Theorem omlmod1i2N 35414

Description: Analogue of modular law atmod1i2 36013 that holds in any OML. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
omlmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlmod.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlmod1i2N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Proof of Theorem omlmod1i2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OML)
2		simp23 1222	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simp21 1220	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp22 1221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simp3l 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ≤ 𝑍)
6		omlmod.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		omlmod.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		omlmod.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
9	6, 7, 8	lecmtN 35410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋𝐶𝑍))
10	1, 3, 2, 9	syl3anc 1439	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋𝐶𝑍))
11	5, 10	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋𝐶𝑍)
12	6, 8	cmtcomN 35403	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑋))
13	1, 3, 2, 12	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑋))
14	11, 13	mpbid 224	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑋)
15		simp3r 1216	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌𝐶𝑍)
16	6, 8	cmtcomN 35403	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑌))
17	1, 4, 2, 16	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑌))
18	15, 17	mpbid 224	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑌)
19		omlmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		omlmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 19, 20, 8	omlfh1N 35412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍𝐶𝑋 ∧ 𝑍𝐶𝑌)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)))
22	1, 2, 3, 4, 14, 18, 21	syl132anc 1456	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)))
23		omllat 35396	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
24	23	3ad2ant1 1124	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
25	6, 19	latjcl 17437	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	24, 3, 4, 25	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	6, 20	latmcom 17461	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
28	24, 2, 26, 27	syl3anc 1439	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
29	6, 7, 20	latleeqm2 17466	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
30	24, 3, 2, 29	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
31	5, 30	mpbid 224	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋)
32	6, 20	latmcom 17461	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑍))
33	24, 2, 4, 32	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑍))
34	31, 33	oveq12d 6940	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)))
35	22, 28, 34	3eqtr3rd 2823	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  joincjn 17330  meetcmee 17331  Latclat 17431  cmccmtN 35327  OMLcoml 35329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-lat 17432  df-oposet 35330  df-cmtN 35331  df-ol 35332  df-oml 35333

This theorem is referenced by:  omlspjN  35415