Theorem uztrn2 12910

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2854	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12909	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2873	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℤ_≥cuz 12891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-neg 11472  df-z 12620  df-uz 12892

This theorem is used by:  eluznn0  12970  eluznn  12971  elfzuz2  13587  rexuz3  15440  r19.29uz  15442  r19.2uz  15443  clim2  15595  clim2c  15596  clim0c  15598  rlimclim1  15636  2clim  15663  climabs0  15676  climcn1  15683  climcn2  15684  climsqz  15732  climsqz2  15733  clim2ser  15746  clim2ser2  15747  climub  15753  climsup  15761  caurcvg2  15769  serf0  15772  iseraltlem1  15773  iseralt  15776  cvgcmp  15907  cvgcmpce  15909  isumsup2  15939  mertenslem1  15977  clim2div  15982  ntrivcvgfvn0  15992  ntrivcvgmullem  15994  fprodeq0  16068  lmbrf  23491  lmss  23529  lmres  23531  txlm  23880  uzrest  24129  lmmcvg  25495  lmmbrf  25496  iscau4  25513  iscauf  25514  caucfil  25517  iscmet3lem3  25524  iscmet3lem1  25525  lmle  25535  lmclim  25537  mbflimsup  25900  ulm2  26628  ulmcaulem  26637  ulmcau  26638  ulmss  26640  ulmdvlem1  26643  ulmdvlem3  26645  mtest  26647  itgulm  26651  logfaclbnd  27466  bposlem6  27533  caures  38518  caushft  38519  dvgrat  45144  cvgdvgrat  45145  climinf  46444  clim2f  46472  clim2cf  46486  clim0cf  46490  clim2f2  46506  fnlimfvre  46510  allbutfifvre  46511  limsupvaluz2  46574  limsupreuzmpt  46575  supcnvlimsup  46576  climuzlem  46579  climisp  46582  climrescn  46584  climxrrelem  46585  climxrre  46586  limsupgtlem  46613  liminfreuzlem  46638  liminfltlem  46640  liminflimsupclim  46643  xlimpnfxnegmnf  46650  liminflbuz2  46651  liminfpnfuz  46652  liminflimsupxrre  46653  xlimmnfvlem2  46669  xlimmnfv  46670  xlimpnfvlem2  46673  xlimpnfv  46674  xlimmnfmpt  46679  xlimpnfmpt  46680  climxlim2lem  46681  xlimpnfxnegmnf2  46694  meaiuninc3v  47320  smflimlem1  47607  smflimlem2  47608  smflimlem3  47609  smflimmpt  47646  smflimsuplem4  47659  smflimsuplem7  47662  smflimsupmpt  47665  smfliminfmpt  47668