Theorem uztrn2 12751

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2823	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12750	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2842	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  eluznn0  12815  eluznn  12816  elfzuz2  13429  rexuz3  15256  r19.29uz  15258  r19.2uz  15259  clim2  15411  clim2c  15412  clim0c  15414  rlimclim1  15452  2clim  15479  climabs0  15492  climcn1  15499  climcn2  15500  climsqz  15548  climsqz2  15549  clim2ser  15562  clim2ser2  15563  climub  15569  climsup  15577  caurcvg2  15585  serf0  15588  iseraltlem1  15589  iseralt  15592  cvgcmp  15723  cvgcmpce  15725  isumsup2  15753  mertenslem1  15791  clim2div  15796  ntrivcvgfvn0  15806  ntrivcvgmullem  15808  fprodeq0  15882  lmbrf  23175  lmss  23213  lmres  23215  txlm  23563  uzrest  23812  lmmcvg  25188  lmmbrf  25189  iscau4  25206  iscauf  25207  caucfil  25210  iscmet3lem3  25217  iscmet3lem1  25218  lmle  25228  lmclim  25230  mbflimsup  25594  ulm2  26321  ulmcaulem  26330  ulmcau  26331  ulmss  26333  ulmdvlem1  26336  ulmdvlem3  26338  mtest  26340  itgulm  26344  logfaclbnd  27160  bposlem6  27227  caures  37799  caushft  37800  dvgrat  44404  cvgdvgrat  44405  climinf  45705  clim2f  45733  clim2cf  45747  clim0cf  45751  clim2f2  45767  fnlimfvre  45771  allbutfifvre  45772  limsupvaluz2  45835  limsupreuzmpt  45836  supcnvlimsup  45837  climuzlem  45840  climisp  45843  climrescn  45845  climxrrelem  45846  climxrre  45847  limsupgtlem  45874  liminfreuzlem  45899  liminfltlem  45901  liminflimsupclim  45904  xlimpnfxnegmnf  45911  liminflbuz2  45912  liminfpnfuz  45913  liminflimsupxrre  45914  xlimmnfvlem2  45930  xlimmnfv  45931  xlimpnfvlem2  45934  xlimpnfv  45935  xlimmnfmpt  45940  xlimpnfmpt  45941  climxlim2lem  45942  xlimpnfxnegmnf2  45955  meaiuninc3v  46581  smflimlem1  46868  smflimlem2  46869  smflimlem3  46870  smflimmpt  46907  smflimsuplem4  46920  smflimsuplem7  46923  smflimsupmpt  46926  smfliminfmpt  46929