Theorem cmtcomN 40122

Description: Commutation is symmetric. Theorem 2(v) in [Kalmbach] p. 22. (cmcmi 32073 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtcom.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cmtcomN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑌𝐶𝑋))

Proof of Theorem cmtcomN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmtcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cmtcom.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
3	1, 2	cmtcomlemN 40121	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → 𝑌𝐶𝑋))
4	1, 2	cmtcomlemN 40121	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑋 → 𝑋𝐶𝑌))
5	4	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑋 → 𝑋𝐶𝑌))
6	3, 5	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑌𝐶𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  cmccmtN 40046  OMLcoml 40048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18382  df-poset 18401  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-lat 18520  df-oposet 40049  df-cmtN 40050  df-ol 40051  df-oml 40052

This theorem is used by:  cmt3N  40124  cmtbr3N  40127  omlmod1i2N  40133