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Theorem dihglbcpreN 38423
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l = (le‘𝐾)
dihglbcpre.j = (join‘𝐾)
dihglbcpre.m = (meet‘𝐾)
dihglbcpre.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglbcpre.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.f 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,   𝑔,𝑞,𝑥,   𝑥,   𝐴,𝑔,𝑞,𝑥   𝐵,𝑞,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝑔,𝐻,𝑞,𝑥   𝐼,𝑞   𝑔,𝐾,𝑞,𝑥   𝑃,𝑔   𝑥,𝑅   𝑆,𝑞,𝑥   𝑇,𝑔,𝑥   𝑔,𝑊,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑥,𝑞)   𝑅(𝑔,𝑞)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑞)   𝐸(𝑔,𝑞)   𝐹(𝑔,𝑞)   𝐺(𝑔)   𝐼(𝑥,𝑔)   (𝑔,𝑞)   (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihglbc.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dihvalrel 38402 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
433ad2ant1 1127 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
5 simp2r 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆 ≠ ∅)
6 n0 4308 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
75, 6sylib 220 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
8 simpr 487 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
9 simpl1 1185 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
101, 2dihvalrel 38402 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑥))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → Rel (𝐼𝑥))
128, 11jca 514 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1312ex 415 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
1413eximdv 1911 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
157, 14mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
16 df-rex 3142 . . . 4 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1715, 16sylibr 236 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥))
18 reliin 5683 . . 3 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1917, 18syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
20 id 22 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
21 simp1 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 simp1l 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlclat 36481 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
25 simp2l 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
26 dihglbc.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
27 dihglbc.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
2826, 27clatglbcl 17716 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
2924, 25, 28syl2anc 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
30 simp3 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
31 dihglbc.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
32 dihglbcpre.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
33 dihglbcpre.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
34 dihglbcpre.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 37147 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
3621, 29, 30, 35syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
37 simpl1 1185 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3829adantr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
39 simpl3 1187 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
40 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
46 vex 3496 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
47 vex 3496 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 38372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
50 simpl2r 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
51 r19.28zv 4444 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
53 simp11 1197 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simp12l 1280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆𝐵)
55 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5654, 55sseldd 3966 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
57 simp13 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
58 simp11l 1278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5958, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
6026, 31, 27clatglble 17727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6159, 54, 55, 60syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6258hllatd 36487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
63293ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
64 simp11r 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐻)
6526, 1lhpbase 37121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐵)
6726, 31lattr 17658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑊𝐵)) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6862, 63, 56, 66, 67syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6961, 68mpand 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊 → (𝐺𝑆) 𝑊))
7057, 69mtod 200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 𝑊)
71 simp2l 1193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
72 simp2ll 1234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐴)
7326, 34atbase 36412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐵)
7526, 33latmcl 17654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7662, 63, 66, 75syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7726, 31, 32latlej1 17662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞𝐵 ∧ ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
7862, 74, 76, 77syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
79 simp2r 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))
8078, 79breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝐺𝑆))
8126, 31, 62, 74, 63, 56, 80, 61lattrd 17660 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 𝑥)
8226, 31, 32, 33, 34atmod3i1 36987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑥𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑞 𝑥) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
8358, 72, 56, 66, 81, 82syl131anc 1377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
84 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8531, 32, 84, 34, 1lhpjat2 37144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8653, 71, 85syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8786oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (𝑞 𝑊)) = (𝑥 (1.‘𝐾)))
88 hlol 36484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
8958, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ OL)
9026, 33, 84olm11 36350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9189, 56, 90syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9283, 87, 913eqtrd 2858 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)
9326, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 38372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9453, 56, 70, 71, 92, 93syl122anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
95943expa 1112 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9695ralbidva 3194 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
97 simp11l 1278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ HL)
9897, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ CLat)
99 simp11 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
100 simp3l 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑓𝑇)
101 simp3r 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑠𝐸)
10231, 34, 1, 41lhpocnel2 37142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
104 simp2l 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
10531, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 37702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐹𝑇)
10699, 103, 104, 105syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐹𝑇)
1071, 42, 44tendocl 37890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
10899, 101, 106, 107syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1091, 42ltrncnv 37269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
11099, 108, 109syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1111, 42ltrnco 37842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇(𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11299, 100, 110, 111syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11326, 1, 42, 43trlcl 37287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
11499, 112, 113syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
115 simp12l 1280 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑆𝐵)
11626, 31, 27clatleglb 17728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵𝑆𝐵) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
11798, 114, 115, 116syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
1181173expa 1112 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
119118pm5.32da 581 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
12052, 96, 1193bitr4rd 314 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
121 opex 5347 . . . . . . . . . 10 𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
122 eliin 4915 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥))
124120, 123syl6bbr 291 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
12549, 124bitrd 281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
126125exp44 440 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))))
127126imp4a 425 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))))
128127rexlimdv 3281 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))
12936, 128mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
130129eqrelrdv2 5661 . 2 (((Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∧ Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1314, 19, 20, 130syl21anc 835 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493  wss 3934  c0 4289  cop 4565   ciin 4911   class class class wbr 5057  ccnv 5547  ccom 5552  Rel wrel 5553  cfv 6348  crio 7105  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  occoc 16565  glbcglb 17545  joincjn 17546  meetcmee 17547  1.cp1 17640  Latclat 17647  CLatccla 17709  OLcol 36297  Atomscatm 36386  HLchlt 36473  LHypclh 37107  LTrncltrn 37224  trLctrl 37281  TEndoctendo 37875  DIsoHcdih 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36076
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474  df-llines 36621  df-lplanes 36622  df-lvols 36623  df-lines 36624  df-psubsp 36626  df-pmap 36627  df-padd 36919  df-lhyp 37111  df-laut 37112  df-ldil 37227  df-ltrn 37228  df-trl 37282  df-tendo 37878  df-edring 37880  df-disoa 38152  df-dvech 38202  df-dib 38262  df-dic 38296  df-dih 38352
This theorem is referenced by:  dihglbcN  38424
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