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Theorem dihglbcpreN 38960
Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglbc.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l = (le‘𝐾)
dihglbcpre.j = (join‘𝐾)
dihglbcpre.m = (meet‘𝐾)
dihglbcpre.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglbcpre.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.f 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
Assertion
Ref Expression
dihglbcpreN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,   𝑔,𝑞,𝑥,   𝑥,   𝐴,𝑔,𝑞,𝑥   𝐵,𝑞,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝑔,𝐻,𝑞,𝑥   𝐼,𝑞   𝑔,𝐾,𝑞,𝑥   𝑃,𝑔   𝑥,𝑅   𝑆,𝑞,𝑥   𝑇,𝑔,𝑥   𝑔,𝑊,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑥,𝑞)   𝑅(𝑔,𝑞)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑞)   𝐸(𝑔,𝑞)   𝐹(𝑔,𝑞)   𝐺(𝑔)   𝐼(𝑥,𝑔)   (𝑔,𝑞)   (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglbc.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihglbc.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dihvalrel 38939 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
433ad2ant1 1134 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)))
5 simp2r 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆 ≠ ∅)
6 n0 4236 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
75, 6sylib 221 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
8 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
9 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
101, 2dihvalrel 38939 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Rel (𝐼𝑥))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → Rel (𝐼𝑥))
128, 11jca 515 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1312ex 416 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
1413eximdv 1924 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥))))
157, 14mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
16 df-rex 3060 . . . 4 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ Rel (𝐼𝑥)))
1715, 16sylibr 237 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥))
18 reliin 5662 . . 3 (∃𝑥𝑆 Rel (𝐼𝑥) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1917, 18syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
20 id 22 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
21 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 simp1l 1198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlclat 37018 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
25 simp2l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
26 dihglbc.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
27 dihglbc.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
2826, 27clatglbcl 17843 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
2924, 25, 28syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
30 simp3 1139 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
31 dihglbc.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
32 dihglbcpre.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
33 dihglbcpre.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
34 dihglbcpre.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3526, 31, 32, 33, 34, 1lhpmcvr2 37684 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
3621, 29, 30, 35syl12anc 836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
37 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3829adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
39 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
40 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)))
41 dihglbcpre.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42 dihglbcpre.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43 dihglbcpre.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44 dihglbcpre.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
45 dihglbcpre.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑔𝑇 (𝑔𝑃) = 𝑞)
46 vex 3403 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
47 vex 3403 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
4826, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 38909 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
4937, 38, 39, 40, 48syl121anc 1376 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆))))
50 simpl2r 1228 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
51 r19.28zv 4388 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
53 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simp12l 1287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆𝐵)
55 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5654, 55sseldd 3879 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
57 simp13 1206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
58 simp11l 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
5958, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
6026, 31, 27clatglble 17854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6159, 54, 55, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑥)
6258hllatd 37024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
63293ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
64 simp11r 1286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐻)
6526, 1lhpbase 37658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊𝐵)
6726, 31lattr 17785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑊𝐵)) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6862, 63, 56, 66, 67syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐺𝑆) 𝑥𝑥 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊))
6961, 68mpand 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑊 → (𝐺𝑆) 𝑊))
7057, 69mtod 201 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 𝑊)
71 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
72 simp2ll 1241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐴)
7326, 34atbase 36949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞𝐵)
7526, 33latmcl 17781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7662, 63, 66, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
7726, 31, 32latlej1 17789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞𝐵 ∧ ((𝐺𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
7862, 74, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)))
79 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))
