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Theorem dihglbcpreN 41283
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l = (le‘𝐾)
dihglbcpre.j = (join‘𝐾)
dihglbcpre.m = (meet‘𝐾)
dihglbcpre.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglbcpre.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.f 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,   𝑔,𝑞,𝑥,   𝑥,   𝐴,𝑔,𝑞,𝑥   𝐵,𝑞,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝑔,𝐻,𝑞,𝑥   𝐼,𝑞   𝑔,𝐾,𝑞,𝑥   𝑃,𝑔   𝑥,𝑅   𝑆,𝑞,𝑥   𝑇,𝑔,𝑥   𝑔,𝑊,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑥,𝑞)   𝑅(𝑔,𝑞)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑞)   𝐸(𝑔,𝑞)   𝐹(𝑔,𝑞)   𝐺(𝑔)   𝐼(𝑥,𝑔)   (𝑔,𝑞)   (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihglbc.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dihvalrel 41262 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
433ad2ant1 1132 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
5 simp2r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆 ≠ ∅)
6 n0 4359 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
75, 6sylib 218 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
9 simpl1 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
101, 2dihvalrel 41262 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑥))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → Rel (𝐼𝑥))
128, 11jca 511 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1312ex 412 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
1413eximdv 1915 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
157, 14mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
16 df-rex 3069 . . . 4 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1715, 16sylibr 234 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥))
18 reliin 5830 . . 3 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1917, 18syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
20 id 22 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
21 simp1 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 simp1l 1196 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlclat 39340 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
25 simp2l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
26 dihglbc.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
27 dihglbc.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
2826, 27clatglbcl 18563 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
2924, 25, 28syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
30 simp3 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
31 dihglbc.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
32 dihglbcpre.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
33 dihglbcpre.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
34 dihglbcpre.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 40007 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
3621, 29, 30, 35syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
37 simpl1 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3829adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
39 simpl3 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
40 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
46 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
47 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 41232 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1374 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
50 simpl2r 1226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
51 r19.28zv 4507 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
53 simp11 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simp12l 1285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆𝐵)
55 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5654, 55sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
57 simp13 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
58 simp11l 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5958, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
6026, 31, 27clatglble 18575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6159, 54, 55, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6258hllatd 39346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
63293ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
64 simp11r 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐻)
6526, 1lhpbase 39981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐵)
6726, 31lattr 18502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑊𝐵)) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6862, 63, 56, 66, 67syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6961, 68mpand 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊 → (𝐺𝑆) 𝑊))
7057, 69mtod 198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 𝑊)
71 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
72 simp2ll 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐴)
7326, 34atbase 39271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐵)
7526, 33latmcl 18498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7662, 63, 66, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7726, 31, 32latlej1 18506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞𝐵 ∧ ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
7862, 74, 76, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
79 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))
8078, 79breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝐺𝑆))
8126, 31, 62, 74, 63, 56, 80, 61lattrd 18504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 𝑥)
8226, 31, 32, 33, 34atmod3i1 39847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑥𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑞 𝑥) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
8358, 72, 56, 66, 81, 82syl131anc 1382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
84 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8531, 32, 84, 34, 1lhpjat2 40004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8653, 71, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8786oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (𝑞 𝑊)) = (𝑥 (1.‘𝐾)))
88 hlol 39343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
8958, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ OL)
9026, 33, 84olm11 39209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9189, 56, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9283, 87, 913eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)
9326, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 41232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9453, 56, 70, 71, 92, 93syl122anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
95943expa 1117 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9695ralbidva 3174 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
97 simp11l 1283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ HL)
9897, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ CLat)
99 simp11 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
100 simp3l 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑓𝑇)
101 simp3r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑠𝐸)
10231, 34, 1, 41lhpocnel2 40002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
104 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
10531, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 40562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐹𝑇)
10699, 103, 104, 105syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐹𝑇)
1071, 42, 44tendocl 40750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
10899, 101, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1091, 42ltrncnv 40129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
11099, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1111, 42ltrnco 40702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇(𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11299, 100, 110, 111syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11326, 1, 42, 43trlcl 40147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
11499, 112, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
115 simp12l 1285 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑆𝐵)
11626, 31, 27clatleglb 18576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵𝑆𝐵) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
11798, 114, 115, 116syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
1181173expa 1117 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
119118pm5.32da 579 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
12052, 96, 1193bitr4rd 312 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
121 opex 5475 . . . . . . . . . 10 𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
122 eliin 5001 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥))
124120, 123bitr4di 289 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
12549, 124bitrd 279 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
126125exp44 437 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))))
127126imp4a 422 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))))
128127rexlimdv 3151 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))
12936, 128mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
130129eqrelrdv2 5808 . 2 (((Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∧ Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1314, 19, 20, 130syl21anc 838 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  cop 4637   ciin 4997   class class class wbr 5148  ccnv 5688  ccom 5693  Rel wrel 5694  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  occoc 17306  glbcglb 18368  joincjn 18369  meetcmee 18370  1.cp1 18482  Latclat 18489  CLatccla 18556  OLcol 39156  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735  DIsoHcdih 41211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212
This theorem is referenced by:  dihglbcN  41284
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