MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofss 27849
Description: Cofinality for a subset. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cofss.1 (𝜑 → ðī ⊆ No )
cofss.2 (𝜑 → ðĩ ⊆ ðī)
Assertion
Ref Expression
cofss (𝜑 → ∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
Distinct variable groups:   ð‘Ĩ,ðī,ð‘Ķ   ð‘Ĩ,ðĩ
Allowed substitution hints:   𝜑(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)   ðĩ(ð‘Ķ)

Proof of Theorem cofss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cofss.2 . . . . 5 (𝜑 → ðĩ ⊆ ðī)
21sselda 3980 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ ðī)
3 cofss.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ðī ⊆ No )
41, 3sstrd 3990 . . . . . 6 (𝜑 → ðĩ ⊆ No )
54sselda 3980 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
6 slerflex 27695 . . . . 5 (𝑧 ∈ No → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → 𝑧 â‰Īs 𝑧)
8 breq2 5152 . . . . 5 (ð‘Ķ = 𝑧 → (𝑧 â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑧 â‰Īs 𝑧))
98rspcev 3609 . . . 4 ((𝑧 ∈ ðī ∧ 𝑧 â‰Īs 𝑧) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ)
102, 7, 9syl2anc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ðĩ) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ)
1110ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ)
12 breq1 5151 . . . 4 (ð‘Ĩ = 𝑧 → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ))
1312rexbidv 3175 . . 3 (ð‘Ĩ = 𝑧 → (∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ))
1413cbvralvw 3231 . 2 (∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∀𝑧 ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī 𝑧 â‰Īs ð‘Ķ)
1511, 14sylibr 233 1 (𝜑 → ∀ð‘Ĩ ∈ ðĩ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  âˆ€wral 3058  âˆƒwrex 3067   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148   No csur 27572   â‰Īs csle 27676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-1o 8486  df-2o 8487  df-no 27575  df-slt 27576  df-sle 27677
This theorem is referenced by:  cutlt  27851
  Copyright terms: Public domain W3C validator