Theorem omlmod1i2N 39891

Description: Analogue of modular law atmod1i2 40490 that holds in any OML. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
omlmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlmod.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlmod1i2N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Proof of Theorem omlmod1i2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OML)
2		simp23 1225	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simp21 1223	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp22 1224	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simp3l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ≤ 𝑍)
6		omlmod.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		omlmod.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		omlmod.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
9	6, 7, 8	lecmtN 39887	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋𝐶𝑍))
10	1, 3, 2, 9	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → 𝑋𝐶𝑍))
11	5, 10	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋𝐶𝑍)
12	6, 8	cmtcomN 39880	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑋))
13	1, 3, 2, 12	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑋))
14	11, 13	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑋)
15		simp3r 1219	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌𝐶𝑍)
16	6, 8	cmtcomN 39880	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑌))
17	1, 4, 2, 16	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ 𝑍𝐶𝑌))
18	15, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍𝐶𝑌)
19		omlmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20		omlmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	6, 19, 20, 8	omlfh1N 39889	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍𝐶𝑋 ∧ 𝑍𝐶𝑌)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)))
22	1, 2, 3, 4, 14, 18, 21	syl132anc 1411	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)))
23		omllat 39873	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
24	23	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
25	6, 19	latjcl 18483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	24, 3, 4, 25	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	6, 20	latmcom 18507	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
28	24, 2, 26, 27	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
29	6, 7, 20	latleeqm2 18512	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
30	24, 3, 2, 29	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑍 ↔ (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋))
31	5, 30	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ 𝑋) = 𝑋)
32	6, 20	latmcom 18507	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑍))
33	24, 2, 4, 32	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑍 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑍))
34	31, 33	oveq12d 7418	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((𝑍 ∧ 𝑋) ∨ (𝑍 ∧ 𝑌)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)))
35	22, 28, 34	3eqtr3rd 2809	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  lecple 17305  joincjn 18355  meetcmee 18356  Latclat 18475  cmccmtN 39804  OMLcoml 39806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-proset 18338  df-poset 18357  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-lat 18476  df-oposet 39807  df-cmtN 39808  df-ol 39809  df-oml 39810

This theorem is referenced by:  omlspjN  39892