Theorem dihglblem2N 42351

Description: The GLB of a set of lattice elements 𝑆 is the same as that of the set 𝑇 with elements of 𝑆 cut down to be under 𝑊. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣, 𝑢)   𝐺(𝑣, 𝑢)   𝐻(𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑣, 𝑢)   ≤ (𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2N

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihglblem.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dihglblem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4		simpl1l 1243	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5	4	hllatd 40421	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlclat 40415	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
9		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
10		ssrab2 4028	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ 𝐵
11	9, 10	eqsstri 3977	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ⊆ 𝐵
12	1, 3	clatglbcl 18679	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
13	8, 11, 12	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ∈ 𝐵)
15		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
16		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		simpl1r 1244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
19		dihglblem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
20	1, 19	lhpbase 41055	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
21	18, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
22		dihglblem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
23	1, 22	latmcl 18614	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
24	5, 17, 21, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
25	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
26		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
27		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊))
28	27	rspceeqv 3599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑥 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
29	16, 26, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
30		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
31	30	rexbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
32	31	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑥 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
33	24, 29, 32	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
34	33, 9	eleqtrrdi 2872	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇)
35	1, 2, 3	clatglble 18691	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
36	11, 35	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑥 ∧ 𝑊) ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
37	25, 34, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ (𝑥 ∧ 𝑊))
38	1, 2, 22	latmle1 18638	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
39	5, 17, 21, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ 𝑊) ≤ 𝑥)
40	1, 2, 5, 14, 24, 17, 37, 39	lattrd 18620	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑇) ≤ 𝑥)
41		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
42	41	rexbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊)))
43		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑦 ∧ 𝑊))
44	43	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
45	44	cbvrexvw 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊))
46	42, 45	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
47	46, 9	elrab2 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑇 ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)))
48		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
49		simp13 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥)
50		breq2 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
51	50	rspcva 3575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑦)
52	48, 49, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑦)
53		simp11l 1303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ HL)
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
55	54	hllatd 40421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
56		simp12 1223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
57	54, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
58		simp112 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
59	1, 3	clatglbcl 18679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
60	57, 58, 59	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
61		simp11r 1304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑊 ∈ 𝐻)
62	61	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
63	62, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
64	1, 2, 3	clatleglb 18692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
65	57, 56, 58, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥))
66	49, 65	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑆))
67		simp113 1323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
68	1, 2, 55, 56, 60, 63, 66, 67	lattrd 18620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ 𝑊)
69	58, 48	sseldd 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
70	1, 2, 22	latlem12 18640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
71	55, 56, 69, 63, 70	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ 𝑊) ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
72	52, 68, 71	mpbi2and 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊))
73	72	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
74		breq2 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ 𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊)))
75	74	biimprcd 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≤ (𝑦 ∧ 𝑊) → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
76	73, 75	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤)))
77	76	rexlimdv 3162	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊) → 𝑧 ≤ 𝑤))
78	77	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑤 = (𝑦 ∧ 𝑊)) → 𝑧 ≤ 𝑤))
79	47, 78	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ 𝑇 → 𝑧 ≤ 𝑤))
80	79	ralrimiv 3154	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤)
81	53, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝐾 ∈ CLat)
82		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)
83	1, 2, 3	clatleglb 18692	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
84	11, 83	mp3an3 1479	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
85	81, 82, 84	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → (𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑇 𝑧 ≤ 𝑤))
86	80, 85	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ (𝐺‘𝑇))
87		simp2 1155	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
88	1, 2, 3, 40, 86, 8, 87, 13	isglbd 18683	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  glbcglb 18484  meetcmee 18486  Latclat 18605  CLatccla 18672  HLchlt 40407  LHypclh 41041

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-poset 18487  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-lat 18606  df-clat 18673  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-lhyp 41045

This theorem is used by:  dihglblem3N  42352  dihglblem3aN  42353