Theorem uztrn2 13008

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 13007	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2875	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  ℤ_≥cuz 12989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990

This theorem is used by:  eluznn0  13068  eluznn  13069  elfzuz2  13686  rexuz3  15542  r19.29uz  15544  r19.2uz  15545  clim2  15697  clim2c  15698  clim0c  15700  rlimclim1  15738  2clim  15765  climabs0  15778  climcn1  15785  climcn2  15786  climsqz  15834  climsqz2  15835  clim2ser  15848  clim2ser2  15849  climub  15855  climsup  15863  caurcvg2  15871  serf0  15874  iseraltlem1  15875  iseralt  15878  cvgcmp  16009  cvgcmpce  16011  isumsup2  16041  mertenslem1  16079  clim2div  16084  ntrivcvgfvn0  16094  ntrivcvgmullem  16096  fprodeq0  16168  lmbrf  23605  lmss  23643  lmres  23645  txlm  23994  uzrest  24243  lmmcvg  25609  lmmbrf  25610  iscau4  25627  iscauf  25628  caucfil  25631  iscmet3lem3  25638  iscmet3lem1  25639  lmle  25649  lmclim  25651  mbflimsup  26014  ulm2  26739  ulmcaulem  26748  ulmcau  26749  ulmss  26751  ulmdvlem1  26754  ulmdvlem3  26756  mtest  26758  itgulm  26762  logfaclbnd  27576  bposlem6  27643  caures  38885  caushft  38886  dvgrat  45486  cvgdvgrat  45487  climinf  46821  clim2f  46849  clim2cf  46863  clim0cf  46867  clim2f2  46883  fnlimfvre  46887  allbutfifvre  46888  limsupvaluz2  46951  limsupreuzmpt  46952  supcnvlimsup  46953  climuzlem  46956  climisp  46959  climrescn  46961  climxrrelem  46962  climxrre  46963  limsupgtlem  46990  liminfreuzlem  47015  liminfltlem  47017  liminflimsupclim  47020  xlimpnfxnegmnf  47027  liminflbuz2  47028  liminfpnfuz  47029  liminflimsupxrre  47030  xlimmnfvlem2  47046  xlimmnfv  47047  xlimpnfvlem2  47050  xlimpnfv  47051  xlimmnfmpt  47056  xlimpnfmpt  47057  climxlim2lem  47058  xlimpnfxnegmnf2  47071  meaiuninc3v  47697  smflimlem1  47984  smflimlem2  47985  smflimlem3  47986  smflimmpt  48023  smflimsuplem4  48036  smflimsuplem7  48039  smflimsupmpt  48042  smfliminfmpt  48045