld 24775 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
5453recnd 10392 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
5530, 42, 46, 54fsumsplit 14855 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
5623, 55eqtrd 2861 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
573, 56eqtrd 2861 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (θ‘𝑁) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
58 chtval 25256 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
599, 58syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
60 ppisval2 25251 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ))
619, 14, 60syl2anc 579 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ))
62 flid 12911 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘𝑀) = 𝑀)
634, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (⌊‘𝑀) = 𝑀)
6463oveq2d 6926 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀))
6564ineq1d 4042 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))
6661, 65eqtrd 2861 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))
6766sumeq1d 14815 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6859, 67eqtrd 2861 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6957, 68oveq12d 6928 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
70 fzfi 13073 . . . . . 6 (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
71 inss1 4059 . . . . . 6 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
72 ssfi 8455 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
7370, 71, 72mp2an 683 . . . . 5 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
7473a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
75 ssun1 4005 . . . . . . 7 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
7675, 42syl5sseqr 3879 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
7776sselda 3827 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
7877, 54syldan 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
7974, 78fsumcl 14848 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℂ)
80 fzfi 13073 . . . . . 6 ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
81 inss1 4059 . . . . . 6 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
82 ssfi 8455 . . . . . 6 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
8380, 81, 82mp2an 683 . . . . 5 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
8483a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
85 ssun2 4006 . . . . . . 7 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
8685, 42syl5sseqr 3879 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
8786sselda 3827 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
8887, 54syldan 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
8984, 88fsumcl 14848 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℂ)
9079, 89pncan2d 10722 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
9169, 90eqtrd 2861 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  cun 3796  cin 3797  wss 3798  c0 4146  ifcif 4308   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  cn 11357  2c2 11413  cz 11711  cuz 11975  [,]cicc 12473  ...cfz 12626  cfl 12893  Σcsu 14800  cprime 15764  logclog 24707  θccht 25237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-pi 15182  df-dvds 15365  df-prm 15765  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037  df-log 24709  df-cht 25243
This theorem is referenced by:  efchtdvds  25305
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