Theorem uztrn2 12922

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2836	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12921	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 580	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2855	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  eluznn0  12982  eluznn  12983  elfzuz2  13589  rexuz3  15397  r19.29uz  15399  r19.2uz  15400  clim2  15550  clim2c  15551  clim0c  15553  rlimclim1  15591  2clim  15618  climabs0  15631  climcn1  15638  climcn2  15639  climsqz  15687  climsqz2  15688  clim2ser  15703  clim2ser2  15704  climub  15710  climsup  15718  caurcvg2  15726  serf0  15729  iseraltlem1  15730  iseralt  15733  cvgcmp  15864  cvgcmpce  15866  isumsup2  15894  mertenslem1  15932  clim2div  15937  ntrivcvgfvn0  15947  ntrivcvgmullem  15949  fprodeq0  16023  lmbrf  23289  lmss  23327  lmres  23329  txlm  23677  uzrest  23926  lmmcvg  25314  lmmbrf  25315  iscau4  25332  iscauf  25333  caucfil  25336  iscmet3lem3  25343  iscmet3lem1  25344  lmle  25354  lmclim  25356  mbflimsup  25720  ulm2  26446  ulmcaulem  26455  ulmcau  26456  ulmss  26458  ulmdvlem1  26461  ulmdvlem3  26463  mtest  26465  itgulm  26469  logfaclbnd  27284  bposlem6  27351  caures  37720  caushft  37721  dvgrat  44281  cvgdvgrat  44282  climinf  45527  clim2f  45557  clim2cf  45571  clim0cf  45575  clim2f2  45591  fnlimfvre  45595  allbutfifvre  45596  limsupvaluz2  45659  limsupreuzmpt  45660  supcnvlimsup  45661  climuzlem  45664  climisp  45667  climrescn  45669  climxrrelem  45670  climxrre  45671  limsupgtlem  45698  liminfreuzlem  45723  liminfltlem  45725  liminflimsupclim  45728  xlimpnfxnegmnf  45735  liminflbuz2  45736  liminfpnfuz  45737  liminflimsupxrre  45738  xlimmnfvlem2  45754  xlimmnfv  45755  xlimpnfvlem2  45758  xlimpnfv  45759  xlimmnfmpt  45764  xlimpnfmpt  45765  climxlim2lem  45766  xlimpnfxnegmnf2  45779  meaiuninc3v  46405  smflimlem1  46692  smflimlem2  46693  smflimlem3  46694  smflimmpt  46731  smflimsuplem4  46744  smflimsuplem7  46747  smflimsupmpt  46750  smfliminfmpt  46753