Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtfl 25738
 Description: The Chebyshev function does not change off the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtfl (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtfl
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flidm 13178 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝐴)) = (⌊‘𝐴))
21oveq2d 7155 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) = (2...(⌊‘𝐴)))
32ineq1d 4141 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
4 reflcl 13165 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
5 ppisval 25693 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ))
7 ppisval 25693 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
83, 6, 73eqtr4d 2846 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
98sumeq1d 15054 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
10 chtval 25699 . . 3 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
114, 10syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
12 chtval 25699 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
139, 11, 123eqtr4d 2846 1 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3883  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  2c2 11684  [,]cicc 12733  ...cfz 12889  ⌊cfl 13159  Σcsu 15038  ℙcprime 16009  logclog 25150  θccht 25680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-prm 16010  df-cht 25686 This theorem is referenced by:  efchtdvds  25748  chtub  25800
 Copyright terms: Public domain W3C validator