Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlmod1i2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlmod1i2N 37722
Description: Analogue of modular law atmod1i2 38322 that holds in any OML. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlmod.l = (le‘𝐾)
omlmod.j = (join‘𝐾)
omlmod.m = (meet‘𝐾)
omlmod.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
omlmod1i2N ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) 𝑍))

Proof of Theorem omlmod1i2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OML)
2 simp23 1208 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐵)
3 simp21 1206 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋𝐵)
4 simp22 1207 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌𝐵)
5 simp3l 1201 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 𝑍)
6 omlmod.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 omlmod.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
8 omlmod.c . . . . . . 7 𝐶 = (cm‘𝐾)
96, 7, 8lecmtN 37718 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍𝑋𝐶𝑍))
101, 3, 2, 9syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 𝑍𝑋𝐶𝑍))
115, 10mpd 15 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋𝐶𝑍)
126, 8cmtcomN 37711 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋𝐶𝑍𝑍𝐶𝑋))
131, 3, 2, 12syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋𝐶𝑍𝑍𝐶𝑋))
1411, 13mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑋)
15 simp3r 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌𝐶𝑍)
166, 8cmtcomN 37711 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌𝐶𝑍𝑍𝐶𝑌))
171, 4, 2, 16syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑌𝐶𝑍𝑍𝐶𝑌))
1815, 17mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑌)
19 omlmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
20 omlmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
216, 19, 20, 8omlfh1N 37720 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑍𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐶𝑋𝑍𝐶𝑌)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = ((𝑍 𝑋) (𝑍 𝑌)))
221, 2, 3, 4, 14, 18, 21syl132anc 1388 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = ((𝑍 𝑋) (𝑍 𝑌)))
23 omllat 37704 . . . 4 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
256, 19latjcl 18328 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
2624, 3, 4, 25syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
276, 20latmcom 18352 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = ((𝑋 𝑌) 𝑍))
2824, 2, 26, 27syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = ((𝑋 𝑌) 𝑍))
296, 7, 20latleeqm2 18357 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍 ↔ (𝑍 𝑋) = 𝑋))
3024, 3, 2, 29syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 𝑍 ↔ (𝑍 𝑋) = 𝑋))
315, 30mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 𝑋) = 𝑋)
326, 20latmcom 18352 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 𝑌) = (𝑌 𝑍))
3324, 2, 4, 32syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 𝑌) = (𝑌 𝑍))
3431, 33oveq12d 7375 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → ((𝑍 𝑋) (𝑍 𝑌)) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
3522, 28, 343eqtr3rd 2785 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑍𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  cmccmtN 37635  OMLcoml 37637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-oposet 37638  df-cmtN 37639  df-ol 37640  df-oml 37641
This theorem is referenced by:  omlspjN  37723
  Copyright terms: Public domain W3C validator