Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmtcomN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmtcomN 35325
Description: Commutation is symmetric. Theorem 2(v) in [Kalmbach] p. 22. (cmcmi 29007 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtcom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtcom.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cmtcomN ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌𝑌𝐶𝑋))

Proof of Theorem cmtcomN
StepHypRef Expression
1 cmtcom.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cmtcom.c . . 3 𝐶 = (cm‘𝐾)
31, 2cmtcomlemN 35324 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌𝑌𝐶𝑋))
41, 2cmtcomlemN 35324 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌𝐶𝑋𝑋𝐶𝑌))
543com23 1162 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌𝐶𝑋𝑋𝐶𝑌))
63, 5impbid 204 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌𝑌𝐶𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4874  cfv 6124  Basecbs 16223  cmccmtN 35249  OMLcoml 35251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-proset 17282  df-poset 17300  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-lat 17400  df-oposet 35252  df-cmtN 35253  df-ol 35254  df-oml 35255
This theorem is referenced by:  cmt3N  35327  cmtbr3N  35330  omlmod1i2N  35336
  Copyright terms: Public domain W3C validator