Theorem uztrn2 12754

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12753	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  eluznn0  12818  eluznn  12819  elfzuz2  13432  rexuz3  15256  r19.29uz  15258  r19.2uz  15259  clim2  15411  clim2c  15412  clim0c  15414  rlimclim1  15452  2clim  15479  climabs0  15492  climcn1  15499  climcn2  15500  climsqz  15548  climsqz2  15549  clim2ser  15562  clim2ser2  15563  climub  15569  climsup  15577  caurcvg2  15585  serf0  15588  iseraltlem1  15589  iseralt  15592  cvgcmp  15723  cvgcmpce  15725  isumsup2  15753  mertenslem1  15791  clim2div  15796  ntrivcvgfvn0  15806  ntrivcvgmullem  15808  fprodeq0  15882  lmbrf  23145  lmss  23183  lmres  23185  txlm  23533  uzrest  23782  lmmcvg  25159  lmmbrf  25160  iscau4  25177  iscauf  25178  caucfil  25181  iscmet3lem3  25188  iscmet3lem1  25189  lmle  25199  lmclim  25201  mbflimsup  25565  ulm2  26292  ulmcaulem  26301  ulmcau  26302  ulmss  26304  ulmdvlem1  26307  ulmdvlem3  26309  mtest  26311  itgulm  26315  logfaclbnd  27131  bposlem6  27198  caures  37760  caushft  37761  dvgrat  44305  cvgdvgrat  44306  climinf  45607  clim2f  45637  clim2cf  45651  clim0cf  45655  clim2f2  45671  fnlimfvre  45675  allbutfifvre  45676  limsupvaluz2  45739  limsupreuzmpt  45740  supcnvlimsup  45741  climuzlem  45744  climisp  45747  climrescn  45749  climxrrelem  45750  climxrre  45751  limsupgtlem  45778  liminfreuzlem  45803  liminfltlem  45805  liminflimsupclim  45808  xlimpnfxnegmnf  45815  liminflbuz2  45816  liminfpnfuz  45817  liminflimsupxrre  45818  xlimmnfvlem2  45834  xlimmnfv  45835  xlimpnfvlem2  45838  xlimpnfv  45839  xlimmnfmpt  45844  xlimpnfmpt  45845  climxlim2lem  45846  xlimpnfxnegmnf2  45859  meaiuninc3v  46485  smflimlem1  46772  smflimlem2  46773  smflimlem3  46774  smflimmpt  46811  smflimsuplem4  46824  smflimsuplem7  46827  smflimsupmpt  46830  smfliminfmpt  46833