Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim0cf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim0cf 44821
Description: Express the predicate 𝐹 converges to 0. Similar to clim 15434, but without the disjoint var constraint 𝐹𝑘. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
clim0cf.nf 𝑘𝐹
clim0cf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim0cf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
clim0cf.f (𝜑𝐹𝑉)
clim0cf.fv ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
clim0cf.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
clim0cf (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim0cf
StepHypRef Expression
1 clim0cf.nf . . 3 𝑘𝐹
2 clim0cf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 clim0cf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 clim0cf.f . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
5 clim0cf.fv . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
6 0cnd 11203 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7 clim0cf.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7clim2cf 44817 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥))
92uztrn2 12837 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
107subid1d 11556 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
1110fveq2d 6885 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
1211breq1d 5148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
139, 12sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1413anassrs 467 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
1514ralbidva 3167 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
1615rexbidva 3168 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
1716ralbidv 3169 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
188, 17bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘𝐵) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2875  wral 3053  wrex 3062   class class class wbr 5138  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11103  0cc0 11105   < clt 11244  cmin 11440  cz 12554  cuz 12818  +crp 12970  abscabs 15177  cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-z 12555  df-uz 12819  df-clim 15428
This theorem is referenced by:  etransclem48  45449
  Copyright terms: Public domain W3C validator