MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coiniss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coiniss 27801
Description: Coinitiality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cofss.1 (𝜑 → ðī ⊆ No )
cofss.2 (𝜑 → ðĩ ⊆ ðī)
Assertion
Ref Expression
coiniss (𝜑 → ∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ)
Distinct variable groups:   ð‘Ĩ,ðī,ð‘Ķ   ð‘Ĩ,ðĩ
Allowed substitution hints:   𝜑(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)   ðĩ(ð‘Ķ)

Proof of Theorem coiniss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofss.2 . . . . 5 (𝜑 → ðĩ ⊆ ðī)
21sselda 3977 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ ðī)
3 cofss.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ðī ⊆ No )
41, 3sstrd 3987 . . . . . 6 (𝜑 → ðĩ ⊆ No )
54sselda 3977 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
6 slerflex 27646 . . . . 5 (𝑧 ∈ No → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
8 breq1 5144 . . . . 5 (ð‘Ķ = 𝑧 → (ð‘Ķ â‰Īs 𝑧 ↔ 𝑧 â‰Īs 𝑧))
98rspcev 3606 . . . 4 ((𝑧 ∈ ðī ∧ 𝑧 â‰Īs 𝑧) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧)
102, 7, 9syl2anc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧)
1110ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧)
12 breq2 5145 . . . 4 (ð‘Ĩ = 𝑧 → (ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ð‘Ķ â‰Īs 𝑧))
1312rexbidv 3172 . . 3 (ð‘Ĩ = 𝑧 → (∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧))
1413cbvralvw 3228 . 2 (∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧)
1511, 14sylibr 233 1 (𝜑 → ∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  âˆ€wral 3055  âˆƒwrex 3064   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   No csur 27523   â‰Īs csle 27627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-1o 8464  df-2o 8465  df-no 27526  df-slt 27527  df-sle 27628
This theorem is referenced by:  cutlt  27802
  Copyright terms: Public domain W3C validator