Theorem coiniss 28344

Description: Coinitiality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
cofss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
coiniss	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem coiniss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2	1	sselda 3913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
3		cofss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
4	1, 3	sstrd 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No)
5	4	sselda 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ No)
6		lesid 28151	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 ≤s 𝑧)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≤s 𝑧)
8		breq1 5109	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤s 𝑧 ↔ 𝑧 ≤s 𝑧))
9	8	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤s 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
10	2, 7, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
11	10	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
12		breq2 5110	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑧))
13	12	rexbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧))
14	13	cbvralvw 3244	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
15	11, 14	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  Nocsur 28024   ≤s cles 28128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-1o 8501  df-2o 8502  df-no 28027  df-lts 28028  df-les 28129

This theorem is used by:  cutlt  28345