Theorem cofss 28373

Description: Cofinality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
cofss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cofss	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cofss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2	1	sselda 3913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
3		cofss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
4	1, 3	sstrd 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No)
5	4	sselda 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ No)
6		lesid 28181	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 ≤s 𝑧)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≤s 𝑧)
8		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≤s 𝑦 ↔ 𝑧 ≤s 𝑧))
9	8	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤s 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
10	2, 7, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
11	10	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
12		breq1 5111	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑧 ≤s 𝑦))
13	12	rexbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦))
14	13	cbvralvw 3244	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
15	11, 14	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  Nocsur 28054   ≤s cles 28158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-les 28159

This theorem is used by:  cutlt  28375