Theorem coiniss 28026

Description: Coinitiality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
cofss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
coiniss	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem coiniss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2	1	sselda 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
3		cofss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
4	1, 3	sstrd 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
5	4	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ No )
6		lesid 27833	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 ≤s 𝑧)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≤s 𝑧)
8		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤s 𝑧 ↔ 𝑧 ≤s 𝑧))
9	8	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤s 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
10	2, 7, 9	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
11	10	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
12		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑧))
13	12	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧))
14	13	cbvralvw 3242	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
15	11, 14	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102   No csur 27706   ≤s cles 27810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ord 6351  df-on 6352  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-1o 8439  df-2o 8440  df-no 27709  df-lts 27710  df-les 27811

This theorem is referenced by:  cutlt  28027