Theorem cmtcomN 39509

Description: Commutation is symmetric. Theorem 2(v) in [Kalmbach] p. 22. (cmcmi 31667 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtcom.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cmtcomN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑌𝐶𝑋))

Proof of Theorem cmtcomN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmtcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cmtcom.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
3	1, 2	cmtcomlemN 39508	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → 𝑌𝐶𝑋))
4	1, 2	cmtcomlemN 39508	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑋 → 𝑋𝐶𝑌))
5	4	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑋 → 𝑋𝐶𝑌))
6	3, 5	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑌𝐶𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  cmccmtN 39433  OMLcoml 39435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-lat 18355  df-oposet 39436  df-cmtN 39437  df-ol 39438  df-oml 39439

This theorem is referenced by:  cmt3N  39511  cmtbr3N  39514  omlmod1i2N  39520