Theorem uztrn2 12909

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2854	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12908	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2873	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℤ_≥cuz 12890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891

This theorem is used by:  eluznn0  12969  eluznn  12970  elfzuz2  13585  rexuz3  15438  r19.29uz  15440  r19.2uz  15441  clim2  15593  clim2c  15594  clim0c  15596  rlimclim1  15634  2clim  15661  climabs0  15674  climcn1  15681  climcn2  15682  climsqz  15730  climsqz2  15731  clim2ser  15744  clim2ser2  15745  climub  15751  climsup  15759  caurcvg2  15767  serf0  15770  iseraltlem1  15771  iseralt  15774  cvgcmp  15905  cvgcmpce  15907  isumsup2  15937  mertenslem1  15975  clim2div  15980  ntrivcvgfvn0  15990  ntrivcvgmullem  15992  fprodeq0  16066  lmbrf  23486  lmss  23524  lmres  23526  txlm  23875  uzrest  24124  lmmcvg  25490  lmmbrf  25491  iscau4  25508  iscauf  25509  caucfil  25512  iscmet3lem3  25519  iscmet3lem1  25520  lmle  25530  lmclim  25532  mbflimsup  25895  ulm2  26618  ulmcaulem  26627  ulmcau  26628  ulmss  26630  ulmdvlem1  26633  ulmdvlem3  26635  mtest  26637  itgulm  26641  logfaclbnd  27456  bposlem6  27523  caures  38497  caushft  38498  dvgrat  45123  cvgdvgrat  45124  climinf  46423  clim2f  46451  clim2cf  46465  clim0cf  46469  clim2f2  46485  fnlimfvre  46489  allbutfifvre  46490  limsupvaluz2  46553  limsupreuzmpt  46554  supcnvlimsup  46555  climuzlem  46558  climisp  46561  climrescn  46563  climxrrelem  46564  climxrre  46565  limsupgtlem  46592  liminfreuzlem  46617  liminfltlem  46619  liminflimsupclim  46622  xlimpnfxnegmnf  46629  liminflbuz2  46630  liminfpnfuz  46631  liminflimsupxrre  46632  xlimmnfvlem2  46648  xlimmnfv  46649  xlimpnfvlem2  46652  xlimpnfv  46653  xlimmnfmpt  46658  xlimpnfmpt  46659  climxlim2lem  46660  xlimpnfxnegmnf2  46673  meaiuninc3v  47299  smflimlem1  47586  smflimlem2  47587  smflimlem3  47588  smflimmpt  47625  smflimsuplem4  47638  smflimsuplem7  47641  smflimsupmpt  47644  smfliminfmpt  47647