Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem4 39810
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglblem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglblem.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglblem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihglblem4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑒,𝑣, ∧   π‘₯, ≀   π‘₯,𝐡,𝑒   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆,𝑒,𝑣   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Š,𝑒,𝑣   𝑒, ≀ ,𝑣   𝑣,𝐡   𝑒,𝐺,𝑣   𝑒,𝐻,𝑣   𝑒,𝐾,𝑣   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑒)   𝐼(𝑣,𝑒)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem dihglblem4
StepHypRef Expression
1 hlclat 37870 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
21ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
3 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
4 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
5 dihglblem.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 dihglblem.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 dihglblem.g . . . . . 6 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
85, 6, 7clatglble 18414 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘₯)
92, 3, 4, 8syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘₯)
10 simpll 766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
115, 7clatglbcl 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
122, 3, 11syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
133, 4sseldd 3949 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
14 dihglblem.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
15 dihglblem.ih . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
165, 6, 14, 15dihord 39777 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘₯))
1710, 12, 13, 16syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘₯))
189, 17mpbird 257 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† (πΌβ€˜π‘₯))
1918ralrimiva 3140 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† (πΌβ€˜π‘₯))
20 ssiin 5019 . 2 ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† (πΌβ€˜π‘₯))
2119, 20sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) βŠ† ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆ© ciin 4959   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  lecple 17148  glbcglb 18207  meetcmee 18209  CLatccla 18395  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DIsoBcdib 39651  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742
This theorem is referenced by:  dihglblem6  39853
  Copyright terms: Public domain W3C validator