MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofss 27979
Description: Cofinality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cofss.1 (𝜑𝐴 No )
cofss.2 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
cofss (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cofss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofss.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
21sselda 3995 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧𝐴)
3 cofss.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 No )
41, 3sstrd 4006 . . . . . 6 (𝜑𝐵 No )
54sselda 3995 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 No )
6 slerflex 27823 . . . . 5 (𝑧 No 𝑧 ≤s 𝑧)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ≤s 𝑧)
8 breq2 5152 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≤s 𝑦𝑧 ≤s 𝑧))
98rspcev 3622 . . . 4 ((𝑧𝐴𝑧 ≤s 𝑧) → ∃𝑦𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
102, 7, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
1110ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
12 breq1 5151 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤s 𝑦𝑧 ≤s 𝑦))
1312rexbidv 3177 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 ≤s 𝑦))
1413cbvralvw 3235 . 2 (∀𝑥𝐵𝑦𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ↔ ∀𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑧 ≤s 𝑦)
1511, 14sylibr 234 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148   No csur 27699   ≤s csle 27804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-sle 27805
This theorem is referenced by:  cutlt  27981
  Copyright terms: Public domain W3C validator