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Theorem dihglblem2N 37271
Description: The GLB of a set of lattice elements 𝑆 is the same as that of the set 𝑇 with elements of 𝑆 cut down to be under 𝑊. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢)   𝐻(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)   (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihglblem.l . 2 = (le‘𝐾)
3 dihglblem.g . 2 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 simpl1l 1293 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
54hllatd 35341 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp1l 1254 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlclat 35335 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
9 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
10 ssrab2 3849 . . . . . 6 {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ⊆ 𝐵
119, 10eqsstri 3797 . . . . 5 𝑇𝐵
121, 3clatglbcl 17394 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
138, 11, 12sylancl 580 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
1413adantr 472 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
15 simpl2 1244 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆𝐵)
16 simpr 477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
1715, 16sseldd 3764 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
18 simpl1r 1295 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐻)
19 dihglblem.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
201, 19lhpbase 35975 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2118, 20syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐵)
22 dihglblem.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
231, 22latmcl 17332 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑊𝐵) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝐵)
245, 17, 21, 23syl3anc 1490 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝐵)
254, 7syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
26 eqidd 2766 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) = (𝑥 𝑊))
27 oveq1 6853 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 𝑊) = (𝑥 𝑊))
2827rspceeqv 3480 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆 ∧ (𝑥 𝑊) = (𝑥 𝑊)) → ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊))
2916, 26, 28syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊))
30 eqeq1 2769 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3130rexbidv 3199 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑥 𝑊) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3231elrab 3521 . . . . . 6 ((𝑥 𝑊) ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ↔ ((𝑥 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3324, 29, 32sylanbrc 578 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)})
3433, 9syl6eleqr 2855 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇)
351, 2, 3clatglble 17405 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵 ∧ (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
3611, 35mp3an2 1573 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
3725, 34, 36syl2anc 579 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
381, 2, 22latmle1 17356 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑊𝐵) → (𝑥 𝑊) 𝑥)
395, 17, 21, 38syl3anc 1490 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) 𝑥)
401, 2, 5, 14, 24, 17, 37, 39lattrd 17338 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) 𝑥)
41 eqeq1 2769 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑣 𝑊)))
4241rexbidv 3199 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑣𝑆 𝑤 = (𝑣 𝑊)))
43 oveq1 6853 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 𝑊) = (𝑦 𝑊))
4443eqeq2d 2775 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (𝑤 = (𝑣 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
4544cbvrexv 3320 . . . . . . 7 (∃𝑣𝑆 𝑤 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊))
4642, 45syl6bb 278 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
4746, 9elrab2 3525 . . . . 5 (𝑤𝑇 ↔ (𝑤𝐵 ∧ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
48 simp3 1168 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
49 simp13 1262 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥)
50 breq2 4815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 𝑥𝑧 𝑦))
5150rspcva 3460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧 𝑦)
5248, 49, 51syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 𝑦)
53 simp11l 1383 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝐾 ∈ HL)
54533ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5554hllatd 35341 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
56 simp12 1261 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧𝐵)
5754, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
58 simp112 1402 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑆𝐵)
591, 3clatglbcl 17394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
6057, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
61 simp11r 1384 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑊𝐻)
62613ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑊𝐻)
6362, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑊𝐵)
641, 2, 3clatleglb 17406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵𝑆𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥))
6557, 56, 58, 64syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥))
6649, 65mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 (𝐺𝑆))
67 simp113 1403 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑊)
681, 2, 55, 56, 60, 63, 66, 67lattrd 17338 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 𝑊)
6958, 48sseldd 3764 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
701, 2, 22latlem12 17358 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧𝐵𝑦𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑧 𝑦𝑧 𝑊) ↔ 𝑧 (𝑦 𝑊)))
7155, 56, 69, 63, 70syl13anc 1491 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → ((𝑧 𝑦𝑧 𝑊) ↔ 𝑧 (𝑦 𝑊)))
7252, 68, 71mpbi2and 703 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 (𝑦 𝑊))
73723expia 1150 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦𝑆𝑧 (𝑦 𝑊)))
74 breq2 4815 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑦 𝑊) → (𝑧 𝑤𝑧 (𝑦 𝑊)))
7574biimprcd 241 . . . . . . . 8 (𝑧 (𝑦 𝑊) → (𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤))
7673, 75syl6 35 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦𝑆 → (𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤)))
7776rexlimdv 3177 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤))
7877expimpd 445 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → ((𝑤𝐵 ∧ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)) → 𝑧 𝑤))
7947, 78syl5bi 233 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → (𝑤𝑇𝑧 𝑤))
8079ralrimiv 3112 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤)
8153, 7syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝐾 ∈ CLat)
82 simp2 1167 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧𝐵)
831, 2, 3clatleglb 17406 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵𝑇𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8411, 83mp3an3 1574 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8581, 82, 84syl2anc 579 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8680, 85mpbird 248 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧 (𝐺𝑇))
87 simp2 1167 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
881, 2, 3, 40, 86, 8, 87, 13isglbd 17397 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3734   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6846  Basecbs 16144  lecple 16235  glbcglb 17223  meetcmee 17225  Latclat 17325  CLatccla 17387  HLchlt 35327  LHypclh 35961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-poset 17226  df-lub 17254  df-glb 17255  df-join 17256  df-meet 17257  df-lat 17326  df-clat 17388  df-atl 35275  df-cvlat 35299  df-hlat 35328  df-lhyp 35965
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  37272  dihglblem3aN  37273
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