Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem9 34318
Description: Lemma for cvmlift2 34307. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift3.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
cvmlift3.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
cvmlift3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
cvmlift3.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,π‘˜,𝑠,𝑧,𝑔,π‘₯   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,π‘₯,𝐽,𝑓,π‘˜,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠   π‘₯,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑓,π‘₯   𝐡,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑓,π‘₯   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑓,π‘Œ,𝑔,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐡(π‘˜,𝑠,𝑐)   𝑃(π‘˜,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(π‘˜,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(π‘˜,𝑠,𝑑)   𝑂(π‘˜,𝑠,𝑑)   π‘Œ(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift3.y . . 3 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
7 cvmlift3.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 cvmlift3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
11 cvmlift3lem7.s . . 3 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem8 34317 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem5 34314 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺)
14 iitopon 24395 . . . . . 6 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
1514a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
16 sconntop 34219 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ SConn β†’ 𝐾 ∈ Top)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
182toptopon 22419 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1917, 18sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
20 cnconst2 22787 . . . . 5 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑂 ∈ π‘Œ) β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
2115, 19, 6, 20syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22 0elunit 13446 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
23 fvconst2g 7203 . . . . 5 ((𝑂 ∈ π‘Œ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂)
246, 22, 23sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂)
25 1elunit 13447 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
26 fvconst2g 7203 . . . . 5 ((𝑂 ∈ π‘Œ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂)
276, 25, 26sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂)
289sneqd 4641 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {(πΉβ€˜π‘ƒ)} = {(πΊβ€˜π‘‚)})
2928xpeq2d 5707 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜π‘ƒ)}) = ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}))
30 cvmcn 34253 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
321, 31cnf 22750 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽) β†’ 𝐹:𝐡⟢βˆͺ 𝐽)
33 ffn 6718 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐡⟢βˆͺ 𝐽 β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
343, 30, 32, 334syl 19 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
35 fcoconst 7132 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜π‘ƒ)}))
3634, 8, 35syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜π‘ƒ)}))
372, 31cnf 22750 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
387, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
3938ffnd 6719 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
40 fcoconst 7132 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn π‘Œ ∧ 𝑂 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) = ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}))
4139, 6, 40syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) = ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}))
4229, 36, 413eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})))
43 fvconst2g 7203 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃)
448, 22, 43sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃)
45 cvmtop1 34251 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
463, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
471toptopon 22419 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
4846, 47sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
49 cnconst2 22787 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐢))
5015, 48, 8, 49syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐢))
51 cvmtop2 34252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
523, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
5331toptopon 22419 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5452, 53sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5538, 6ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‚) ∈ βˆͺ 𝐽)
56 cnconst2 22787 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (πΊβ€˜π‘‚) ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5715, 54, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5841, 57eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
59 fvconst2g 7203 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π‘‚) ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)})β€˜0) = (πΊβ€˜π‘‚))
6055, 22, 59sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)})β€˜0) = (πΊβ€˜π‘‚))
6141fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))β€˜0) = (((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)})β€˜0))
6260, 61, 93eqtr4rd 2784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))β€˜0))
631cvmlift 34290 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))β€˜0))) β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))
643, 58, 8, 62, 63syl22anc 838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))
65 coeq2 5859 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})))
6665eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))))
67 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ (π‘”β€˜0) = (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0))
6867eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ ((π‘”β€˜0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃))
6966, 68anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃)))
7069riota2 7391 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐢) ∧ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) β†’ (((𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = ((0[,]1) Γ— {𝑃})))
7150, 64, 70syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = ((0[,]1) Γ— {𝑃})))
7242, 44, 71mpbi2and 711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = ((0[,]1) Γ— {𝑃}))
7372fveq1d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜1))
74 fvconst2g 7203 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜1) = 𝑃)
758, 25, 74sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜1) = 𝑃)
7673, 75eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)
77 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (π‘“β€˜0) = (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0))
7877eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ ((π‘“β€˜0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂))
79 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (π‘“β€˜1) = (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1))
8079eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ ((π‘“β€˜1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂))
81 coeq2 5859 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (𝐺 ∘ 𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})))
8281eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))))
8382anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)))
8483riotabidv 7367 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)))
8584fveq1d 6894 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1))
8685eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃 ↔ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃))
8778, 80, 863anbi123d 1437 . . . . 5 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)))
8887rspcev 3613 . . . 4 ((((0[,]1) Γ— {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃))
8921, 24, 27, 76, 88syl13anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃))
901, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem4 34313 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑂 ∈ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘‚) = 𝑃 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)))
916, 90mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘‚) = 𝑃 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)))
9289, 91mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‚) = 𝑃)
93 coeq2 5859 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) = (𝐹 ∘ 𝐻))
9493eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺))
95 fveq1 6891 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 β†’ (π‘“β€˜π‘‚) = (π»β€˜π‘‚))
9695eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 β†’ ((π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃 ↔ (π»β€˜π‘‚) = 𝑃))
9794, 96anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = 𝐻 β†’ (((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (π»β€˜π‘‚) = 𝑃)))
9897rspcev 3613 . 2 ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (π»β€˜π‘‚) = 𝑃)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃))
9912, 13, 92, 98syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆƒ!wreu 3375  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  π‘›-Locally cnlly 22969  Homeochmeo 23257  IIcii 24391  PConncpconn 34210  SConncsconn 34211   CovMap ccvm 34246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-conn 22916  df-lly 22970  df-nlly 22971  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487  df-phtpc 24508  df-pco 24521  df-pconn 34212  df-sconn 34213  df-cvm 34247
This theorem is referenced by:  cvmlift3  34319
  Copyright terms: Public domain W3C validator