Theorem chtfl 26309

Description: The Chebyshev function does not change off the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtfl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtfl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flidm 13540	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(⌊‘𝐴)) = (⌊‘𝐴))
2	1	oveq2d 7288	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) = (2...(⌊‘𝐴)))
3	2	ineq1d 4151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
4		reflcl 13527	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
5		ppisval 26264	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(⌊‘𝐴))) ∩ ℙ))
7		ppisval 26264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
8	3, 6, 7	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
9	8	sumeq1d 15424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
10		chtval 26270	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
11	4, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
12		chtval 26270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
13	9, 11, 12	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3891  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℝcr 10881  0cc0 10882  2c2 12039  [,]cicc 13093  ...cfz 13250  ⌊cfl 13521  Σcsu 15408  ℙcprime 16387  logclog 25721  θccht 26251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-rp 12742  df-icc 13097  df-fz 13251  df-fl 13523  df-seq 13733  df-exp 13794  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-sum 15409  df-dvds 15975  df-prm 16388  df-cht 26257

This theorem is referenced by:  efchtdvds  26319  chtub  26371