Theorem uztrn2 12887

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2854	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12886	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 592	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2873	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  ℤ_≥cuz 12868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11450  df-z 12598  df-uz 12869

This theorem is used by:  eluznn0  12947  eluznn  12948  elfzuz2  13563  rexuz3  15407  r19.29uz  15409  r19.2uz  15410  clim2  15562  clim2c  15563  clim0c  15565  rlimclim1  15603  2clim  15630  climabs0  15643  climcn1  15650  climcn2  15651  climsqz  15699  climsqz2  15700  clim2ser  15713  clim2ser2  15714  climub  15720  climsup  15728  caurcvg2  15736  serf0  15739  iseraltlem1  15740  iseralt  15743  cvgcmp  15875  cvgcmpce  15877  isumsup2  15907  mertenslem1  15945  clim2div  15950  ntrivcvgfvn0  15960  ntrivcvgmullem  15962  fprodeq0  16036  lmbrf  23428  lmss  23466  lmres  23468  txlm  23816  uzrest  24065  lmmcvg  25431  lmmbrf  25432  iscau4  25449  iscauf  25450  caucfil  25453  iscmet3lem3  25460  iscmet3lem1  25461  lmle  25471  lmclim  25473  mbflimsup  25836  ulm2  26559  ulmcaulem  26568  ulmcau  26569  ulmss  26571  ulmdvlem1  26574  ulmdvlem3  26576  mtest  26578  itgulm  26582  logfaclbnd  27397  bposlem6  27464  caures  38439  caushft  38440  dvgrat  45050  cvgdvgrat  45051  climinf  46350  clim2f  46378  clim2cf  46392  clim0cf  46396  clim2f2  46412  fnlimfvre  46416  allbutfifvre  46417  limsupvaluz2  46480  limsupreuzmpt  46481  supcnvlimsup  46482  climuzlem  46485  climisp  46488  climrescn  46490  climxrrelem  46491  climxrre  46492  limsupgtlem  46519  liminfreuzlem  46544  liminfltlem  46546  liminflimsupclim  46549  xlimpnfxnegmnf  46556  liminflbuz2  46557  liminfpnfuz  46558  liminflimsupxrre  46559  xlimmnfvlem2  46575  xlimmnfv  46576  xlimpnfvlem2  46579  xlimpnfv  46580  xlimmnfmpt  46585  xlimpnfmpt  46586  climxlim2lem  46587  xlimpnfxnegmnf2  46600  meaiuninc3v  47226  smflimlem1  47513  smflimlem2  47514  smflimlem3  47515  smflimmpt  47552  smflimsuplem4  47565  smflimsuplem7  47568  smflimsupmpt  47571  smfliminfmpt  47574