Theorem uztrn2 12790

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12789	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  ℤ_≥cuz 12771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-neg 11386  df-z 12508  df-uz 12772

This theorem is referenced by:  eluznn0  12854  eluznn  12855  elfzuz2  13468  rexuz3  15292  r19.29uz  15294  r19.2uz  15295  clim2  15447  clim2c  15448  clim0c  15450  rlimclim1  15488  2clim  15515  climabs0  15528  climcn1  15535  climcn2  15536  climsqz  15584  climsqz2  15585  clim2ser  15598  clim2ser2  15599  climub  15605  climsup  15613  caurcvg2  15621  serf0  15624  iseraltlem1  15625  iseralt  15628  cvgcmp  15759  cvgcmpce  15761  isumsup2  15789  mertenslem1  15827  clim2div  15832  ntrivcvgfvn0  15842  ntrivcvgmullem  15844  fprodeq0  15918  lmbrf  23181  lmss  23219  lmres  23221  txlm  23569  uzrest  23818  lmmcvg  25195  lmmbrf  25196  iscau4  25213  iscauf  25214  caucfil  25217  iscmet3lem3  25224  iscmet3lem1  25225  lmle  25235  lmclim  25237  mbflimsup  25601  ulm2  26328  ulmcaulem  26337  ulmcau  26338  ulmss  26340  ulmdvlem1  26343  ulmdvlem3  26345  mtest  26347  itgulm  26351  logfaclbnd  27167  bposlem6  27234  caures  37748  caushft  37749  dvgrat  44295  cvgdvgrat  44296  climinf  45598  clim2f  45628  clim2cf  45642  clim0cf  45646  clim2f2  45662  fnlimfvre  45666  allbutfifvre  45667  limsupvaluz2  45730  limsupreuzmpt  45731  supcnvlimsup  45732  climuzlem  45735  climisp  45738  climrescn  45740  climxrrelem  45741  climxrre  45742  limsupgtlem  45769  liminfreuzlem  45794  liminfltlem  45796  liminflimsupclim  45799  xlimpnfxnegmnf  45806  liminflbuz2  45807  liminfpnfuz  45808  liminflimsupxrre  45809  xlimmnfvlem2  45825  xlimmnfv  45826  xlimpnfvlem2  45829  xlimpnfv  45830  xlimmnfmpt  45835  xlimpnfmpt  45836  climxlim2lem  45837  xlimpnfxnegmnf2  45850  meaiuninc3v  46476  smflimlem1  46763  smflimlem2  46764  smflimlem3  46765  smflimmpt  46802  smflimsuplem4  46815  smflimsuplem7  46818  smflimsupmpt  46821  smfliminfmpt  46824