MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coiniss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coiniss 27871
Description: Coinitiality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cofss.1 (𝜑 → ðī ⊆ No )
cofss.2 (𝜑 → ðĩ ⊆ ðī)
Assertion
Ref Expression
coiniss (𝜑 → ∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ)
Distinct variable groups:   ð‘Ĩ,ðī,ð‘Ķ   ð‘Ĩ,ðĩ
Allowed substitution hints:   𝜑(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)   ðĩ(ð‘Ķ)

Proof of Theorem coiniss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofss.2 . . . . 5 (𝜑 → ðĩ ⊆ ðī)
21sselda 3982 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ ðī)
3 cofss.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ðī ⊆ No )
41, 3sstrd 3992 . . . . . 6 (𝜑 → ðĩ ⊆ No )
54sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
6 slerflex 27716 . . . . 5 (𝑧 ∈ No → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
8 breq1 5155 . . . . 5 (ð‘Ķ = 𝑧 → (ð‘Ķ â‰Īs 𝑧 ↔ 𝑧 â‰Īs 𝑧))
98rspcev 3611 . . . 4 ((𝑧 ∈ ðī ∧ 𝑧 â‰Īs 𝑧) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧)
102, 7, 9syl2anc 582 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧)
1110ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧)
12 breq2 5156 . . . 4 (ð‘Ĩ = 𝑧 → (ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ð‘Ķ â‰Īs 𝑧))
1312rexbidv 3176 . . 3 (ð‘Ĩ = 𝑧 → (∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧))
1413cbvralvw 3232 . 2 (∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ ↔ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs 𝑧)
1511, 14sylibr 233 1 (𝜑 → ∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ â‰Īs ð‘Ĩ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  âˆ€wral 3058  âˆƒwrex 3067   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152   No csur 27593   â‰Īs csle 27697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-1o 8493  df-2o 8494  df-no 27596  df-slt 27597  df-sle 27698
This theorem is referenced by:  cutlt  27872
  Copyright terms: Public domain W3C validator