Theorem clim2cf 46478

Description: Express the predicate 𝐹 converges to 𝐴. Similar to clim2 15591, but without the disjoint var constraint 𝐹𝑘. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2cf.nf	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
clim2cf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2cf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
clim2cf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
clim2cf.fv	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
clim2cf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
clim2cf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
clim2cf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim2cf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2cf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	biantrurd 542	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))
3		clim2cf.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	uztrn2 12906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
5		clim2cf.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
7	4, 6	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
8	7	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
9	8	ralbidva 3183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
10	9	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
11	10	ralbidv 3185	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
12		clim2cf.nf	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
13		clim2cf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		clim2cf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
15		clim2cf.fv	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
16	12, 3, 13, 14, 15	clim2f 46464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))
17	2, 11, 16	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   < clt 11267   − cmin 11465  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ℝ⁺crp 13042  abscabs 15321   ⇝ cli 15571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-neg 11468  df-z 12616  df-uz 12888  df-clim 15575

This theorem is used by:  clim0cf  46482