Theorem dihglblem2N 38590

Description: The GLB of a set of lattice elements 𝑆 is the same as that of the set 𝑇 with elements of 𝑆 cut down to be under 𝑊. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢)   𝐻(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)   ≤ (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2N

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglblem.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihglblem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		simpl1l 1221	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5	4	hllatd 36660	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simp1l 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlclat 36654	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
9		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
10		ssrab2 4007	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ 𝐵
11	9, 10	eqsstri 3949	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐵
12	1, 3	clatglbcl 17716	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
13	8, 11, 12	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
15		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
16		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3916	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		simpl1r 1222	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19		dihglblem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
20	1, 19	lhpbase 37294	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
22		dihglblem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
23	1, 22	latmcl 17654	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
24	5, 17, 21, 23	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
25	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
26		eqidd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
27		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
28	27	rspceeqv 3586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
29	16, 26, 28	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
30		eqeq1 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
31	30	rexbidv 3256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
32	31	elrab 3628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
33	24, 29, 32	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
34	33, 9	eleqtrrdi 2901	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇)
35	1, 2, 3	clatglble 17727	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
36	11, 35	mp3an2 1446	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
37	25, 34, 36	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
38	1, 2, 22	latmle1 17678	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
39	5, 17, 21, 38	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
40	1, 2, 5, 14, 24, 17, 37, 39	lattrd 17660	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑥)
41		eqeq1 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
42	41	rexbidv 3256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
43		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑦 ∧ 𝑊))
44	43	eqeq2d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
45	44	cbvrexvw 3397	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊))
46	42, 45	syl6bb 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
47	46, 9	elrab2 3631	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑇 ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
48		simp3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
49		simp13 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥)
50		breq2 5034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
51	50	rspcva 3569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑦)
52	48, 49, 51	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑦)
53		simp11l 1281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ HL)
54	53	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
55	54	hllatd 36660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
56		simp12 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
57	54, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
58		simp112 1300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
59	1, 3	clatglbcl 17716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
60	57, 58, 59	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
61		simp11r 1282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑊 ∈ 𝐻)
62	61	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
63	62, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
64	1, 2, 3	clatleglb 17728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
65	57, 56, 58, 64	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
66	49, 65	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))
67		simp113 1301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
68	1, 2, 55, 56, 60, 63, 66, 67	lattrd 17660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑊)
69	58, 48	sseldd 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
70	1, 2, 22	latlem12 17680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
71	55, 56, 69, 63, 70	syl13anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
72	52, 68, 71	mpbi2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊))
73	72	3expia 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
74		breq2 5034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
75	74	biimprcd 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
76	73, 75	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤)))
77	76	rexlimdv 3242	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
78	77	expimpd 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)) → 𝑧 ≤ 𝑤))
79	47, 78	syl5bi 245	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝑇 → 𝑧 ≤ 𝑤))
80	79	ralrimiv 3148	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤)
81	53, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ CLat)
82		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)
83	1, 2, 3	clatleglb 17728	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
84	11, 83	mp3an3 1447	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
85	81, 82, 84	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
86	80, 85	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇))
87		simp2 1134	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
88	1, 2, 3, 40, 86, 8, 87, 13	isglbd 17719	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  glbcglb 17545  meetcmee 17547  Latclat 17647  CLatccla 17709  HLchlt 36646  LHypclh 37280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-poset 17548  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-lat 17648  df-clat 17710  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-lhyp 37284

This theorem is referenced by:  dihglblem3N  38591  dihglblem3aN  38592