Theorem dihglblem2N 41403

Description: The GLB of a set of lattice elements 𝑆 is the same as that of the set 𝑇 with elements of 𝑆 cut down to be under 𝑊. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢)   𝐻(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)   ≤ (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2N

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglblem.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihglblem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		simpl1l 1225	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5	4	hllatd 39473	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simp1l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlclat 39467	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
9		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
10		ssrab2 4027	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ 𝐵
11	9, 10	eqsstri 3976	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐵
12	1, 3	clatglbcl 18411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
13	8, 11, 12	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
15		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3930	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		simpl1r 1226	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19		dihglblem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
20	1, 19	lhpbase 40107	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
22		dihglblem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
23	1, 22	latmcl 18346	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
24	5, 17, 21, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
25	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
26		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
27		oveq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
28	27	rspceeqv 3595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
29	16, 26, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
30		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
31	30	rexbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
32	31	elrab 3642	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
33	24, 29, 32	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
34	33, 9	eleqtrrdi 2842	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇)
35	1, 2, 3	clatglble 18423	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
36	11, 35	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
37	25, 34, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
38	1, 2, 22	latmle1 18370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
39	5, 17, 21, 38	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
40	1, 2, 5, 14, 24, 17, 37, 39	lattrd 18352	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑥)
41		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
42	41	rexbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
43		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑦 ∧ 𝑊))
44	43	eqeq2d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
45	44	cbvrexvw 3211	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊))
46	42, 45	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
47	46, 9	elrab2 3645	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑇 ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
48		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
49		simp13 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥)
50		breq2 5093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
51	50	rspcva 3570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑦)
52	48, 49, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑦)
53		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ HL)
54	53	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
55	54	hllatd 39473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
56		simp12 1205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
57	54, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
58		simp112 1304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
59	1, 3	clatglbcl 18411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
61		simp11r 1286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑊 ∈ 𝐻)
62	61	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
63	62, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
64	1, 2, 3	clatleglb 18424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
65	57, 56, 58, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
66	49, 65	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))
67		simp113 1305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
68	1, 2, 55, 56, 60, 63, 66, 67	lattrd 18352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑊)
69	58, 48	sseldd 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
70	1, 2, 22	latlem12 18372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
71	55, 56, 69, 63, 70	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
72	52, 68, 71	mpbi2and 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊))
73	72	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
74		breq2 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
75	74	biimprcd 250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
76	73, 75	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤)))
77	76	rexlimdv 3131	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
78	77	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)) → 𝑧 ≤ 𝑤))
79	47, 78	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝑇 → 𝑧 ≤ 𝑤))
80	79	ralrimiv 3123	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤)
81	53, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ CLat)
82		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)
83	1, 2, 3	clatleglb 18424	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
84	11, 83	mp3an3 1452	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
85	81, 82, 84	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
86	80, 85	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇))
87		simp2 1137	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
88	1, 2, 3, 40, 86, 8, 87, 13	isglbd 18415	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  glbcglb 18216  meetcmee 18218  Latclat 18337  CLatccla 18404  HLchlt 39459  LHypclh 40093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-poset 18219  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338  df-clat 18405  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-lhyp 40097

This theorem is referenced by:  dihglblem3N  41404  dihglblem3aN  41405