Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlmod1i2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omlmod1i2N 38643
Description: Analogue of modular law atmod1i2 39243 that holds in any OML. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omlmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
omlmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omlmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omlmod.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omlmod1i2N ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Proof of Theorem omlmod1i2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ OML)
2 simp23 1205 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 simp21 1203 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp22 1204 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
6 omlmod.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 omlmod.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 omlmod.c . . . . . . 7 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
96, 7, 8lecmtN 38639 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ 𝑋𝐢𝑍))
101, 3, 2, 9syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ 𝑋𝐢𝑍))
115, 10mpd 15 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋𝐢𝑍)
126, 8cmtcomN 38632 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ 𝑍𝐢𝑋))
131, 3, 2, 12syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ 𝑍𝐢𝑋))
1411, 13mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍𝐢𝑋)
15 simp3r 1199 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘ŒπΆπ‘)
166, 8cmtcomN 38632 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ π‘πΆπ‘Œ))
171, 4, 2, 16syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ π‘πΆπ‘Œ))
1815, 17mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘πΆπ‘Œ)
19 omlmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 omlmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
216, 19, 20, 8omlfh1N 38641 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)))
221, 2, 3, 4, 14, 18, 21syl132anc 1385 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)))
23 omllat 38625 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
256, 19latjcl 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2624, 3, 4, 25syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
276, 20latmcom 18428 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
2824, 2, 26, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
296, 7, 20latleeqm2 18433 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
3024, 3, 2, 29syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
315, 30mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋)
326, 20latmcom 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3324, 2, 4, 32syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3431, 33oveq12d 7423 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
3522, 28, 343eqtr3rd 2775 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  cmccmtN 38556  OMLcoml 38558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-oposet 38559  df-cmtN 38560  df-ol 38561  df-oml 38562
This theorem is referenced by:  omlspjN  38644
  Copyright terms: Public domain W3C validator