Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlmod1i2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omlmod1i2N 38125
Description: Analogue of modular law atmod1i2 38725 that holds in any OML. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
omlmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
omlmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
omlmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
omlmod.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
omlmod1i2N ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Proof of Theorem omlmod1i2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ OML)
2 simp23 1208 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 simp21 1206 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp22 1207 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 simp3l 1201 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
6 omlmod.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 omlmod.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 omlmod.c . . . . . . 7 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
96, 7, 8lecmtN 38121 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ 𝑋𝐢𝑍))
101, 3, 2, 9syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ 𝑋𝐢𝑍))
115, 10mpd 15 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋𝐢𝑍)
126, 8cmtcomN 38114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ 𝑍𝐢𝑋))
131, 3, 2, 12syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ 𝑍𝐢𝑋))
1411, 13mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍𝐢𝑋)
15 simp3r 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘ŒπΆπ‘)
166, 8cmtcomN 38114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ π‘πΆπ‘Œ))
171, 4, 2, 16syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ π‘πΆπ‘Œ))
1815, 17mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘πΆπ‘Œ)
19 omlmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
20 omlmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
216, 19, 20, 8omlfh1N 38123 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)))
221, 2, 3, 4, 14, 18, 21syl132anc 1388 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)))
23 omllat 38107 . . . 4 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
256, 19latjcl 18391 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2624, 3, 4, 25syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
276, 20latmcom 18415 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
2824, 2, 26, 27syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
296, 7, 20latleeqm2 18420 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
3024, 3, 2, 29syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
315, 30mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋)
326, 20latmcom 18415 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3324, 2, 4, 32syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑍 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3431, 33oveq12d 7426 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
3522, 28, 343eqtr3rd 2781 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  cmccmtN 38038  OMLcoml 38040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-oposet 38041  df-cmtN 38042  df-ol 38043  df-oml 38044
This theorem is referenced by:  omlspjN  38126
  Copyright terms: Public domain W3C validator