Theorem dihglblem2N 42168

Description: The GLB of a set of lattice elements 𝑆 is the same as that of the set 𝑇 with elements of 𝑆 cut down to be under 𝑊. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣, 𝑢)   𝐺(𝑣, 𝑢)   𝐻(𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑣, 𝑢)   ≤ (𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2N

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglblem.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihglblem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		simpl1l 1243	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5	4	hllatd 40238	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlclat 40232	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
9		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
10		ssrab2 4028	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ 𝐵
11	9, 10	eqsstri 3977	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐵
12	1, 3	clatglbcl 18594	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
13	8, 11, 12	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
15		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
16		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		simpl1r 1244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19		dihglblem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
20	1, 19	lhpbase 40872	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
21	18, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
22		dihglblem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
23	1, 22	latmcl 18529	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
24	5, 17, 21, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
25	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
26		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
27		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
28	27	rspceeqv 3599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
29	16, 26, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
30		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
31	30	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
32	31	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
33	24, 29, 32	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
34	33, 9	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇)
35	1, 2, 3	clatglble 18606	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
36	11, 35	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
37	25, 34, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
38	1, 2, 22	latmle1 18553	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
39	5, 17, 21, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
40	1, 2, 5, 14, 24, 17, 37, 39	lattrd 18535	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑥)
41		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
42	41	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
43		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑦 ∧ 𝑊))
44	43	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
45	44	cbvrexvw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊))
46	42, 45	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
47	46, 9	elrab2 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑇 ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
48		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
49		simp13 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥)
50		breq2 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
51	50	rspcva 3574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑦)
52	48, 49, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑦)
53		simp11l 1303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ HL)
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
55	54	hllatd 40238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
56		simp12 1223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
57	54, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
58		simp112 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
59	1, 3	clatglbcl 18594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
60	57, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
61		simp11r 1304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑊 ∈ 𝐻)
62	61	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
63	62, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
64	1, 2, 3	clatleglb 18607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
65	57, 56, 58, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
66	49, 65	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))
67		simp113 1323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
68	1, 2, 55, 56, 60, 63, 66, 67	lattrd 18535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑊)
69	58, 48	sseldd 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
70	1, 2, 22	latlem12 18555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
71	55, 56, 69, 63, 70	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
72	52, 68, 71	mpbi2and 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊))
73	72	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
74		breq2 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
75	74	biimprcd 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
76	73, 75	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤)))
77	76	rexlimdv 3161	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
78	77	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)) → 𝑧 ≤ 𝑤))
79	47, 78	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝑇 → 𝑧 ≤ 𝑤))
80	79	ralrimiv 3153	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤)
81	53, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ CLat)
82		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)
83	1, 2, 3	clatleglb 18607	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
84	11, 83	mp3an3 1479	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
85	81, 82, 84	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
86	80, 85	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇))
87		simp2 1155	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
88	1, 2, 3, 40, 86, 8, 87, 13	isglbd 18598	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  lecple 17350  glbcglb 18399  meetcmee 18401  Latclat 18520  CLatccla 18587  HLchlt 40224  LHypclh 40858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-poset 18402  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-lat 18521  df-clat 18588  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-lhyp 40862

This theorem is used by:  dihglblem3N  42169  dihglblem3aN  42170