Theorem cht1 25744

Description: The Chebyshev function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cht1	⊢ (θ‘1) = 0

Proof of Theorem cht1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10643	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		chtval 25689	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (θ‘1) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (θ‘1) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝)
4		ppisval 25683	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0[,]1) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ)
6		1z 12015	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		flid 13181	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘1) = 1
9	8	oveq2i 7169	. . . . . 6 ⊢ (2...(⌊‘1)) = (2...1)
10		1lt2 11811	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
11		2z 12017	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		fzn 12926	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅))
13	11, 6, 12	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (2...1) = ∅)
14	10, 13	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (2...1) = ∅
15	9, 14	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ (2...(⌊‘1)) = ∅
16	15	ineq1i 4187	. . . 4 ⊢ ((2...(⌊‘1)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
17		0in 4349	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
18	5, 16, 17	3eqtri 2850	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∩ ℙ) = ∅
19	18	sumeq1i 15057	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ((0[,]1) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ∅ (log‘𝑝)
20		sum0 15080	. 2 ⊢ Σ𝑝 ∈ ∅ (log‘𝑝) = 0
21	3, 19, 20	3eqtri 2850	1 ⊢ (θ‘1) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   < clt 10677  2c2 11695  ℤcz 11984  [,]cicc 12744  ...cfz 12895  ⌊cfl 13163  Σcsu 15044  ℙcprime 16017  logclog 25140  θccht 25670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-dvds 15610  df-prm 16018  df-cht 25676

This theorem is referenced by:  cht2  25751