Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem9 34387
Description: Lemma for cvmlift2 34376. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift3.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
cvmlift3.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
cvmlift3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
cvmlift3.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,π‘˜,𝑠,𝑧,𝑔,π‘₯   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,π‘₯,𝐽,𝑓,π‘˜,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠   π‘₯,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑓,π‘₯   𝐡,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑓,π‘₯   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑓,π‘Œ,𝑔,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐡(π‘˜,𝑠,𝑐)   𝑃(π‘˜,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(π‘˜,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(π‘˜,𝑠,𝑑)   𝑂(π‘˜,𝑠,𝑑)   π‘Œ(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift3.y . . 3 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
7 cvmlift3.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 cvmlift3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
11 cvmlift3lem7.s . . 3 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem8 34386 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem5 34383 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺)
14 iitopon 24402 . . . . . 6 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
1514a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
16 sconntop 34288 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ SConn β†’ 𝐾 ∈ Top)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
182toptopon 22426 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1917, 18sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
20 cnconst2 22794 . . . . 5 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑂 ∈ π‘Œ) β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
2115, 19, 6, 20syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22 0elunit 13448 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
23 fvconst2g 7205 . . . . 5 ((𝑂 ∈ π‘Œ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂)
246, 22, 23sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂)
25 1elunit 13449 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
26 fvconst2g 7205 . . . . 5 ((𝑂 ∈ π‘Œ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂)
276, 25, 26sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂)
289sneqd 4640 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {(πΉβ€˜π‘ƒ)} = {(πΊβ€˜π‘‚)})
2928xpeq2d 5706 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜π‘ƒ)}) = ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}))
30 cvmcn 34322 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽))
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
321, 31cnf 22757 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽) β†’ 𝐹:𝐡⟢βˆͺ 𝐽)
33 ffn 6717 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐡⟢βˆͺ 𝐽 β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
343, 30, 32, 334syl 19 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
35 fcoconst 7134 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜π‘ƒ)}))
3634, 8, 35syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜π‘ƒ)}))
372, 31cnf 22757 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
387, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
3938ffnd 6718 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
40 fcoconst 7134 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn π‘Œ ∧ 𝑂 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) = ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}))
4139, 6, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) = ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}))
4229, 36, 413eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})))
43 fvconst2g 7205 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃)
448, 22, 43sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃)
45 cvmtop1 34320 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
463, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
471toptopon 22426 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
4846, 47sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
49 cnconst2 22794 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐢))
5015, 48, 8, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐢))
51 cvmtop2 34321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
523, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
5331toptopon 22426 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5452, 53sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5538, 6ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‚) ∈ βˆͺ 𝐽)
56 cnconst2 22794 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (πΊβ€˜π‘‚) ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5715, 54, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5841, 57eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
59 fvconst2g 7205 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π‘‚) ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)})β€˜0) = (πΊβ€˜π‘‚))
6055, 22, 59sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)})β€˜0) = (πΊβ€˜π‘‚))
6141fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))β€˜0) = (((0[,]1) Γ— {(πΊβ€˜π‘‚)})β€˜0))
6260, 61, 93eqtr4rd 2783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))β€˜0))
631cvmlift 34359 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))β€˜0))) β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))
643, 58, 8, 62, 63syl22anc 837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))
65 coeq2 5858 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})))
6665eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))))
67 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ (π‘”β€˜0) = (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0))
6867eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ ((π‘”β€˜0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃))
6966, 68anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ((0[,]1) Γ— {𝑃}) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃)))
7069riota2 7393 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) Γ— {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐢) ∧ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) β†’ (((𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = ((0[,]1) Γ— {𝑃})))
7150, 64, 70syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = ((0[,]1) Γ— {𝑃})))
7242, 44, 71mpbi2and 710 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = ((0[,]1) Γ— {𝑃}))
7372fveq1d 6893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜1))
74 fvconst2g 7205 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜1) = 𝑃)
758, 25, 74sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑃})β€˜1) = 𝑃)
7673, 75eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)
77 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (π‘“β€˜0) = (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0))
7877eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ ((π‘“β€˜0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂))
79 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (π‘“β€˜1) = (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1))
8079eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ ((π‘“β€˜1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂))
81 coeq2 5858 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (𝐺 ∘ 𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})))
8281eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂}))))
8382anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)))
8483riotabidv 7369 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)))
8584fveq1d 6893 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1))
8685eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃 ↔ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃))
8778, 80, 863anbi123d 1436 . . . . 5 (𝑓 = ((0[,]1) Γ— {𝑂}) β†’ (((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)))
8887rspcev 3612 . . . 4 ((((0[,]1) Γ— {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) Γ— {𝑂})β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) Γ— {𝑂})) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃))
8921, 24, 27, 76, 88syl13anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃))
901, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem4 34382 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑂 ∈ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘‚) = 𝑃 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)))
916, 90mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘‚) = 𝑃 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑃)))
9289, 91mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‚) = 𝑃)
93 coeq2 5858 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) = (𝐹 ∘ 𝐻))
9493eqeq1d 2734 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺))
95 fveq1 6890 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 β†’ (π‘“β€˜π‘‚) = (π»β€˜π‘‚))
9695eqeq1d 2734 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 β†’ ((π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃 ↔ (π»β€˜π‘‚) = 𝑃))
9794, 96anbi12d 631 . . 3 (𝑓 = 𝐻 β†’ (((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (π»β€˜π‘‚) = 𝑃)))
9897rspcev 3612 . 2 ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (π»β€˜π‘‚) = 𝑃)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃))
9912, 13, 92, 98syl12anc 835 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐾 Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (π‘“β€˜π‘‚) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3374  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13329   β†Ύt crest 17368  Topctop 22402  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735  π‘›-Locally cnlly 22976  Homeochmeo 23264  IIcii 24398  PConncpconn 34279  SConncsconn 34280   CovMap ccvm 34315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-cmp 22898  df-conn 22923  df-lly 22977  df-nlly 22978  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-ii 24400  df-htpy 24493  df-phtpy 24494  df-phtpc 24515  df-pco 24528  df-pconn 34281  df-sconn 34282  df-cvm 34316
This theorem is referenced by:  cvmlift3  34388
  Copyright terms: Public domain W3C validator