Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlmod1i2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlmod1i2N 37768
Description: Analogue of modular law atmod1i2 38368 that holds in any OML. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omlmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
omlmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omlmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omlmod.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omlmod1i2N ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))

Proof of Theorem omlmod1i2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ OML)
2 simp23 1209 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 simp21 1207 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp22 1208 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 simp3l 1202 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
6 omlmod.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 omlmod.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 omlmod.c . . . . . . 7 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
96, 7, 8lecmtN 37764 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ 𝑋𝐢𝑍))
101, 3, 2, 9syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ 𝑋𝐢𝑍))
115, 10mpd 15 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋𝐢𝑍)
126, 8cmtcomN 37757 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ 𝑍𝐢𝑋))
131, 3, 2, 12syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ 𝑍𝐢𝑋))
1411, 13mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍𝐢𝑋)
15 simp3r 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘ŒπΆπ‘)
166, 8cmtcomN 37757 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ π‘πΆπ‘Œ))
171, 4, 2, 16syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ π‘πΆπ‘Œ))
1815, 17mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘πΆπ‘Œ)
19 omlmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 omlmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
216, 19, 20, 8omlfh1N 37766 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)))
221, 2, 3, 4, 14, 18, 21syl132anc 1389 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)))
23 omllat 37750 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
256, 19latjcl 18333 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2624, 3, 4, 25syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
276, 20latmcom 18357 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
2824, 2, 26, 27syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
296, 7, 20latleeqm2 18362 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
3024, 3, 2, 29syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
315, 30mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋)
326, 20latmcom 18357 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3324, 2, 4, 32syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3431, 33oveq12d 7376 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
3522, 28, 343eqtr3rd 2782 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  cmccmtN 37681  OMLcoml 37683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-oposet 37684  df-cmtN 37685  df-ol 37686  df-oml 37687
This theorem is referenced by:  omlspjN  37769
  Copyright terms: Public domain W3C validator