Theorem uztrn2 12774

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2829	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12773	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 582	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2848	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  ℤ_≥cuz 12755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-neg 11371  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by:  eluznn0  12834  eluznn  12835  elfzuz2  13449  rexuz3  15276  r19.29uz  15278  r19.2uz  15279  clim2  15431  clim2c  15432  clim0c  15434  rlimclim1  15472  2clim  15499  climabs0  15512  climcn1  15519  climcn2  15520  climsqz  15568  climsqz2  15569  clim2ser  15582  clim2ser2  15583  climub  15589  climsup  15597  caurcvg2  15605  serf0  15608  iseraltlem1  15609  iseralt  15612  cvgcmp  15743  cvgcmpce  15745  isumsup2  15773  mertenslem1  15811  clim2div  15816  ntrivcvgfvn0  15826  ntrivcvgmullem  15828  fprodeq0  15902  lmbrf  23208  lmss  23246  lmres  23248  txlm  23596  uzrest  23845  lmmcvg  25221  lmmbrf  25222  iscau4  25239  iscauf  25240  caucfil  25243  iscmet3lem3  25250  iscmet3lem1  25251  lmle  25261  lmclim  25263  mbflimsup  25627  ulm2  26354  ulmcaulem  26363  ulmcau  26364  ulmss  26366  ulmdvlem1  26369  ulmdvlem3  26371  mtest  26373  itgulm  26377  logfaclbnd  27193  bposlem6  27260  caures  37963  caushft  37964  dvgrat  44620  cvgdvgrat  44621  climinf  45919  clim2f  45947  clim2cf  45961  clim0cf  45965  clim2f2  45981  fnlimfvre  45985  allbutfifvre  45986  limsupvaluz2  46049  limsupreuzmpt  46050  supcnvlimsup  46051  climuzlem  46054  climisp  46057  climrescn  46059  climxrrelem  46060  climxrre  46061  limsupgtlem  46088  liminfreuzlem  46113  liminfltlem  46115  liminflimsupclim  46118  xlimpnfxnegmnf  46125  liminflbuz2  46126  liminfpnfuz  46127  liminflimsupxrre  46128  xlimmnfvlem2  46144  xlimmnfv  46145  xlimpnfvlem2  46148  xlimpnfv  46149  xlimmnfmpt  46154  xlimpnfmpt  46155  climxlim2lem  46156  xlimpnfxnegmnf2  46169  meaiuninc3v  46795  smflimlem1  47082  smflimlem2  47083  smflimlem3  47084  smflimmpt  47121  smflimsuplem4  47134  smflimsuplem7  47137  smflimsupmpt  47140  smfliminfmpt  47143