Theorem uztrn2 12812

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12811	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  eluznn0  12876  eluznn  12877  elfzuz2  13490  rexuz3  15315  r19.29uz  15317  r19.2uz  15318  clim2  15470  clim2c  15471  clim0c  15473  rlimclim1  15511  2clim  15538  climabs0  15551  climcn1  15558  climcn2  15559  climsqz  15607  climsqz2  15608  clim2ser  15621  clim2ser2  15622  climub  15628  climsup  15636  caurcvg2  15644  serf0  15647  iseraltlem1  15648  iseralt  15651  cvgcmp  15782  cvgcmpce  15784  isumsup2  15812  mertenslem1  15850  clim2div  15855  ntrivcvgfvn0  15865  ntrivcvgmullem  15867  fprodeq0  15941  lmbrf  23147  lmss  23185  lmres  23187  txlm  23535  uzrest  23784  lmmcvg  25161  lmmbrf  25162  iscau4  25179  iscauf  25180  caucfil  25183  iscmet3lem3  25190  iscmet3lem1  25191  lmle  25201  lmclim  25203  mbflimsup  25567  ulm2  26294  ulmcaulem  26303  ulmcau  26304  ulmss  26306  ulmdvlem1  26309  ulmdvlem3  26311  mtest  26313  itgulm  26317  logfaclbnd  27133  bposlem6  27200  caures  37754  caushft  37755  dvgrat  44301  cvgdvgrat  44302  climinf  45604  clim2f  45634  clim2cf  45648  clim0cf  45652  clim2f2  45668  fnlimfvre  45672  allbutfifvre  45673  limsupvaluz2  45736  limsupreuzmpt  45737  supcnvlimsup  45738  climuzlem  45741  climisp  45744  climrescn  45746  climxrrelem  45747  climxrre  45748  limsupgtlem  45775  liminfreuzlem  45800  liminfltlem  45802  liminflimsupclim  45805  xlimpnfxnegmnf  45812  liminflbuz2  45813  liminfpnfuz  45814  liminflimsupxrre  45815  xlimmnfvlem2  45831  xlimmnfv  45832  xlimpnfvlem2  45835  xlimpnfv  45836  xlimmnfmpt  45841  xlimpnfmpt  45842  climxlim2lem  45843  xlimpnfxnegmnf2  45856  meaiuninc3v  46482  smflimlem1  46769  smflimlem2  46770  smflimlem3  46771  smflimmpt  46808  smflimsuplem4  46821  smflimsuplem7  46824  smflimsupmpt  46827  smfliminfmpt  46830