dihglbcpreN - Mathbox for Norm Megill

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Theorem dihglbcpreN 41289

Description: Isomorphism H of a lattice glb when the glb is not under the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dihglbc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglbc.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglbc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglbc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglbc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglbcpre.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihglbcpre.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglbcpre.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglbcpre.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihglbcpre.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑞)

**Assertion**
Ref	Expression
dihglbcpreN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑞, ∧ 𝑔,𝑞,𝑥, ≤ 𝑥, ∨ 𝐴,𝑔,𝑞,𝑥 𝐵,𝑞,𝑥 𝑥,𝐸 𝑥,𝐹 𝐺,𝑞,𝑥 𝑔,𝐻,𝑞,𝑥 𝐼,𝑞 𝑔,𝐾,𝑞,𝑥 𝑃,𝑔 𝑥,𝑅 𝑆,𝑞,𝑥 𝑇,𝑔,𝑥 𝑔,𝑊,𝑞,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑔) 𝑃(𝑥,𝑞) 𝑅(𝑔,𝑞) 𝑆(𝑔) 𝑇(𝑞) 𝐸(𝑔,𝑞) 𝐹(𝑔,𝑞) 𝐺(𝑔) 𝐼(𝑥,𝑔) ∨ (𝑔,𝑞) ∧ (𝑔)

Proof of Theorem dihglbcpreN Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglbc.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihglbc.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dihvalrel 41268	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)))
5		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ≠ ∅)
6		n0 4304	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
9		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	1, 2	dihvalrel 41268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘𝑥))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → Rel (𝐼‘𝑥))
12	8, 11	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥))))
14	13	eximdv 1917	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥))))
15	7, 14	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
16		df-rex 3054	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ Rel (𝐼‘𝑥)))
17	15, 16	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥))
18		reliin 5760	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 Rel (𝐼‘𝑥) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
20		id 22	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
21		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		simp1l 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlclat 39347	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
25		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
26		dihglbc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
27		dihglbc.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
28	26, 27	clatglbcl 18411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
29	24, 25, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
30		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
31		dihglbc.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
32		dihglbcpre.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
33		dihglbcpre.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
34		dihglbcpre.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
35	26, 31, 32, 33, 34, 1	lhpmcvr2 40013	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
36	21, 29, 30, 35	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
37		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
38	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
39		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
40		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)))
41		dihglbcpre.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42		dihglbcpre.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
43		dihglbcpre.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44		dihglbcpre.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
45		dihglbcpre.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (℩𝑔 ∈ 𝑇 (𝑔‘𝑃) = 𝑞)
46		vex 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
47		vex 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑠 ∈ V
48	26, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47	dihopelvalc 41238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆))))
49	37, 38, 39, 40, 48	syl121anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆))))
50		simpl2r 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
51		r19.28zv 4452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
53		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54		simp12l 1287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
55		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
56	54, 55	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
57		simp13 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
58		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
59	58, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
60	26, 31, 27	clatglble 18423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥)
61	59, 54, 55, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥)
62	58	hllatd 39353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
63	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
64		simp11r 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
65	26, 1	lhpbase 39987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
67	26, 31	lattr 18350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
68	62, 63, 56, 66, 67	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐺‘𝑆) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
69	61, 68	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≤ 𝑊 → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊))
70	57, 69	mtod 198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑥 ≤ 𝑊)
71		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊))
72		simp2ll 1241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ∈ 𝐴)
73	26, 34	atbase 39278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ∈ 𝐵)
75	26, 33	latmcl 18346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
76	62, 63, 66, 75	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
77	26, 31, 32	latlej1 18354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → 𝑞 ≤ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)))
78	62, 74, 76, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)))
79		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))
80	78, 79	breqtrd 5118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ (𝐺‘𝑆))
81	26, 31, 62, 74, 63, 56, 80, 61	lattrd 18352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑞 ≤ 𝑥)
82	26, 31, 32, 33, 34	atmod3i1 39853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑞 ≤ 𝑥) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)))
83	58, 72, 56, 66, 81, 82	syl131anc 1385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)))
84		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
85	31, 32, 84, 34, 1	lhpjat2 40010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) → (𝑞 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
86	53, 71, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
87	86	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ (𝑞 ∨ 𝑊)) = (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)))
88		hlol 39350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
89	58, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ OL)
90	26, 33, 84	olm11 39216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)) = 𝑥)
91	89, 56, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∧ (1.‘𝐾)) = 𝑥)
92	83, 87, 91	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥)
93	26, 31, 32, 33, 34, 1, 41, 42, 43, 44, 2, 45, 46, 47	dihopelvalc 41238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
94	53, 56, 70, 71, 92, 93	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
95	94	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
96	95	ralbidva 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
97		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐾 ∈ HL)
98	97, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐾 ∈ CLat)
99		simp11 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
100		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
101		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
102	31, 34, 1, 41	lhpocnel2 40008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
104		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊))
105	31, 34, 1, 42, 45	ltrniotacl 40568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
106	99, 103, 104, 105	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
107	1, 42, 44	tendocl 40756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
108	99, 101, 106, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
109	1, 42	ltrncnv 40135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇) → ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
110	99, 108, 109	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
111	1, 42	ltrnco 40708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ^◡(𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇)
112	99, 100, 110, 111	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇)
113	26, 1, 42, 43	trlcl 40153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹)) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵)
114	99, 112, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵)
115		simp12l 1287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
116	26, 31, 27	clatleglb 18424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
117	98, 114, 115, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
118	117	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) → ((𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥))
119	118	pm5.32da 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ 𝑥)))
120	52, 96, 119	3bitr4rd 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥)))
121		opex 5407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V
122		eliin 4946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ V → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥)))
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘𝑥))
124	120, 123	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑅‘(𝑓 ∘ ^◡(𝑠‘𝐹))) ≤ (𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
125	49, 124	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆))) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
126	125	exp44 437	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 → ((𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))))))
127	126	imp4a 422	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))))
128	127	rexlimdv 3128	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ∨ ((𝐺‘𝑆) ∧ 𝑊)) = (𝐺‘𝑆)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))))
129	36, 128	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ↔ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)))
130	129	eqrelrdv2 5738	. 2 ⊢ (((Rel (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) ∧ Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥)) ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))
131	4, 19, 20, 130	syl21anc 837	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ ¬ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∃wex 1779 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 Vcvv 3436 ⊆ wss 3903 ∅c0 4284 ⟨cop 4583 ∩ ciin 4942 class class class wbr 5092 ^◡ccnv 5618 ∘ ccom 5623 Rel wrel 5624 ‘cfv 6482 ℩crio 7305 (class class class)co 7349 Basecbs 17120 lecple 17168 occoc 17169 glbcglb 18216 joincjn 18217 meetcmee 18218 1.cp1 18328 Latclat 18337 CLatccla 18404 OLcol 39163 Atomscatm 39252 HLchlt 39339 LHypclh 39973 LTrncltrn 40090 trLctrl 40147 TEndoctendo 40741 DIsoHcdih 41217

