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Theorem dihglbcpreN 41303
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l = (le‘𝐾)
dihglbcpre.j = (join‘𝐾)
dihglbcpre.m = (meet‘𝐾)
dihglbcpre.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglbcpre.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.f 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,   𝑔,𝑞,𝑥,   𝑥,   𝐴,𝑔,𝑞,𝑥   𝐵,𝑞,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝑔,𝐻,𝑞,𝑥   𝐼,𝑞   𝑔,𝐾,𝑞,𝑥   𝑃,𝑔   𝑥,𝑅   𝑆,𝑞,𝑥   𝑇,𝑔,𝑥   𝑔,𝑊,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑥,𝑞)   𝑅(𝑔,𝑞)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑞)   𝐸(𝑔,𝑞)   𝐹(𝑔,𝑞)   𝐺(𝑔)   𝐼(𝑥,𝑔)   (𝑔,𝑞)   (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihglbc.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dihvalrel 41282 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
433ad2ant1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
5 simp2r 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆 ≠ ∅)
6 n0 4352 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
75, 6sylib 218 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
9 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
101, 2dihvalrel 41282 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑥))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → Rel (𝐼𝑥))
128, 11jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1312ex 412 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
1413eximdv 1916 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
157, 14mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
16 df-rex 3070 . . . 4 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1715, 16sylibr 234 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥))
18 reliin 5826 . . 3 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1917, 18syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
20 id 22 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
21 simp1 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 simp1l 1197 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlclat 39360 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
25 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
26 dihglbc.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
27 dihglbc.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
2826, 27clatglbcl 18551 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
2924, 25, 28syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
30 simp3 1138 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
31 dihglbc.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
32 dihglbcpre.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
33 dihglbcpre.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
34 dihglbcpre.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 40027 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
3621, 29, 30, 35syl12anc 836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
37 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3829adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
39 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
40 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
46 vex 3483 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
47 vex 3483 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 41252 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1376 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
50 simpl2r 1227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
51 r19.28zv 4500 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
53 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simp12l 1286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆𝐵)
55 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5654, 55sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
57 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
58 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5958, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
6026, 31, 27clatglble 18563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6159, 54, 55, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6258hllatd 39366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
63293ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
64 simp11r 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐻)
6526, 1lhpbase 40001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐵)
6726, 31lattr 18490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑊𝐵)) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6862, 63, 56, 66, 67syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6961, 68mpand 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊 → (𝐺𝑆) 𝑊))
7057, 69mtod 198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 𝑊)
71 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
72 simp2ll 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐴)
7326, 34atbase 39291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐵)
7526, 33latmcl 18486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7662, 63, 66, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7726, 31, 32latlej1 18494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞𝐵 ∧ ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
7862, 74, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
79 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))
8078, 79breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝐺𝑆))
8126, 31, 62, 74, 63, 56, 80, 61lattrd 18492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 𝑥)
8226, 31, 32, 33, 34atmod3i1 39867 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑥𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑞 𝑥) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
8358, 72, 56, 66, 81, 82syl131anc 1384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
84 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8531, 32, 84, 34, 1lhpjat2 40024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8653, 71, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8786oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (𝑞 𝑊)) = (𝑥 (1.‘𝐾)))
88 hlol 39363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
8958, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ OL)
9026, 33, 84olm11 39229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9189, 56, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9283, 87, 913eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)
9326, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 41252 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9453, 56, 70, 71, 92, 93syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
95943expa 1118 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9695ralbidva 3175 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
97 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ HL)
9897, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ CLat)
99 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
100 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑓𝑇)
101 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑠𝐸)
10231, 34, 1, 41lhpocnel2 40022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
104 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
10531, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 40582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐹𝑇)
10699, 103, 104, 105syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐹𝑇)
1071, 42, 44tendocl 40770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
10899, 101, 106, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1091, 42ltrncnv 40149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
11099, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1111, 42ltrnco 40722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇(𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11299, 100, 110, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11326, 1, 42, 43trlcl 40167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
11499, 112, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
115 simp12l 1286 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑆𝐵)
11626, 31, 27clatleglb 18564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵𝑆𝐵) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
11798, 114, 115, 116syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
1181173expa 1118 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
119118pm5.32da 579 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
12052, 96, 1193bitr4rd 312 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
121 opex 5468 . . . . . . . . . 10 𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
122 eliin 4995 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥))
124120, 123bitr4di 289 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
12549, 124bitrd 279 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
126125exp44 437 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))))
127126imp4a 422 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))))
128127rexlimdv 3152 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))
12936, 128mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
130129eqrelrdv2 5804 . 2 (((Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∧ Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1314, 19, 20, 130syl21anc 837 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  c0 4332  cop 4631   ciin 4991   class class class wbr 5142  ccnv 5683  ccom 5688  Rel wrel 5689  cfv 6560  crio 7388  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  occoc 17306  glbcglb 18357  joincjn 18358  meetcmee 18359  1.cp1 18470  Latclat 18477  CLatccla 18544  OLcol 39176  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  LHypclh 39987  LTrncltrn 40104  trLctrl 40161  TEndoctendo 40755  DIsoHcdih 41231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-riotaBAD 38955
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-undef 8299  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17487  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-lsm 19655  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162  df-tendo 40758  df-edring 40760  df-disoa 41032  df-dvech 41082  df-dib 41142  df-dic 41176  df-dih 41232
This theorem is referenced by:  dihglbcN  41304
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