Theorem cvmlift3lem9 33921

Description: Lemma for cvmlift2 33910. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem9	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3		cvmlift3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		cvmlift3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
5		cvmlift3.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6		cvmlift3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
7		cvmlift3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8		cvmlift3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvmlift3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
10		cvmlift3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11		cvmlift3lem7.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem8 33920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem5 33917	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺)
14		iitopon 24242	. . . . . 6 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
16		sconntop 33822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
18	2	toptopon 22266	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
19	17, 18	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
20		cnconst2 22634	. . . . 5 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
21	15, 19, 6, 20	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22		0elunit 13386	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
23		fvconst2g 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
24	6, 22, 23	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
25		1elunit 13387	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
26		fvconst2g 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
27	6, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
28	9	sneqd 4598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑃)} = {(𝐺‘𝑂)})
29	28	xpeq2d 5663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
30		cvmcn 33856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
32	1, 31	cnf 22597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽)
33		ffn 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽 → 𝐹 Fn 𝐵)
34	3, 30, 32, 33	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
35		fcoconst 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}))
36	34, 8, 35	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}))
37	2, 31	cnf 22597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
38	7, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
39	38	ffnd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑌)
40		fcoconst 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑌 ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
41	39, 6, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
42	29, 36, 41	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
43		fvconst2g 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
44	8, 22, 43	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
45		cvmtop1 33854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
46	3, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Top)
47	1	toptopon 22266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
48	46, 47	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
49		cnconst2 22634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
50	15, 48, 8, 49	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
51		cvmtop2 33855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
52	3, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
53	31	toptopon 22266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
54	52, 53	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
55	38, 6	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽)
56		cnconst2 22634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
57	15, 54, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
58	41, 57	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
59		fvconst2g 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0) = (𝐺‘𝑂))
60	55, 22, 59	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0) = (𝐺‘𝑂))
61	41	fveq1d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0) = (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0))
62	60, 61, 9	3eqtr4rd 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))
63	1	cvmlift 33893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))) → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
64	3, 58, 8, 62, 63	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
65		coeq2 5814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})))
66	65	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
67		fveq1 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝑔‘0) = (((0[,]1) × {𝑃})‘0))
68	67	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝑔‘0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃))
69	66, 68	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)))
70	69	riota2 7339	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
71	50, 64, 70	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
72	42, 44, 71	mpbi2and 710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃}))
73	72	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (((0[,]1) × {𝑃})‘1))
74		fvconst2g 7151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
75	8, 25, 74	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
76	73, 75	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)
77		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑂})‘0))
78	77	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂))
79		fveq1 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑂})‘1))
80	79	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂))
81		coeq2 5814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝐺 ∘ 𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
82	81	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
83	82	anbi1d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
84	83	riotabidv 7315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
85	84	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
86	85	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃 ↔ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
87	78, 80, 86	3anbi123d 1436	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
88	87	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
89	21, 24, 27, 76, 88	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem4 33916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → ((𝐻‘𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
91	6, 90	mpdan 685	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
92	89, 91	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑂) = 𝑃)
93		coeq2 5814	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑓) = (𝐹 ∘ 𝐻))
94	93	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → ((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺))
95		fveq1 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (𝑓‘𝑂) = (𝐻‘𝑂))
96	95	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → ((𝑓‘𝑂) = 𝑃 ↔ (𝐻‘𝑂) = 𝑃))
97	94, 96	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘𝑂) = 𝑃)))
98	97	rspcev 3581	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘𝑂) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))
99	12, 13, 92, 98	syl12anc 835	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ∃!wreu 3351  {crab 3407   ∖ cdif 3907   ∩ cin 3909  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  ∪ cuni 4865   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635   “ cima 5636   ∘ ccom 5637   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  ℩crio 7312  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052  [,]cicc 13267   ↾_t crest 17302  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  𝑛-Locally cnlly 22816  Homeochmeo 23104  IIcii 24238  PConncpconn 33813  SConncsconn 33814   CovMap ccvm 33849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-conn 22763  df-lly 22817  df-nlly 22818  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-pco 24368  df-pconn 33815  df-sconn 33816  df-cvm 33850

This theorem is referenced by:  cvmlift3  33922