MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtfl 27021
Description: The Chebyshev function does not change off the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtfl (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜(βŒŠβ€˜π΄)) = (ΞΈβ€˜π΄))

Proof of Theorem chtfl
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flidm 13775 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π΄)) = (βŒŠβ€˜π΄))
21oveq2d 7418 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (2...(βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π΄))) = (2...(βŒŠβ€˜π΄)))
32ineq1d 4204 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((2...(βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π΄))) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
4 reflcl 13762 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π΄) ∈ ℝ)
5 ppisval 26976 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ ((0[,](βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π΄))) ∩ β„™))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,](βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜(βŒŠβ€˜π΄))) ∩ β„™))
7 ppisval 26976 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™))
83, 6, 73eqtr4d 2774 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,](βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™) = ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
98sumeq1d 15649 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,](βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
10 chtval 26982 . . 3 ((βŒŠβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜(βŒŠβ€˜π΄)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
114, 10syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜(βŒŠβ€˜π΄)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](βŒŠβ€˜π΄)) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
12 chtval 26982 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
139, 11, 123eqtr4d 2774 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜(βŒŠβ€˜π΄)) = (ΞΈβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  2c2 12266  [,]cicc 13328  ...cfz 13485  βŒŠcfl 13756  Ξ£csu 15634  β„™cprime 16611  logclog 26428  ΞΈccht 26963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-sum 15635  df-dvds 16201  df-prm 16612  df-cht 26969
This theorem is referenced by:  efchtdvds  27031  chtub  27085
  Copyright terms: Public domain W3C validator