Theorem omlmod1i2N 39379

Description: Analogue of modular law atmod1i2 39978 that holds in any OML. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
omlmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlmod.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlmod1i2N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Proof of Theorem omlmod1i2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OML)
2		simp23 1209	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simp21 1207	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp22 1208	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ≤ 𝑍)
6		omlmod.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		omlmod.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		omlmod.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
9	6, 7, 8	lecmtN 39375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋𝐶𝑍))
10	1, 3, 2, 9	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋𝐶𝑍))
11	5, 10	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋𝐶𝑍)
12	6, 8	cmtcomN 39368	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑋))
13	1, 3, 2, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑋))
14	11, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑋)
15		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌𝐶𝑍)
16	6, 8	cmtcomN 39368	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑌))
17	1, 4, 2, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑌))
18	15, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑌)
19		omlmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		omlmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 19, 20, 8	omlfh1N 39377	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍𝐶𝑋 ∧ 𝑍𝐶𝑌)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)))
22	1, 2, 3, 4, 14, 18, 21	syl132anc 1390	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)))
23		omllat 39361	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
24	23	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
25	6, 19	latjcl 18347	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	24, 3, 4, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	6, 20	latmcom 18371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
28	24, 2, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
29	6, 7, 20	latleeqm2 18376	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
30	24, 3, 2, 29	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
31	5, 30	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋)
32	6, 20	latmcom 18371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑍))
33	24, 2, 4, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑍))
34	31, 33	oveq12d 7370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)))
35	22, 28, 34	3eqtr3rd 2777	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  lecple 17170  joincjn 18219  meetcmee 18220  Latclat 18339  cmccmtN 39292  OMLcoml 39294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18202  df-poset 18221  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-lat 18340  df-oposet 39295  df-cmtN 39296  df-ol 39297  df-oml 39298

This theorem is referenced by:  omlspjN  39380