Theorem omlmod1i2N 39278

Description: Analogue of modular law atmod1i2 39878 that holds in any OML. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
omlmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlmod.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlmod1i2N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Proof of Theorem omlmod1i2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OML)
2		simp23 1209	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simp21 1207	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp22 1208	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ≤ 𝑍)
6		omlmod.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		omlmod.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		omlmod.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
9	6, 7, 8	lecmtN 39274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋𝐶𝑍))
10	1, 3, 2, 9	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋𝐶𝑍))
11	5, 10	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋𝐶𝑍)
12	6, 8	cmtcomN 39267	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑋))
13	1, 3, 2, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑋))
14	11, 13	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑋)
15		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌𝐶𝑍)
16	6, 8	cmtcomN 39267	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑌))
17	1, 4, 2, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑌))
18	15, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑌)
19		omlmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		omlmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 19, 20, 8	omlfh1N 39276	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍𝐶𝑋 ∧ 𝑍𝐶𝑌)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)))
22	1, 2, 3, 4, 14, 18, 21	syl132anc 1390	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)))
23		omllat 39260	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
24	23	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
25	6, 19	latjcl 18449	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	24, 3, 4, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	6, 20	latmcom 18473	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
28	24, 2, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
29	6, 7, 20	latleeqm2 18478	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
30	24, 3, 2, 29	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
31	5, 30	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋)
32	6, 20	latmcom 18473	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑍))
33	24, 2, 4, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑍))
34	31, 33	oveq12d 7423	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)))
35	22, 28, 34	3eqtr3rd 2779	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  lecple 17278  joincjn 18323  meetcmee 18324  Latclat 18441  cmccmtN 39191  OMLcoml 39193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18306  df-poset 18325  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-lat 18442  df-oposet 39194  df-cmtN 39195  df-ol 39196  df-oml 39197

This theorem is referenced by:  omlspjN  39279