Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglbcpreN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglbcpreN 40661
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane π‘Š. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglbc.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglbc.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglbc.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglbc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglbcpre.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihglbcpre.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglbcpre.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihglbcpre.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglbcpre.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglbcpre.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglbcpre.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglbcpre.f 𝐹 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (π‘”β€˜π‘ƒ) = π‘ž)
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ž, ∧   𝑔,π‘ž,π‘₯, ≀   π‘₯, ∨   𝐴,𝑔,π‘ž,π‘₯   𝐡,π‘ž,π‘₯   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹   𝐺,π‘ž,π‘₯   𝑔,𝐻,π‘ž,π‘₯   𝐼,π‘ž   𝑔,𝐾,π‘ž,π‘₯   𝑃,𝑔   π‘₯,𝑅   𝑆,π‘ž,π‘₯   𝑇,𝑔,π‘₯   𝑔,π‘Š,π‘ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑔)   𝑃(π‘₯,π‘ž)   𝑅(𝑔,π‘ž)   𝑆(𝑔)   𝑇(π‘ž)   𝐸(𝑔,π‘ž)   𝐹(𝑔,π‘ž)   𝐺(𝑔)   𝐼(π‘₯,𝑔)   ∨ (𝑔,π‘ž)   ∧ (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dihglbc.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2dihvalrel 40640 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
433ad2ant1 1130 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)))
5 simp2r 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
6 n0 4338 . . . . . 6 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
75, 6sylib 217 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
9 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
101, 2dihvalrel 40640 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘₯))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘₯))
128, 11jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
1312ex 412 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯))))
1413eximdv 1912 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯))))
157, 14mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
16 df-rex 3063 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ Rel (πΌβ€˜π‘₯)))
1715, 16sylibr 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯))
18 reliin 5807 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 Rel (πΌβ€˜π‘₯) β†’ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
1917, 18syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
20 id 22 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š))
21 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
22 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ HL)
23 hlclat 38718 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
25 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
26 dihglbc.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
27 dihglbc.g . . . . . . 7 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
2826, 27clatglbcl 18460 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
2924, 25, 28syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
30 simp3 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)
31 dihglbc.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
32 dihglbcpre.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
33 dihglbcpre.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
34 dihglbcpre.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 39385 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)))
3621, 29, 30, 35syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)))
37 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3829adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
39 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)
40 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)))
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (π‘”β€˜π‘ƒ) = π‘ž)
46 vex 3470 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
47 vex 3470 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 40610 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ (πΊβ€˜π‘†))))
50 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
51 r19.28zv 4492 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯)))
53 simp11 1200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
54 simp12l 1283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
55 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
5654, 55sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
57 simp13 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)
58 simp11l 1281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5958, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
6026, 31, 27clatglble 18472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘₯)
6159, 54, 55, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘₯)
6258hllatd 38724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
63293ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
64 simp11r 1282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
6526, 1lhpbase 39359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
6726, 31lattr 18399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š))
6862, 63, 56, 66, 67syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š))
6961, 68mpand 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š))
7057, 69mtod 197 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š)
71 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
72 simp2ll 1237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
7326, 34atbase 38649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
7526, 33latmcl 18395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
7662, 63, 66, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
7726, 31, 32latlej1 18403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ž ∈ 𝐡 ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ π‘ž ≀ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)))
7862, 74, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ≀ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)))
79 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))
8078, 79breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ≀ (πΊβ€˜π‘†))
8126, 31, 62, 74, 63, 56, 80, 61lattrd 18401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘ž ≀ π‘₯)
8226, 31, 32, 33, 34atmod3i1 39225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) ∧ π‘ž ≀ π‘₯) β†’ (π‘ž ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = (π‘₯ ∧ (π‘ž ∨ π‘Š)))
8358, 72, 56, 66, 81, 82syl131anc 1380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ž ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = (π‘₯ ∧ (π‘ž ∨ π‘Š)))
84 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
8531, 32, 84, 34, 1lhpjat2 39382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
8653, 71, 85syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ž ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
8786oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∧ (π‘ž ∨ π‘Š)) = (π‘₯ ∧ (1.β€˜πΎ)))
88 hlol 38721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
8958, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ OL)
9026, 33, 84olm11 38587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∧ (1.β€˜πΎ)) = π‘₯)
9189, 56, 90syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∧ (1.β€˜πΎ)) = π‘₯)
9283, 87, 913eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ž ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯)
9326, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 40610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯)))
9453, 56, 70, 71, 92, 93syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯)))
95943expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯)))
9695ralbidva 3167 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯)))
97 simp11l 1281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9897, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
99 simp11 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
100 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
101 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
10231, 34, 1, 41lhpocnel2 39380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
104 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
10531, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 39940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
10699, 103, 104, 105syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
1071, 42, 44tendocl 40128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
10899, 101, 106, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
1091, 42ltrncnv 39507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
11099, 108, 109syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ β—‘(π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
1111, 42ltrnco 40080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ β—‘(π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ)) ∈ 𝑇)
11299, 100, 110, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ)) ∈ 𝑇)
11326, 1, 42, 43trlcl 39525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ)) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ∈ 𝐡)
11499, 112, 113syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ∈ 𝐡)
115 simp12l 1283 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
11626, 31, 27clatleglb 18473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯))
11798, 114, 115, 116syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯))
1181173expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ (πΊβ€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯))
119118pm5.32da 578 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ (πΊβ€˜π‘†)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ π‘₯)))
12052, 96, 1193bitr4rd 312 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ (πΊβ€˜π‘†)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯)))
121 opex 5454 . . . . . . . . . 10 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ V
122 eliin 4992 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯)))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘₯))
124120, 123bitr4di 289 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ β—‘(π‘ β€˜πΉ))) ≀ (πΊβ€˜π‘†)) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)))
12549, 124bitrd 279 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†))) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)))
126125exp44 437 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ ((π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))))))
127126imp4a 422 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)))))
128127rexlimdv 3145 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž ∨ ((πΊβ€˜π‘†) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘†)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))))
12936, 128mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)))
130129eqrelrdv2 5785 . 2 (((Rel (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) ∧ Rel ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
1314, 19, 20, 130syl21anc 835 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑆 (πΌβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  βŸ¨cop 4626  βˆ© ciin 4988   class class class wbr 5138  β—‘ccnv 5665   ∘ ccom 5670  Rel wrel 5671  β€˜cfv 6533  β„©crio 7356  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  lecple 17203  occoc 17204  glbcglb 18265  joincjn 18266  meetcmee 18267  1.cp1 18379  Latclat 18386  CLatccla 18453  OLcol 38534  Atomscatm 38623  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  trLctrl 39519  TEndoctendo 40113  DIsoHcdih 40589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-disoa 40390  df-dvech 40440  df-dib 40500  df-dic 40534  df-dih 40590
This theorem is referenced by:  dihglbcN  40662
  Copyright terms: Public domain W3C validator