Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem9 33921
Description: Lemma for cvmlift2 33910. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3.h 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem9 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift3.y . . 3 𝑌 = 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (𝜑𝑂𝑌)
7 cvmlift3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift3.e . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11 cvmlift3lem7.s . . 3 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem8 33920 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem5 33917 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) = 𝐺)
14 iitopon 24242 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
16 sconntop 33822 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Top)
182toptopon 22266 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1917, 18sylib 217 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
20 cnconst2 22634 . . . . 5 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑂𝑌) → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
2115, 19, 6, 20syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22 0elunit 13386 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
23 fvconst2g 7151 . . . . 5 ((𝑂𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
246, 22, 23sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
25 1elunit 13387 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
26 fvconst2g 7151 . . . . 5 ((𝑂𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
276, 25, 26sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
289sneqd 4598 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝐹𝑃)} = {(𝐺𝑂)})
2928xpeq2d 5663 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
30 cvmcn 33856 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
321, 31cnf 22597 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
33 ffn 6668 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵 𝐽𝐹 Fn 𝐵)
343, 30, 32, 334syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
35 fcoconst 7080 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐵𝑃𝐵) → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}))
3634, 8, 35syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}))
372, 31cnf 22597 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌 𝐽)
387, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑌 𝐽)
3938ffnd 6669 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn 𝑌)
40 fcoconst 7080 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 𝑌𝑂𝑌) → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
4139, 6, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
4229, 36, 413eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
43 fvconst2g 7151 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐵 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
448, 22, 43sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
45 cvmtop1 33854 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
463, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ Top)
471toptopon 22266 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
4846, 47sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
49 cnconst2 22634 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃𝐵) → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
5015, 48, 8, 49syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
51 cvmtop2 33855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
523, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5331toptopon 22266 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5452, 53sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5538, 6ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑂) ∈ 𝐽)
56 cnconst2 22634 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ (𝐺𝑂) ∈ 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5715, 54, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5841, 57eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
59 fvconst2g 7151 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑂) ∈ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0) = (𝐺𝑂))
6055, 22, 59sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0) = (𝐺𝑂))
6141fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0) = (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0))
6260, 61, 93eqtr4rd 2787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))
631cvmlift 33893 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐹𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))) → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
643, 58, 8, 62, 63syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
65 coeq2 5814 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})))
6665eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
67 fveq1 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝑔‘0) = (((0[,]1) × {𝑃})‘0))
6867eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝑔‘0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃))
6966, 68anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)))
7069riota2 7339 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
7150, 64, 70syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
7242, 44, 71mpbi2and 710 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃}))
7372fveq1d 6844 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (((0[,]1) × {𝑃})‘1))
74 fvconst2g 7151 . . . . . 6 ((𝑃𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
758, 25, 74sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
7673, 75eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)
77 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑂})‘0))
7877eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂))
79 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑂})‘1))
8079eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂))
81 coeq2 5814 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝐺𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
8281eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ↔ (𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
8382anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
8483riotabidv 7315 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
8584fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
8685eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃 ↔ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
8778, 80, 863anbi123d 1436 . . . . 5 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
8887rspcev 3581 . . . 4 ((((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
8921, 24, 27, 76, 88syl13anc 1372 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
901, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem4 33916 . . . 4 ((𝜑𝑂𝑌) → ((𝐻𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
916, 90mpdan 685 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
9289, 91mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑂) = 𝑃)
93 coeq2 5814 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 → (𝐹𝑓) = (𝐹𝐻))
9493eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 → ((𝐹𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐺))
95 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 → (𝑓𝑂) = (𝐻𝑂))
9695eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 → ((𝑓𝑂) = 𝑃 ↔ (𝐻𝑂) = 𝑃))
9794, 96anbi12d 631 . . 3 (𝑓 = 𝐻 → (((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻𝑂) = 𝑃)))
9897rspcev 3581 . 2 ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻𝑂) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
9912, 13, 92, 98syl12anc 835 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  {crab 3407  cdif 3907  cin 3909  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  cres 5635  cima 5636  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  crio 7312  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052  [,]cicc 13267  t crest 17302  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  𝑛-Locally cnlly 22816  Homeochmeo 23104  IIcii 24238  PConncpconn 33813  SConncsconn 33814   CovMap ccvm 33849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-conn 22763  df-lly 22817  df-nlly 22818  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-pco 24368  df-pconn 33815  df-sconn 33816  df-cvm 33850
This theorem is referenced by:  cvmlift3  33922
  Copyright terms: Public domain W3C validator