MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofss 27790
Description: Cofinality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cofss.1 (𝜑 → ðī ⊆ No )
cofss.2 (𝜑 → ðĩ ⊆ ðī)
Assertion
Ref Expression
cofss (𝜑 → ∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
Distinct variable groups:   ð‘Ĩ,ðī,ð‘Ķ   ð‘Ĩ,ðĩ
Allowed substitution hints:   𝜑(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)   ðĩ(ð‘Ķ)

Proof of Theorem cofss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofss.2 . . . . 5 (𝜑 → ðĩ ⊆ ðī)
21sselda 3975 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ ðī)
3 cofss.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ðī ⊆ No )
41, 3sstrd 3985 . . . . . 6 (𝜑 → ðĩ ⊆ No )
54sselda 3975 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
6 slerflex 27636 . . . . 5 (𝑧 ∈ No → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
8 breq2 5143 . . . . 5 (ð‘Ķ = 𝑧 → (𝑧 â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑧 â‰Īs 𝑧))
98rspcev 3604 . . . 4 ((𝑧 ∈ ðī ∧ 𝑧 â‰Īs 𝑧) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ)
102, 7, 9syl2anc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ)
1110ralrimiva 3138 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ)
12 breq1 5142 . . . 4 (ð‘Ĩ = 𝑧 → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ))
1312rexbidv 3170 . . 3 (ð‘Ĩ = 𝑧 → (∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ))
1413cbvralvw 3226 . 2 (∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ)
1511, 14sylibr 233 1 (𝜑 → ∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  âˆ€wral 3053  âˆƒwrex 3062   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139   No csur 27513   â‰Īs csle 27617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27516  df-slt 27517  df-sle 27618
This theorem is referenced by:  cutlt  27792
  Copyright terms: Public domain W3C validator