Theorem dihglblem2N 42128

Description: The GLB of a set of lattice elements 𝑆 is the same as that of the set 𝑇 with elements of 𝑆 cut down to be under 𝑊. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣, 𝑢)   𝐺(𝑣, 𝑢)   𝐻(𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑣, 𝑢)   ≤ (𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2N

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglblem.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihglblem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		simpl1l 1243	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5	4	hllatd 40198	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlclat 40192	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
9		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
10		ssrab2 4035	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ 𝐵
11	9, 10	eqsstri 3984	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐵
12	1, 3	clatglbcl 18585	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
13	8, 11, 12	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
15		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
16		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		simpl1r 1244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19		dihglblem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
20	1, 19	lhpbase 40832	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
21	18, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
22		dihglblem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
23	1, 22	latmcl 18520	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
24	5, 17, 21, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
25	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
26		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
27		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
28	27	rspceeqv 3606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
29	16, 26, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
30		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
31	30	rexbidv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
32	31	elrab 3652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
33	24, 29, 32	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
34	33, 9	eleqtrrdi 2876	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇)
35	1, 2, 3	clatglble 18597	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
36	11, 35	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
37	25, 34, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
38	1, 2, 22	latmle1 18544	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
39	5, 17, 21, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
40	1, 2, 5, 14, 24, 17, 37, 39	lattrd 18526	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑥)
41		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
42	41	rexbidv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
43		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑦 ∧ 𝑊))
44	43	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
45	44	cbvrexvw 3246	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊))
46	42, 45	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
47	46, 9	elrab2 3656	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑇 ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
48		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
49		simp13 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥)
50		breq2 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
51	50	rspcva 3581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑦)
52	48, 49, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑦)
53		simp11l 1303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ HL)
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
55	54	hllatd 40198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
56		simp12 1223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
57	54, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
58		simp112 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
59	1, 3	clatglbcl 18585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
60	57, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
61		simp11r 1304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑊 ∈ 𝐻)
62	61	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
63	62, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
64	1, 2, 3	clatleglb 18598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
65	57, 56, 58, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
66	49, 65	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))
67		simp113 1323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
68	1, 2, 55, 56, 60, 63, 66, 67	lattrd 18526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑊)
69	58, 48	sseldd 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
70	1, 2, 22	latlem12 18546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
71	55, 56, 69, 63, 70	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
72	52, 68, 71	mpbi2and 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊))
73	72	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
74		breq2 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
75	74	biimprcd 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
76	73, 75	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤)))
77	76	rexlimdv 3166	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
78	77	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)) → 𝑧 ≤ 𝑤))
79	47, 78	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝑇 → 𝑧 ≤ 𝑤))
80	79	ralrimiv 3158	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤)
81	53, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ CLat)
82		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)
83	1, 2, 3	clatleglb 18598	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
84	11, 83	mp3an3 1479	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
85	81, 82, 84	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
86	80, 85	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇))
87		simp2 1155	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
88	1, 2, 3, 40, 86, 8, 87, 13	isglbd 18589	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  lecple 17341  glbcglb 18390  meetcmee 18392  Latclat 18511  CLatccla 18578  HLchlt 40184  LHypclh 40818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-poset 18393  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-lat 18512  df-clat 18579  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-lhyp 40822

This theorem is used by:  dihglblem3N  42129  dihglblem3aN  42130