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Theorem dihglblem2N 38316
Description: The GLB of a set of lattice elements 𝑆 is the same as that of the set 𝑇 with elements of 𝑆 cut down to be under 𝑊. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
Assertion
Ref Expression
dihglblem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢)   𝐻(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)   (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2N
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihglblem.l . 2 = (le‘𝐾)
3 dihglblem.g . 2 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 simpl1l 1218 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
54hllatd 36386 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp1l 1191 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlclat 36380 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
9 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
10 ssrab2 4060 . . . . . 6 {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ⊆ 𝐵
119, 10eqsstri 4005 . . . . 5 𝑇𝐵
121, 3clatglbcl 17719 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
138, 11, 12sylancl 586 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
1413adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) ∈ 𝐵)
15 simpl2 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆𝐵)
16 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
1715, 16sseldd 3972 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
18 simpl1r 1219 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐻)
19 dihglblem.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
201, 19lhpbase 37020 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2118, 20syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐵)
22 dihglblem.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
231, 22latmcl 17657 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑊𝐵) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝐵)
245, 17, 21, 23syl3anc 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝐵)
254, 7syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
26 eqidd 2827 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) = (𝑥 𝑊))
27 oveq1 7157 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 𝑊) = (𝑥 𝑊))
2827rspceeqv 3642 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆 ∧ (𝑥 𝑊) = (𝑥 𝑊)) → ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊))
2916, 26, 28syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊))
30 eqeq1 2830 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3130rexbidv 3302 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑥 𝑊) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3231elrab 3684 . . . . . 6 ((𝑥 𝑊) ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ↔ ((𝑥 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣𝑆 (𝑥 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
3324, 29, 32sylanbrc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)})
3433, 9syl6eleqr 2929 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇)
351, 2, 3clatglble 17730 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵 ∧ (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
3611, 35mp3an2 1442 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑥 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
3725, 34, 36syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) (𝑥 𝑊))
381, 2, 22latmle1 17681 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑊𝐵) → (𝑥 𝑊) 𝑥)
395, 17, 21, 38syl3anc 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊) 𝑥)
401, 2, 5, 14, 24, 17, 37, 39lattrd 17663 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑇) 𝑥)
41 eqeq1 2830 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑣 𝑊)))
4241rexbidv 3302 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑣𝑆 𝑤 = (𝑣 𝑊)))
43 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 𝑊) = (𝑦 𝑊))
4443eqeq2d 2837 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (𝑤 = (𝑣 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
4544cbvrexv 3459 . . . . . . 7 (∃𝑣𝑆 𝑤 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊))
4642, 45syl6bb 288 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
4746, 9elrab2 3687 . . . . 5 (𝑤𝑇 ↔ (𝑤𝐵 ∧ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)))
48 simp3 1132 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
49 simp13 1199 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥)
50 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 𝑥𝑧 𝑦))
5150rspcva 3625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧 𝑦)
5248, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 𝑦)
53 simp11l 1278 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝐾 ∈ HL)
54533ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5554hllatd 36386 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
56 simp12 1198 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧𝐵)
5754, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
58 simp112 1297 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑆𝐵)
591, 3clatglbcl 17719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
61 simp11r 1279 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑊𝐻)
62613ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑊𝐻)
6362, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑊𝐵)
641, 2, 3clatleglb 17731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵𝑆𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥))
6557, 56, 58, 64syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥))
6649, 65mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 (𝐺𝑆))
67 simp113 1298 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑊)
681, 2, 55, 56, 60, 63, 66, 67lattrd 17663 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 𝑊)
6958, 48sseldd 3972 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
701, 2, 22latlem12 17683 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧𝐵𝑦𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑧 𝑦𝑧 𝑊) ↔ 𝑧 (𝑦 𝑊)))
7155, 56, 69, 63, 70syl13anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → ((𝑧 𝑦𝑧 𝑊) ↔ 𝑧 (𝑦 𝑊)))
7252, 68, 71mpbi2and 708 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵𝑦𝑆) → 𝑧 (𝑦 𝑊))
73723expia 1115 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦𝑆𝑧 (𝑦 𝑊)))
74 breq2 5067 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑦 𝑊) → (𝑧 𝑤𝑧 (𝑦 𝑊)))
7574biimprcd 251 . . . . . . . 8 (𝑧 (𝑦 𝑊) → (𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤))
7673, 75syl6 35 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦𝑆 → (𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤)))
7776rexlimdv 3288 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊) → 𝑧 𝑤))
7877expimpd 454 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → ((𝑤𝐵 ∧ ∃𝑦𝑆 𝑤 = (𝑦 𝑊)) → 𝑧 𝑤))
7947, 78syl5bi 243 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → (𝑤𝑇𝑧 𝑤))
8079ralrimiv 3186 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤)
8153, 7syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝐾 ∈ CLat)
82 simp2 1131 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧𝐵)
831, 2, 3clatleglb 17731 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵𝑇𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8411, 83mp3an3 1443 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8581, 82, 84syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → (𝑧 (𝐺𝑇) ↔ ∀𝑤𝑇 𝑧 𝑤))
8680, 85mpbird 258 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑧 𝑥) → 𝑧 (𝐺𝑇))
87 simp2 1131 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
881, 2, 3, 40, 86, 8, 87, 13isglbd 17722 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  {crab 3147  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  lecple 16567  glbcglb 17548  meetcmee 17550  Latclat 17650  CLatccla 17712  HLchlt 36372  LHypclh 37006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-poset 17551  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-lat 17651  df-clat 17713  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-lhyp 37010
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  38317  dihglblem3aN  38318
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