Theorem uztrn2 12788

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12787	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  eluznn0  12852  eluznn  12853  elfzuz2  13466  rexuz3  15291  r19.29uz  15293  r19.2uz  15294  clim2  15446  clim2c  15447  clim0c  15449  rlimclim1  15487  2clim  15514  climabs0  15527  climcn1  15534  climcn2  15535  climsqz  15583  climsqz2  15584  clim2ser  15597  clim2ser2  15598  climub  15604  climsup  15612  caurcvg2  15620  serf0  15623  iseraltlem1  15624  iseralt  15627  cvgcmp  15758  cvgcmpce  15760  isumsup2  15788  mertenslem1  15826  clim2div  15831  ntrivcvgfvn0  15841  ntrivcvgmullem  15843  fprodeq0  15917  lmbrf  23180  lmss  23218  lmres  23220  txlm  23568  uzrest  23817  lmmcvg  25194  lmmbrf  25195  iscau4  25212  iscauf  25213  caucfil  25216  iscmet3lem3  25223  iscmet3lem1  25224  lmle  25234  lmclim  25236  mbflimsup  25600  ulm2  26327  ulmcaulem  26336  ulmcau  26337  ulmss  26339  ulmdvlem1  26342  ulmdvlem3  26344  mtest  26346  itgulm  26350  logfaclbnd  27166  bposlem6  27233  caures  37747  caushft  37748  dvgrat  44294  cvgdvgrat  44295  climinf  45597  clim2f  45627  clim2cf  45641  clim0cf  45645  clim2f2  45661  fnlimfvre  45665  allbutfifvre  45666  limsupvaluz2  45729  limsupreuzmpt  45730  supcnvlimsup  45731  climuzlem  45734  climisp  45737  climrescn  45739  climxrrelem  45740  climxrre  45741  limsupgtlem  45768  liminfreuzlem  45793  liminfltlem  45795  liminflimsupclim  45798  xlimpnfxnegmnf  45805  liminflbuz2  45806  liminfpnfuz  45807  liminflimsupxrre  45808  xlimmnfvlem2  45824  xlimmnfv  45825  xlimpnfvlem2  45828  xlimpnfv  45829  xlimmnfmpt  45834  xlimpnfmpt  45835  climxlim2lem  45836  xlimpnfxnegmnf2  45849  meaiuninc3v  46475  smflimlem1  46762  smflimlem2  46763  smflimlem3  46764  smflimmpt  46801  smflimsuplem4  46814  smflimsuplem7  46817  smflimsupmpt  46820  smfliminfmpt  46823