8078, 79breqtrd 5057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 (𝐺𝑆))
8126, 31, 62, 74, 63, 56, 80, 61lattrd 17787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑞 𝑥)
8226, 31, 32, 33, 34atmod3i1 37524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑥𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑞 𝑥) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
8358, 72, 56, 66, 81, 82syl131anc 1384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = (𝑥 (𝑞 𝑊)))
84 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8531, 32, 84, 34, 1lhpjat2 37681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8653, 71, 85syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 𝑊) = (1.‘𝐾))
8786oveq2d 7189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (𝑞 𝑊)) = (𝑥 (1.‘𝐾)))
88 hlol 37021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
8958, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ OL)
9026, 33, 84olm11 36887 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9189, 56, 90syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 (1.‘𝐾)) = 𝑥)
9283, 87, 913eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)
9326, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47dihopelvalc 38909 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 (𝑥 𝑊)) = 𝑥)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9453, 56, 70, 71, 92, 93syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
95943expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
9695ralbidva 3109 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
97 simp11l 1285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ HL)
9897, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐾 ∈ CLat)
99 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
100 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑓𝑇)
101 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑠𝐸)
10231, 34, 1, 41lhpocnel2 37679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
104 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
10531, 34, 1, 42, 45ltrniotacl 38239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐹𝑇)
10699, 103, 104, 105syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐹𝑇)
1071, 42, 44tendocl 38427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
10899, 101, 106, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1091, 42ltrncnv 37806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
11099, 108, 109syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
1111, 42ltrnco 38379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇(𝑠𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11299, 100, 110, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇)
11326, 1, 42, 43trlcl 37824 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓(𝑠𝐹)) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
11499, 112, 113syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵)
115 simp12l 1287 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝑆𝐵)
11626, 31, 27clatleglb 17855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) ∈ 𝐵𝑆𝐵) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
11798, 114, 115, 116syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
1181173expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥))
119118pm5.32da 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) 𝑥)))
12052, 96, 1193bitr4rd 315 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
121 opex 5323 . . . . . . . . . 10 𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
122 eliin 4887 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥)))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼𝑥))
124120, 123bitr4di 292 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (((𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓(𝑠𝐹))) (𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
12549, 124bitrd 282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
126125exp44 441 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))))
127126imp4a 426 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))))
128127rexlimdv 3194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 ((𝐺𝑆) 𝑊)) = (𝐺𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))))
12936, 128mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
130129eqrelrdv2 5640 . 2 (((Rel (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∧ Rel 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
1314, 19, 20, 130syl21anc 837 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  wrex 3055  Vcvv 3399  wss 3844  c0 4212  cop 4523   ciin 4883   class class class wbr 5031  ccnv 5525  ccom 5530  Rel wrel 5531  cfv 6340  crio 7129  (class class class)co 7173  Basecbs 16589  lecple 16678  occoc 16679  glbcglb 17672  joincjn 17673  meetcmee 17674  1.cp1 17767  Latclat 17774  CLatccla 17836  OLcol 36834  Atomscatm 36923  HLchlt 37010  LHypclh 37644  LTrncltrn 37761  trLctrl 37818  TEndoctendo 38412  DIsoHcdih 38888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-riotaBAD 36613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-tpos 7924  df-undef 7971  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-0g 16821  df-proset 17657  df-poset 17675  df-plt 17687  df-lub 17703  df-glb 17704  df-join 17705  df-meet 17706  df-p0 17768  df-p1 17769  df-lat 17775  df-clat 17837  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-submnd 18076  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-sbg 18227  df-subg 18397  df-cntz 18568  df-lsm 18882  df-cmn 19029  df-abl 19030  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-oppr 19498  df-dvdsr 19516  df-unit 19517  df-invr 19547  df-dvr 19558  df-drng 19626  df-lmod 19758  df-lss 19826  df-lsp 19866  df-lvec 19997  df-oposet 36836  df-ol 36838  df-oml 36839  df-covers 36926  df-ats 36927  df-atl 36958  df-cvlat 36982  df-hlat 37011  df-llines 37158  df-lplanes 37159  df-lvols 37160  df-lines 37161  df-psubsp 37163  df-pmap 37164  df-padd 37456  df-lhyp 37648  df-laut 37649  df-ldil 37764  df-ltrn 37765  df-trl 37819  df-tendo 38415  df-edring 38417  df-disoa 38689  df-dvech 38739  df-dib 38799  df-dic 38833  df-dih 38889
This theorem is referenced by:  dihglbcN  38961
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