Theorem coiniss 27945

Description: Coinitiality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
cofss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
coiniss	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem coiniss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2	1	sselda 3917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
3		cofss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
4	1, 3	sstrd 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
5	4	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ No )
6		lesid 27753	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 ≤s 𝑧)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≤s 𝑧)
8		breq1 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≤s 𝑧 ↔ 𝑧 ≤s 𝑧))
9	8	rspcev 3562	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤s 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
10	2, 7, 9	syl2anc 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
11	10	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
12		breq2 5079	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑧))
13	12	rexbidv 3165	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧))
14	13	cbvralvw 3219	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑧)
15	11, 14	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075   No csur 27625   ≤s cles 27730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27628  df-lts 27629  df-les 27731

This theorem is referenced by:  cutlt  27946