dihglbcpreN - Mathbox for Norm Megill

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Theorem dihglbcpreN 41499

Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dihglbc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglbcpre.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihglbcpre.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglbcpre.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglbcpre.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑞)

**Assertion**
Ref	Expression
dihglbcpreN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑞, ∧ 𝑔,𝑞,𝑥, ≤ 𝑥, ∨ 𝐴,𝑔,𝑞,𝑥 𝐵,𝑞,𝑥 𝑥,𝐸 𝑥,𝐹 𝐺,𝑞,𝑥 𝑔,𝐻,𝑞,𝑥 𝐼,𝑞 𝑔,𝐾,𝑞,𝑥 𝑃,𝑔 𝑥,𝑅 𝑆,𝑞,𝑥 𝑇,𝑔,𝑥 𝑔,𝑊,𝑞,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑔) 𝑃(𝑥,𝑞) 𝑅(𝑔,𝑞) 𝑆(𝑔) 𝑇(𝑞) 𝐸(𝑔,𝑞) 𝐹(𝑔,𝑞) 𝐺(𝑔) 𝐼(𝑥,𝑔) ∨ (𝑔,𝑞) ∧ (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglbc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihglbc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dihvalrel 41478	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
5		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ≠ ∅)
6		n0 4303	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
9		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	1, 2	dihvalrel 41478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑥))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → Rel (𝐼‘𝑥))
12	8, 11	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥))))
14	13	eximdv 1918	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥))))
15	7, 14	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
16		df-rex 3059	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
17	15, 16	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥))
18		reliin 5764	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
20		id 22	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
21		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		simp1l 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlclat 39557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
25		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
26		dihglbc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
27		dihglbc.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
28	26, 27	clatglbcl 18426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
29	24, 25, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
30		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
31		dihglbc.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
32		dihglbcpre.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
33		dihglbcpre.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
34		dihglbcpre.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
35	26, 31, 32, 33, 34, 1	lhpmcvr2 40223	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
36	21, 29, 30, 35	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
37		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
38	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
39		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
40		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
41		dihglbcpre.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42		dihglbcpre.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43		dihglbcpre.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44		dihglbcpre.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
45		dihglbcpre.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑞)
46		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
47		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑠 ∈ V
48	26, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47	dihopelvalc 41448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆))))
49	37, 38, 39, 40, 48	syl121anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆))))
50		simpl2r 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
51		r19.28zv 4457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
53		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54		simp12l 1287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
55		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
56	54, 55	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
57		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
58		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
59	58, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
60	26, 31, 27	clatglble 18438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥)
61	59, 54, 55, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥)
62	58	hllatd 39563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
63	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
64		simp11r 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
65	26, 1	lhpbase 40197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
67	26, 31	lattr 18365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
68	62, 63, 56, 66, 67	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
69	61, 68	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≤ 𝑊 → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
70	57, 69	mtod 198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑥 ≤ 𝑊)
71		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊))
72		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ∈ 𝐴)
73	26, 34	atbase 39488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ∈ 𝐵)
75	26, 33	latmcl 18361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
76	62, 63, 66, 75	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
77	26, 31, 32	latlej1 18369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑞 ≤ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)))
78	62, 74, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)))
79		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))
80	78, 79	breqtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ (𝐺‘𝑆))
81	26, 31, 62, 74, 63, 56, 80, 61	lattrd 18367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ 𝑥)
82	26, 31, 32, 33, 34	atmod3i1 40063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ≤ 𝑥) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)))
83	58, 72, 56, 66, 81, 82	syl131anc 1385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)))
84		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
85	31, 32, 84, 34, 1	lhpjat2 40220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) → (𝑞 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
86	53, 71, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
87	86	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)))
88		hlol 39560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
89	58, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ OL)
90	26, 33, 84	olm11 39426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)) = 𝑥)
91	89, 56, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)) = 𝑥)
92	83, 87, 91	3eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥)
93	26, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47	dihopelvalc 41448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
94	53, 56, 70, 71, 92, 93	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
95	94	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
96	95	ralbidva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
97		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐾 ∈ HL)
98	97, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐾 ∈ CLat)
99		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
100		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
101		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
102	31, 34, 1, 41	lhpocnel2 40218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
104		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊))
105	31, 34, 1, 42, 45	ltrniotacl 40778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
106	99, 103, 104, 105	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
107	1, 42, 44	tendocl 40966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
108	99, 101, 106, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
109	1, 42	ltrncnv 40345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇) → ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
110	99, 108, 109	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
111	1, 42	ltrnco 40918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇)
112	99, 100, 110, 111	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇)
113	26, 1, 42, 43	trlcl 40363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵)
114	99, 112, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵)
115		simp12l 1287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
116	26, 31, 27	clatleglb 18439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
117	98, 114, 115, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
118	117	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
119	118	pm5.32da 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
120	52, 96, 119	3bitr4rd 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥)))
121		opex 5410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
122		eliin 4949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥)))
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥))
124	120, 123	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
125	49, 124	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
126	125	exp44 437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 → ((𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))))))
127	126	imp4a 422	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))))
128	127	rexlimdv 3133	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))))
129	36, 128	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
130	129	eqrelrdv2 5742	. 2 ⊢ (((Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∧ Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
131	4, 19, 20, 130	syl21anc 837	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∃wex 1780 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2930 ∀wral 3049 ∃wrex 3058 Vcvv 3438 ⊆ wss 3899 ∅c0 4283 ⟨cop 4584 ∩ ciin 4945 class class class wbr 5096 ^◡ccnv 5621 ∘ ccom 5626 Rel wrel 5627 ‘cfv 6490 ℩crio 7312 (class class class)co 7356 Basecbs 17134 lecple 17182 occoc 17183 glbcglb 18231 joincjn 18232 meetcmee 18233 1.cp1 18343 Latclat 18352 CLatccla 18419 OLcol 39373 Atomscatm 39462 HLchlt 39549 LHypclh 40183 LTrncltrn 40300 trLctrl 40357 TEndoctendo 40951 DIsoHcdih 41427

