Theorem cvmlift3lem9 35295

Description: Lemma for cvmlift2 35284. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem9	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3		cvmlift3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		cvmlift3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
5		cvmlift3.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6		cvmlift3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
7		cvmlift3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8		cvmlift3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvmlift3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
10		cvmlift3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11		cvmlift3lem7.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem8 35294	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem5 35291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺)
14		iitopon 24924	. . . . . 6 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
16		sconntop 35196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
18	2	toptopon 22944	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
19	17, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
20		cnconst2 23312	. . . . 5 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
21	15, 19, 6, 20	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22		0elunit 13529	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
23		fvconst2g 7239	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
24	6, 22, 23	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
25		1elunit 13530	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
26		fvconst2g 7239	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
27	6, 25, 26	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
28	9	sneqd 4660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑃)} = {(𝐺‘𝑂)})
29	28	xpeq2d 5730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
30		cvmcn 35230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
31		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
32	1, 31	cnf 23275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽)
33		ffn 6747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽 → 𝐹 Fn 𝐵)
34	3, 30, 32, 33	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
35		fcoconst 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}))
36	34, 8, 35	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}))
37	2, 31	cnf 23275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
38	7, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
39	38	ffnd 6748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑌)
40		fcoconst 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑌 ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
41	39, 6, 40	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
42	29, 36, 41	3eqtr4d 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
43		fvconst2g 7239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
44	8, 22, 43	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
45		cvmtop1 35228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
46	3, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Top)
47	1	toptopon 22944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
48	46, 47	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
49		cnconst2 23312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
50	15, 48, 8, 49	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
51		cvmtop2 35229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
52	3, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
53	31	toptopon 22944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
54	52, 53	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
55	38, 6	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽)
56		cnconst2 23312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
57	15, 54, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
58	41, 57	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
59		fvconst2g 7239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0) = (𝐺‘𝑂))
60	55, 22, 59	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0) = (𝐺‘𝑂))
61	41	fveq1d 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0) = (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0))
62	60, 61, 9	3eqtr4rd 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))
63	1	cvmlift 35267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))) → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
64	3, 58, 8, 62, 63	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
65		coeq2 5883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})))
66	65	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
67		fveq1 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝑔‘0) = (((0[,]1) × {𝑃})‘0))
68	67	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝑔‘0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃))
69	66, 68	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)))
70	69	riota2 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
71	50, 64, 70	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
72	42, 44, 71	mpbi2and 711	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃}))
73	72	fveq1d 6922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (((0[,]1) × {𝑃})‘1))
74		fvconst2g 7239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
75	8, 25, 74	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
76	73, 75	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)
77		fveq1 6919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑂})‘0))
78	77	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂))
79		fveq1 6919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑂})‘1))
80	79	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂))
81		coeq2 5883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝐺 ∘ 𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
82	81	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
83	82	anbi1d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
84	83	riotabidv 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
85	84	fveq1d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
86	85	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃 ↔ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
87	78, 80, 86	3anbi123d 1436	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
88	87	rspcev 3635	. . . 4 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
89	21, 24, 27, 76, 88	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem4 35290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → ((𝐻‘𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
91	6, 90	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
92	89, 91	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑂) = 𝑃)
93		coeq2 5883	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑓) = (𝐹 ∘ 𝐻))
94	93	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → ((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺))
95		fveq1 6919	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (𝑓‘𝑂) = (𝐻‘𝑂))
96	95	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → ((𝑓‘𝑂) = 𝑃 ↔ (𝐻‘𝑂) = 𝑃))
97	94, 96	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘𝑂) = 𝑃)))
98	97	rspcev 3635	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘𝑂) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))
99	12, 13, 92, 98	syl12anc 836	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∃!wreu 3386  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∪ cuni 4931   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   “ cima 5703   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  [,]cicc 13410   ↾_t crest 17480  Topctop 22920  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253  𝑛-Locally cnlly 23494  Homeochmeo 23782  IIcii 24920  PConncpconn 35187  SConncsconn 35188   CovMap ccvm 35223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-cmp 23416  df-conn 23441  df-lly 23495  df-nlly 23496  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-ii 24922  df-cncf 24923  df-htpy 25021  df-phtpy 25022  df-phtpc 25043  df-pco 25057  df-pconn 35189  df-sconn 35190  df-cvm 35224

This theorem is referenced by:  cvmlift3  35296