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Theorem chtdif 25847
 Description: The difference of the Chebyshev function at two points sums the logarithms of the primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtdif (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem chtdif
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12298 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 chtval 25799 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (θ‘𝑁) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
4 eluzel2 12292 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 2z 12058 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
6 ifcl 4468 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
74, 5, 6sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
85a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 2 ∈ ℤ)
94zred 12131 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 2re 11753 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
11 min2 12629 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
129, 10, 11sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
13 eluz2 12293 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
147, 8, 12, 13syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
15 ppisval2 25794 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
161, 14, 15syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
17 eluzelz 12297 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 flid 13232 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
2019oveq2d 7171 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
2120ineq1d 4118 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
2216, 21eqtrd 2793 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
2322sumeq1d 15111 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
249ltp1d 11613 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
25 fzdisj 12988 . . . . . . . . 9 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
2726ineq1d 4118 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
28 inindir 4134 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
29 0in 4292 . . . . . . 7 (∅ ∩ ℙ) = ∅
3027, 28, 293eqtr3g 2816 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
31 min1 12628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
329, 10, 31sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
33 eluz2 12293 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
347, 4, 32, 33syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
35 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
36 elfzuzb 12955 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
3734, 35, 36sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
38 fzsplit 12987 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
4039ineq1d 4118 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
41 indir 4182 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
4240, 41eqtrdi 2809 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
43 fzfid 13395 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin)
44 inss1 4135 . . . . . . 7 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)
45 ssfi 8747 . . . . . . 7 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
4847elin2d 4106 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
49 prmnn 16075 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
5150nnrpd 12475 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
5251relogcld 25318 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
5352recnd 10712 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
5430, 42, 46, 53fsumsplit 15150 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
5523, 54eqtrd 2793 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
563, 55eqtrd 2793 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (θ‘𝑁) = (Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
57 chtval 25799 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
589, 57syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
59 ppisval2 25794 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ))
609, 14, 59syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ))
61 flid 13232 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘𝑀) = 𝑀)
624, 61syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (⌊‘𝑀) = 𝑀)
6362oveq2d 7171 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) = (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀))
6463ineq1d 4118 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...(⌊‘𝑀)) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))
6560, 64eqtrd 2793 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((0[,]𝑀) ∩ ℙ) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))
6665sumeq1d 15111 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6758, 66eqtrd 2793 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (θ‘𝑀) = Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6856, 67oveq12d 7173 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)))
69 fzfi 13394 . . . . . 6 (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
70 inss1 4135 . . . . . 6 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
71 ssfi 8747 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
7269, 70, 71mp2an 691 . . . . 5 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
7372a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
74 ssun1 4079 . . . . . . 7 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
7574, 42sseqtrrid 3947 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
7675sselda 3894 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
7776, 53syldan 594 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
7873, 77fsumcl 15143 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℂ)
79 fzfi 13394 . . . . . 6 ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
80 inss1 4135 . . . . . 6 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
81 ssfi 8747 . . . . . 6 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
8279, 80, 81mp2an 691 . . . . 5 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
8382a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
84 ssun2 4080 . . . . . . 7 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
8584, 42sseqtrrid 3947 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
8685sselda 3894 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ))
8786, 53syldan 594 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℂ)
8883, 87fsumcl 15143 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ ℂ)
8978, 88pncan2d 11042 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝) + Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) − Σ𝑝 ∈ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)(log‘𝑝)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
9068, 89eqtrd 2793 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((θ‘𝑁) − (θ‘𝑀)) = Σ𝑝 ∈ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ifcif 4423   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Fincfn 8532  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   < clt 10718   ≤ cle 10719   − cmin 10913  ℕcn 11679  2c2 11734  ℤcz 12025  ℤ≥cuz 12287  [,]cicc 12787  ...cfz 12944  ⌊cfl 13214  Σcsu 15095  ℙcprime 16072  logclog 25250  θccht 25780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-ef 15474  df-sin 15476  df-cos 15477  df-pi 15479  df-dvds 15661  df-prm 16073  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571  df-log 25252  df-cht 25786 This theorem is referenced by:  efchtdvds  25848
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