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-rep 5222 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-riotaBAD 39152

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-tp 4583 df-op 4585 df-uni 4862 df-int 4901 df-iun 4946 df-iin 4947 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-tpos 8166 df-undef 8213 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-er 8633 df-map 8763 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-fin 8885 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-4 12208 df-5 12209 df-6 12210 df-n0 12400 df-z 12487 df-uz 12750 df-fz 13422 df-struct 17072 df-sets 17089 df-slot 17107 df-ndx 17119 df-base 17135 df-ress 17156 df-plusg 17188 df-mulr 17189 df-sca 17191 df-vsca 17192 df-0g 17359 df-proset 18215 df-poset 18234 df-plt 18249 df-lub 18265 df-glb 18266 df-join 18267 df-meet 18268 df-p0 18344 df-p1 18345 df-lat 18353 df-clat 18420 df-mgm 18563 df-sgrp 18642 df-mnd 18658 df-submnd 18707 df-grp 18864 df-minusg 18865 df-sbg 18866 df-subg 19051 df-cntz 19244 df-lsm 19563 df-cmn 19709 df-abl 19710 df-mgp 20074 df-rng 20086 df-ur 20115 df-ring 20168 df-oppr 20271 df-dvdsr 20291 df-unit 20292 df-invr 20322 df-dvr 20335 df-drng 20662 df-lmod 20811 df-lss 20881 df-lsp 20921 df-lvec 21053 df-oposet 39375 df-ol 39377 df-oml 39378 df-covers 39465 df-ats 39466 df-atl 39497 df-cvlat 39521 df-hlat 39550 df-llines 39697 df-lplanes 39698 df-lvols 39699 df-lines 39700 df-psubsp 39702 df-pmap 39703 df-padd 39995 df-lhyp 40187 df-laut 40188 df-ldil 40303 df-ltrn 40304 df-trl 40358 df-tendo 40954 df-edring 40956 df-disoa 41228 df-dvech 41278 df-dib 41338 df-dic 41372 df-dih 41428

This theorem is referenced by: dihglbcN 41500

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