Theorem cofss 28325

Description: Cofinality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
cofss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cofss	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cofss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2	1	sselda 3909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
3		cofss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
4	1, 3	sstrd 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No)
5	4	sselda 3909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ No)
6		lesid 28133	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ No → 𝑧 ≤s 𝑧)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ≤s 𝑧)
8		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≤s 𝑦 ↔ 𝑧 ≤s 𝑧))
9	8	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤s 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
10	2, 7, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
11	10	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
12		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤s 𝑦 ↔ 𝑧 ≤s 𝑦))
13	12	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦))
14	13	cbvralvw 3240	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
15	11, 14	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  Nocsur 28006   ≤s cles 28110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-1o 8484  df-2o 8485  df-no 28009  df-lts 28010  df-les 28111

This theorem is used by:  cutlt  28327