dihglbcpreN - Mathbox for Norm Megill

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Theorem dihglbcpreN 41257

Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dihglbc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglbcpre.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihglbcpre.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglbcpre.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglbcpre.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑞)

**Assertion**
Ref	Expression
dihglbcpreN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑞, ∧ 𝑔,𝑞,𝑥, ≤ 𝑥, ∨ 𝐴,𝑔,𝑞,𝑥 𝐵,𝑞,𝑥 𝑥,𝐸 𝑥,𝐹 𝐺,𝑞,𝑥 𝑔,𝐻,𝑞,𝑥 𝐼,𝑞 𝑔,𝐾,𝑞,𝑥 𝑃,𝑔 𝑥,𝑅 𝑆,𝑞,𝑥 𝑇,𝑔,𝑥 𝑔,𝑊,𝑞,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑔) 𝑃(𝑥,𝑞) 𝑅(𝑔,𝑞) 𝑆(𝑔) 𝑇(𝑞) 𝐸(𝑔,𝑞) 𝐹(𝑔,𝑞) 𝐺(𝑔) 𝐼(𝑥,𝑔) ∨ (𝑔,𝑞) ∧ (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglbc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihglbc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dihvalrel 41236	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
5		simp2r 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ≠ ∅)
6		n0 4376	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
9		simpl1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	1, 2	dihvalrel 41236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑥))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → Rel (𝐼‘𝑥))
12	8, 11	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥))))
14	13	eximdv 1916	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥))))
15	7, 14	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
16		df-rex 3077	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
17	15, 16	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥))
18		reliin 5841	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
20		id 22	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
21		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		simp1l 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlclat 39314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
25		simp2l 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
26		dihglbc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
27		dihglbc.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
28	26, 27	clatglbcl 18575	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
29	24, 25, 28	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
30		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
31		dihglbc.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
32		dihglbcpre.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
33		dihglbcpre.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
34		dihglbcpre.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
35	26, 31, 32, 33, 34, 1	lhpmcvr2 39981	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
36	21, 29, 30, 35	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
37		simpl1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
38	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
39		simpl3 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
40		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
41		dihglbcpre.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42		dihglbcpre.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43		dihglbcpre.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44		dihglbcpre.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
45		dihglbcpre.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑞)
46		vex 3492	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
47		vex 3492	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑠 ∈ V
48	26, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47	dihopelvalc 41206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆))))
49	37, 38, 39, 40, 48	syl121anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆))))
50		simpl2r 1227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
51		r19.28zv 4524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
53		simp11 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54		simp12l 1286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
55		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
56	54, 55	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
57		simp13 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
58		simp11l 1284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
59	58, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
60	26, 31, 27	clatglble 18587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥)
61	59, 54, 55, 60	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥)
62	58	hllatd 39320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
63	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
64		simp11r 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
65	26, 1	lhpbase 39955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
67	26, 31	lattr 18514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
68	62, 63, 56, 66, 67	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
69	61, 68	mpand 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≤ 𝑊 → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
70	57, 69	mtod 198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑥 ≤ 𝑊)
71		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊))
72		simp2ll 1240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ∈ 𝐴)
73	26, 34	atbase 39245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ∈ 𝐵)
75	26, 33	latmcl 18510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
76	62, 63, 66, 75	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
77	26, 31, 32	latlej1 18518	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑞 ≤ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)))
78	62, 74, 76, 77	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)))
79		simp2r 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))
80	78, 79	breqtrd 5192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ (𝐺‘𝑆))
81	26, 31, 62, 74, 63, 56, 80, 61	lattrd 18516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ 𝑥)
82	26, 31, 32, 33, 34	atmod3i1 39821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ≤ 𝑥) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)))
83	58, 72, 56, 66, 81, 82	syl131anc 1383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)))
84		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
85	31, 32, 84, 34, 1	lhpjat2 39978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) → (𝑞 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
86	53, 71, 85	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
87	86	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)))
88		hlol 39317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
89	58, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ OL)
90	26, 33, 84	olm11 39183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)) = 𝑥)
91	89, 56, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)) = 𝑥)
92	83, 87, 91	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥)
93	26, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47	dihopelvalc 41206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
94	53, 56, 70, 71, 92, 93	syl122anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
95	94	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
96	95	ralbidva 3182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
97		simp11l 1284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐾 ∈ HL)
98	97, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐾 ∈ CLat)
99		simp11 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
100		simp3l 1201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
101		simp3r 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
102	31, 34, 1, 41	lhpocnel2 39976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
104		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊))
105	31, 34, 1, 42, 45	ltrniotacl 40536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
106	99, 103, 104, 105	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
107	1, 42, 44	tendocl 40724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
108	99, 101, 106, 107	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
109	1, 42	ltrncnv 40103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇) → ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
110	99, 108, 109	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
111	1, 42	ltrnco 40676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇)
112	99, 100, 110, 111	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇)
113	26, 1, 42, 43	trlcl 40121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵)
114	99, 112, 113	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵)
115		simp12l 1286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
116	26, 31, 27	clatleglb 18588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
117	98, 114, 115, 116	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
118	117	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
119	118	pm5.32da 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
120	52, 96, 119	3bitr4rd 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥)))
121		opex 5484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
122		eliin 5020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥)))
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥))
124	120, 123	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
125	49, 124	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
126	125	exp44 437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 → ((𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))))))
127	126	imp4a 422	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))))
128	127	rexlimdv 3159	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))))
129	36, 128	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
130	129	eqrelrdv2 5819	. 2 ⊢ (((Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∧ Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
131	4, 19, 20, 130	syl21anc 837	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∃wex 1777 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∀wral 3067 ∃wrex 3076 Vcvv 3488 ⊆ wss 3976 ∅c0 4352 ⟨cop 4654 ∩ ciin 5016 class class class wbr 5166 ^◡ccnv 5699 ∘ ccom 5704 Rel wrel 5705 ‘cfv 6573 ℩crio 7403 (class class class)co 7448 Basecbs 17258 lecple 17318 occoc 17319 glbcglb 18380 joincjn 18381 meetcmee 18382 1.cp1 18494 Latclat 18501 CLatccla 18568 OLcol 39130 Atomscatm 39219 HLchlt 39306 LHypclh 39941 LTrncltrn 40058 trLctrl 40115 TEndoctendo 40709 DIsoHcdih 41185

