Theorem chtfl 25985

Description: The Chebyshev function does not change off the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtfl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtfl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flidm 13349	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝐴)) = (⌊‘𝐴))
2	1	oveq2d 7207	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) = (2...(⌊‘𝐴)))
3	2	ineq1d 4112	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
4		reflcl 13336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
5		ppisval 25940	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ))
7		ppisval 25940	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
8	3, 6, 7	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
9	8	sumeq1d 15230	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
10		chtval 25946	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
11	4, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
12		chtval 25946	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
13	9, 11, 12	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3852  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  2c2 11850  [,]cicc 12903  ...cfz 13060  ⌊cfl 13330  Σcsu 15214  ℙcprime 16191  logclog 25397  θccht 25927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-sum 15215  df-dvds 15779  df-prm 16192  df-cht 25933

This theorem is referenced by:  efchtdvds  25995  chtub  26047