Theorem cvmcn 35475

Description: A covering map is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cvmcn	⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))

Proof of Theorem cvmcn

Dummy variables 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))}) = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	1, 2	iscvm 35472	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ↔ ((𝐶 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽)) ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∃𝑘 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑘 ∧ ((𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})‘𝑘) ≠ ∅)))
4	3	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → (𝐶 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽)))
5	4	simp3d 1145	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∪ cuni 4865   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634   “ cima 5635  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352  Topctop 22849   Cn ccn 23180  Homeochmeo 23709   CovMap ccvm 35468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-cvm 35469

This theorem is referenced by:  cvmsss2  35487  cvmseu  35489  cvmopnlem  35491  cvmfolem  35492  cvmliftmolem1  35494  cvmliftmolem2  35495  cvmliftlem6  35503  cvmliftlem7  35504  cvmliftlem8  35505  cvmliftlem9  35506  cvmlift2lem7  35522  cvmlift2lem9  35524  cvmliftphtlem  35530  cvmlift3lem5  35536  cvmlift3lem6  35537  cvmlift3lem9  35540