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5218 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-riotaBAD 38942

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4859 df-int 4897 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-tpos 8159 df-undef 8206 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-1o 8388 df-er 8625 df-map 8755 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-fin 8876 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-4 12193 df-5 12194 df-6 12195 df-n0 12385 df-z 12472 df-uz 12736 df-fz 13411 df-struct 17058 df-sets 17075 df-slot 17093 df-ndx 17105 df-base 17121 df-ress 17142 df-plusg 17174 df-mulr 17175 df-sca 17177 df-vsca 17178 df-0g 17345 df-proset 18200 df-poset 18219 df-plt 18234 df-lub 18250 df-glb 18251 df-join 18252 df-meet 18253 df-p0 18329 df-p1 18330 df-lat 18338 df-clat 18405 df-mgm 18514 df-sgrp 18593 df-mnd 18609 df-submnd 18658 df-grp 18815 df-minusg 18816 df-sbg 18817 df-subg 19002 df-cntz 19196 df-lsm 19515 df-cmn 19661 df-abl 19662 df-mgp 20026 df-rng 20038 df-ur 20067 df-ring 20120 df-oppr 20222 df-dvdsr 20242 df-unit 20243 df-invr 20273 df-dvr 20286 df-drng 20616 df-lmod 20765 df-lss 20835 df-lsp 20875 df-lvec 21007 df-oposet 39165 df-ol 39167 df-oml 39168 df-covers 39255 df-ats 39256 df-atl 39287 df-cvlat 39311 df-hlat 39340 df-llines 39487 df-lplanes 39488 df-lvols 39489 df-lines 39490 df-psubsp 39492 df-pmap 39493 df-padd 39785 df-lhyp 39977 df-laut 39978 df-ldil 40093 df-ltrn 40094 df-trl 40148 df-tendo 40744 df-edring 40746 df-disoa 41018 df-dvech 41068 df-dib 41128 df-dic 41162 df-dih 41218

This theorem is referenced by: dihglbcN 41290

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