MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uztrn2 12251
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
uztrn2.1 𝑍 = (ℤ𝐾)
Assertion
Ref Expression
uztrn2 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑍)

Proof of Theorem uztrn2
StepHypRef Expression
1 uztrn2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝐾)
21eleq2i 2909 . . 3 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
3 uztrn 12250 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
43ancoms 459 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
52, 4sylanb 581 . 2 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐾))
65, 1syl6eleqr 2929 1 ((𝑁𝑍𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  cuz 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11971  df-uz 12233
This theorem is referenced by:  eluznn0  12306  eluznn  12307  elfzuz2  12902  rexuz3  14698  r19.29uz  14700  r19.2uz  14701  clim2  14851  clim2c  14852  clim0c  14854  rlimclim1  14892  2clim  14919  climabs0  14932  climcn1  14938  climcn2  14939  climsqz  14987  climsqz2  14988  clim2ser  15001  clim2ser2  15002  climub  15008  climsup  15016  caurcvg2  15024  serf0  15027  iseraltlem1  15028  iseralt  15031  cvgcmp  15161  cvgcmpce  15163  isumsup2  15191  mertenslem1  15230  clim2div  15235  ntrivcvgfvn0  15245  ntrivcvgmullem  15247  fprodeq0  15319  lmbrf  21784  lmss  21822  lmres  21824  txlm  22172  uzrest  22421  lmmcvg  23779  lmmbrf  23780  iscau4  23797  iscauf  23798  caucfil  23801  iscmet3lem3  23808  iscmet3lem1  23809  lmle  23819  lmclim  23821  mbflimsup  24182  ulm2  24888  ulmcaulem  24897  ulmcau  24898  ulmss  24900  ulmdvlem1  24903  ulmdvlem3  24905  mtest  24907  itgulm  24911  logfaclbnd  25712  bposlem6  25779  caures  34903  caushft  34904  dvgrat  40509  cvgdvgrat  40510  climinf  41752  clim2f  41782  clim2cf  41796  clim0cf  41800  clim2f2  41816  fnlimfvre  41820  allbutfifvre  41821  limsupvaluz2  41884  limsupreuzmpt  41885  supcnvlimsup  41886  climuzlem  41889  climisp  41892  climrescn  41894  climxrrelem  41895  climxrre  41896  limsupgtlem  41923  liminfreuzlem  41948  liminfltlem  41950  liminflimsupclim  41953  xlimpnfxnegmnf  41960  liminflbuz2  41961  liminfpnfuz  41962  liminflimsupxrre  41963  xlimmnfvlem2  41979  xlimmnfv  41980  xlimpnfvlem2  41983  xlimpnfv  41984  xlimmnfmpt  41989  xlimpnfmpt  41990  climxlim2lem  41991  xlimpnfxnegmnf2  42004  meaiuninc3v  42632  smflimlem1  42913  smflimlem2  42914  smflimlem3  42915  smflimmpt  42950  smflimsuplem4  42963  smflimsuplem7  42966  smflimsupmpt  42969  smfliminfmpt  42972
  Copyright terms: Public domain W3C validator