Theorem cht1 27409

Description: The Chebyshev function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cht1	⊢ (θ‘1) = 0

Proof of Theorem cht1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11236	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		chtval 27354	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (θ‘1) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (θ‘1) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝)
4		ppisval 27348	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0[,]1) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ)
6		1z 12652	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		flid 13873	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘1) = 1
9	8	oveq2i 7428	. . . . . 6 ⊢ (2...(⌊‘1)) = (2...1)
10		1lt2 12441	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
11		2z 12654	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		fzn 13598	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
13	11, 6, 12	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
14	10, 13	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
15	9, 14	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (2...(⌊‘1)) = ∅
16	15	ineq1i 4165	. . . 4 ⊢ ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
17		0in 4350	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
18	5, 16, 17	3eqtri 2789	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∩ ℙ) = ∅
19	18	sumeq1i 15788	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ∅ (log‘𝑝)
20		sum0 15811	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ∅ (log‘𝑝) = 0
21	3, 19, 20	3eqtri 2789	1 ⊢ (θ‘1) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   < clt 11271  2c2 12323  ℤcz 12619  [,]cicc 13405  ...cfz 13565  ⌊cfl 13855  Σcsu 15777  ℙcprime 16767  logclog 26799  θccht 27335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-dvds 16349  df-prm 16768  df-cht 27341

This theorem is used by:  cht2  27416