Theorem cht1 25862

Description: The Chebyshev function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cht1	⊢ (θ‘1) = 0

Proof of Theorem cht1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10692	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		chtval 25807	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (θ‘1) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (θ‘1) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝)
4		ppisval 25801	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0[,]1) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ)
6		1z 12064	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		flid 13240	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘1) = 1
9	8	oveq2i 7167	. . . . . 6 ⊢ (2...(⌊‘1)) = (2...1)
10		1lt2 11858	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
11		2z 12066	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		fzn 12985	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
13	11, 6, 12	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
14	10, 13	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
15	9, 14	eqtri 2781	. . . . 5 ⊢ (2...(⌊‘1)) = ∅
16	15	ineq1i 4115	. . . 4 ⊢ ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
17		0in 4292	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
18	5, 16, 17	3eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∩ ℙ) = ∅
19	18	sumeq1i 15116	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ∅ (log‘𝑝)
20		sum0 15139	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ∅ (log‘𝑝) = 0
21	3, 19, 20	3eqtri 2785	1 ⊢ (θ‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859  ∅c0 4227   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   < clt 10726  2c2 11742  ℤcz 12033  [,]cicc 12795  ...cfz 12952  ⌊cfl 13222  Σcsu 15103  ℙcprime 16080  logclog 25258  θccht 25788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-sum 15104  df-dvds 15669  df-prm 16081  df-cht 25794

This theorem is referenced by:  cht2  25869