Theorem cofss 27938

Description: Cofinality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
cofss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cofss	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cofss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2	1	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
3		cofss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
4	1, 3	sstrd 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
5	4	sselda 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ No )
6		lesid 27747	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 ≤s 𝑧)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≤s 𝑧)
8		breq2 5104	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≤s 𝑦 ↔ 𝑧 ≤s 𝑧))
9	8	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤s 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
10	2, 7, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
11	10	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
12		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑧 ≤s 𝑦))
13	12	rexbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦))
14	13	cbvralvw 3216	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
15	11, 14	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   No csur 27619   ≤s cles 27724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-les 27725

This theorem is referenced by:  cutlt  27940