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-iin 5018 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-tpos 8267 df-undef 8314 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-er 8763 df-map 8886 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-fz 13568 df-struct 17194 df-sets 17211 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-ress 17288 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-0g 17501 df-proset 18365 df-poset 18383 df-plt 18400 df-lub 18416 df-glb 18417 df-join 18418 df-meet 18419 df-p0 18495 df-p1 18496 df-lat 18502 df-clat 18569 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773 df-submnd 18819 df-grp 18976 df-minusg 18977 df-sbg 18978 df-subg 19163 df-cntz 19357 df-lsm 19678 df-cmn 19824 df-abl 19825 df-mgp 20162 df-rng 20180 df-ur 20209 df-ring 20262 df-oppr 20360 df-dvdsr 20383 df-unit 20384 df-invr 20414 df-dvr 20427 df-drng 20753 df-lmod 20882 df-lss 20953 df-lsp 20993 df-lvec 21125 df-oposet 39132 df-ol 39134 df-oml 39135 df-covers 39222 df-ats 39223 df-atl 39254 df-cvlat 39278 df-hlat 39307 df-llines 39455 df-lplanes 39456 df-lvols 39457 df-lines 39458 df-psubsp 39460 df-pmap 39461 df-padd 39753 df-lhyp 39945 df-laut 39946 df-ldil 40061 df-ltrn 40062 df-trl 40116 df-tendo 40712 df-edring 40714 df-disoa 40986 df-dvech 41036 df-dib 41096 df-dic 41130 df-dih 41186

This theorem is referenced by: dihglbcN 41258

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