Theorem uztrn2 12869

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2826	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12868	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2845	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  ℤ_≥cuz 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-neg 11467  df-z 12587  df-uz 12851

This theorem is referenced by:  eluznn0  12931  eluznn  12932  elfzuz2  13544  rexuz3  15365  r19.29uz  15367  r19.2uz  15368  clim2  15518  clim2c  15519  clim0c  15521  rlimclim1  15559  2clim  15586  climabs0  15599  climcn1  15606  climcn2  15607  climsqz  15655  climsqz2  15656  clim2ser  15669  clim2ser2  15670  climub  15676  climsup  15684  caurcvg2  15692  serf0  15695  iseraltlem1  15696  iseralt  15699  cvgcmp  15830  cvgcmpce  15832  isumsup2  15860  mertenslem1  15898  clim2div  15903  ntrivcvgfvn0  15913  ntrivcvgmullem  15915  fprodeq0  15989  lmbrf  23196  lmss  23234  lmres  23236  txlm  23584  uzrest  23833  lmmcvg  25211  lmmbrf  25212  iscau4  25229  iscauf  25230  caucfil  25233  iscmet3lem3  25240  iscmet3lem1  25241  lmle  25251  lmclim  25253  mbflimsup  25617  ulm2  26344  ulmcaulem  26353  ulmcau  26354  ulmss  26356  ulmdvlem1  26359  ulmdvlem3  26361  mtest  26363  itgulm  26367  logfaclbnd  27183  bposlem6  27250  caures  37730  caushft  37731  dvgrat  44284  cvgdvgrat  44285  climinf  45583  clim2f  45613  clim2cf  45627  clim0cf  45631  clim2f2  45647  fnlimfvre  45651  allbutfifvre  45652  limsupvaluz2  45715  limsupreuzmpt  45716  supcnvlimsup  45717  climuzlem  45720  climisp  45723  climrescn  45725  climxrrelem  45726  climxrre  45727  limsupgtlem  45754  liminfreuzlem  45779  liminfltlem  45781  liminflimsupclim  45784  xlimpnfxnegmnf  45791  liminflbuz2  45792  liminfpnfuz  45793  liminflimsupxrre  45794  xlimmnfvlem2  45810  xlimmnfv  45811  xlimpnfvlem2  45814  xlimpnfv  45815  xlimmnfmpt  45820  xlimpnfmpt  45821  climxlim2lem  45822  xlimpnfxnegmnf2  45835  meaiuninc3v  46461  smflimlem1  46748  smflimlem2  46749  smflimlem3  46750  smflimmpt  46787  smflimsuplem4  46800  smflimsuplem7  46803  smflimsupmpt  46806  smfliminfmpt  46809