Theorem uztrn2 12530

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2830	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12529	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 580	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2850	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  eluznn0  12586  eluznn  12587  elfzuz2  13190  rexuz3  14988  r19.29uz  14990  r19.2uz  14991  clim2  15141  clim2c  15142  clim0c  15144  rlimclim1  15182  2clim  15209  climabs0  15222  climcn1  15229  climcn2  15230  climsqz  15278  climsqz2  15279  clim2ser  15294  clim2ser2  15295  climub  15301  climsup  15309  caurcvg2  15317  serf0  15320  iseraltlem1  15321  iseralt  15324  cvgcmp  15456  cvgcmpce  15458  isumsup2  15486  mertenslem1  15524  clim2div  15529  ntrivcvgfvn0  15539  ntrivcvgmullem  15541  fprodeq0  15613  lmbrf  22319  lmss  22357  lmres  22359  txlm  22707  uzrest  22956  lmmcvg  24330  lmmbrf  24331  iscau4  24348  iscauf  24349  caucfil  24352  iscmet3lem3  24359  iscmet3lem1  24360  lmle  24370  lmclim  24372  mbflimsup  24735  ulm2  25449  ulmcaulem  25458  ulmcau  25459  ulmss  25461  ulmdvlem1  25464  ulmdvlem3  25466  mtest  25468  itgulm  25472  logfaclbnd  26275  bposlem6  26342  caures  35845  caushft  35846  dvgrat  41819  cvgdvgrat  41820  climinf  43037  clim2f  43067  clim2cf  43081  clim0cf  43085  clim2f2  43101  fnlimfvre  43105  allbutfifvre  43106  limsupvaluz2  43169  limsupreuzmpt  43170  supcnvlimsup  43171  climuzlem  43174  climisp  43177  climrescn  43179  climxrrelem  43180  climxrre  43181  limsupgtlem  43208  liminfreuzlem  43233  liminfltlem  43235  liminflimsupclim  43238  xlimpnfxnegmnf  43245  liminflbuz2  43246  liminfpnfuz  43247  liminflimsupxrre  43248  xlimmnfvlem2  43264  xlimmnfv  43265  xlimpnfvlem2  43268  xlimpnfv  43269  xlimmnfmpt  43274  xlimpnfmpt  43275  climxlim2lem  43276  xlimpnfxnegmnf2  43289  meaiuninc3v  43912  smflimlem1  44193  smflimlem2  44194  smflimlem3  44195  smflimmpt  44230  smflimsuplem4  44243  smflimsuplem7  44246  smflimsupmpt  44249  smfliminfmpt  44252