Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem9 35332
Description: Lemma for cvmlift2 35321. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3.h 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem9 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift3.y . . 3 𝑌 = 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (𝜑𝑂𝑌)
7 cvmlift3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift3.e . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11 cvmlift3lem7.s . . 3 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem8 35331 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem5 35328 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) = 𝐺)
14 iitopon 24905 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
16 sconntop 35233 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Top)
182toptopon 22923 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1917, 18sylib 218 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
20 cnconst2 23291 . . . . 5 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑂𝑌) → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
2115, 19, 6, 20syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22 0elunit 13509 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
23 fvconst2g 7222 . . . . 5 ((𝑂𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
246, 22, 23sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
25 1elunit 13510 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
26 fvconst2g 7222 . . . . 5 ((𝑂𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
276, 25, 26sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
289sneqd 4638 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝐹𝑃)} = {(𝐺𝑂)})
2928xpeq2d 5715 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
30 cvmcn 35267 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
321, 31cnf 23254 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
33 ffn 6736 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵 𝐽𝐹 Fn 𝐵)
343, 30, 32, 334syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
35 fcoconst 7154 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐵𝑃𝐵) → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}))
3634, 8, 35syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹𝑃)}))
372, 31cnf 23254 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌 𝐽)
387, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑌 𝐽)
3938ffnd 6737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn 𝑌)
40 fcoconst 7154 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 𝑌𝑂𝑌) → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
4139, 6, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}))
4229, 36, 413eqtr4d 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
43 fvconst2g 7222 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐵 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
448, 22, 43sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
45 cvmtop1 35265 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
463, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ Top)
471toptopon 22923 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
4846, 47sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
49 cnconst2 23291 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃𝐵) → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
5015, 48, 8, 49syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
51 cvmtop2 35266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
523, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5331toptopon 22923 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5452, 53sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5538, 6ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑂) ∈ 𝐽)
56 cnconst2 23291 . . . . . . . . . . 11 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ (𝐺𝑂) ∈ 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5715, 54, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐺𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
5841, 57eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
59 fvconst2g 7222 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑂) ∈ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0) = (𝐺𝑂))
6055, 22, 59sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0) = (𝐺𝑂))
6141fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0) = (((0[,]1) × {(𝐺𝑂)})‘0))
6260, 61, 93eqtr4rd 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))
631cvmlift 35304 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐹𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))) → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
643, 58, 8, 62, 63syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
65 coeq2 5869 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝐹𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})))
6665eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
67 fveq1 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝑔‘0) = (((0[,]1) × {𝑃})‘0))
6867eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝑔‘0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃))
6966, 68anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)))
7069riota2 7413 . . . . . . . 8 ((((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
7150, 64, 70syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
7242, 44, 71mpbi2and 712 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃}))
7372fveq1d 6908 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (((0[,]1) × {𝑃})‘1))
74 fvconst2g 7222 . . . . . 6 ((𝑃𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
758, 25, 74sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
7673, 75eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)
77 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑂})‘0))
7877eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂))
79 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑂})‘1))
8079eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂))
81 coeq2 5869 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝐺𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
8281eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ↔ (𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
8382anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
8483riotabidv 7390 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
8584fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
8685eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃 ↔ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
8778, 80, 863anbi123d 1438 . . . . 5 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
8887rspcev 3622 . . . 4 ((((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
8921, 24, 27, 76, 88syl13anc 1374 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
901, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem4 35327 . . . 4 ((𝜑𝑂𝑌) → ((𝐻𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
916, 90mpdan 687 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
9289, 91mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑂) = 𝑃)
93 coeq2 5869 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 → (𝐹𝑓) = (𝐹𝐻))
9493eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 → ((𝐹𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐺))
95 fveq1 6905 . . . . 5 (𝑓 = 𝐻 → (𝑓𝑂) = (𝐻𝑂))
9695eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑓 = 𝐻 → ((𝑓𝑂) = 𝑃 ↔ (𝐻𝑂) = 𝑃))
9794, 96anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = 𝐻 → (((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻𝑂) = 𝑃)))
9897rspcev 3622 . 2 ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻𝑂) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
9912, 13, 92, 98syl12anc 837 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓𝑂) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   cuni 4907  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  [,]cicc 13390  t crest 17465  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  𝑛-Locally cnlly 23473  Homeochmeo 23761  IIcii 24901  PConncpconn 35224  SConncsconn 35225   CovMap ccvm 35260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-conn 23420  df-lly 23474  df-nlly 23475  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-pco 25038  df-pconn 35226  df-sconn 35227  df-cvm 35261
This theorem is referenced by:  cvmlift3  35333
  Copyright terms: Public domain W3C validator