Theorem uztrn2 12841

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2826	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12840	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 460	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 582	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2845	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  ℤ_≥cuz 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  eluznn0  12901  eluznn  12902  elfzuz2  13506  rexuz3  15295  r19.29uz  15297  r19.2uz  15298  clim2  15448  clim2c  15449  clim0c  15451  rlimclim1  15489  2clim  15516  climabs0  15529  climcn1  15536  climcn2  15537  climsqz  15585  climsqz2  15586  clim2ser  15601  clim2ser2  15602  climub  15608  climsup  15616  caurcvg2  15624  serf0  15627  iseraltlem1  15628  iseralt  15631  cvgcmp  15762  cvgcmpce  15764  isumsup2  15792  mertenslem1  15830  clim2div  15835  ntrivcvgfvn0  15845  ntrivcvgmullem  15847  fprodeq0  15919  lmbrf  22764  lmss  22802  lmres  22804  txlm  23152  uzrest  23401  lmmcvg  24778  lmmbrf  24779  iscau4  24796  iscauf  24797  caucfil  24800  iscmet3lem3  24807  iscmet3lem1  24808  lmle  24818  lmclim  24820  mbflimsup  25183  ulm2  25897  ulmcaulem  25906  ulmcau  25907  ulmss  25909  ulmdvlem1  25912  ulmdvlem3  25914  mtest  25916  itgulm  25920  logfaclbnd  26725  bposlem6  26792  caures  36628  caushft  36629  dvgrat  43071  cvgdvgrat  43072  climinf  44322  clim2f  44352  clim2cf  44366  clim0cf  44370  clim2f2  44386  fnlimfvre  44390  allbutfifvre  44391  limsupvaluz2  44454  limsupreuzmpt  44455  supcnvlimsup  44456  climuzlem  44459  climisp  44462  climrescn  44464  climxrrelem  44465  climxrre  44466  limsupgtlem  44493  liminfreuzlem  44518  liminfltlem  44520  liminflimsupclim  44523  xlimpnfxnegmnf  44530  liminflbuz2  44531  liminfpnfuz  44532  liminflimsupxrre  44533  xlimmnfvlem2  44549  xlimmnfv  44550  xlimpnfvlem2  44553  xlimpnfv  44554  xlimmnfmpt  44559  xlimpnfmpt  44560  climxlim2lem  44561  xlimpnfxnegmnf2  44574  meaiuninc3v  45200  smflimlem1  45487  smflimlem2  45488  smflimlem3  45489  smflimmpt  45526  smflimsuplem4  45539  smflimsuplem7  45542  smflimsupmpt  45545  smfliminfmpt  45548