Theorem cvmlift3lem9 35509

Description: Lemma for cvmlift2 35498. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem9	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3		cvmlift3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		cvmlift3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
5		cvmlift3.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6		cvmlift3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
7		cvmlift3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8		cvmlift3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvmlift3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
10		cvmlift3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11		cvmlift3lem7.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem8 35508	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem5 35505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺)
14		iitopon 24846	. . . . . 6 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
16		sconntop 35410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
18	2	toptopon 22882	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
19	17, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
20		cnconst2 23248	. . . . 5 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
21	15, 19, 6, 20	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22		0elunit 13422	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
23		fvconst2g 7157	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
24	6, 22, 23	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
25		1elunit 13423	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
26		fvconst2g 7157	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
27	6, 25, 26	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
28	9	sneqd 4579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑃)} = {(𝐺‘𝑂)})
29	28	xpeq2d 5661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
30		cvmcn 35444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
32	1, 31	cnf 23211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽)
33		ffn 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽 → 𝐹 Fn 𝐵)
34	3, 30, 32, 33	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
35		fcoconst 7087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}))
36	34, 8, 35	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}))
37	2, 31	cnf 23211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
38	7, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
39	38	ffnd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑌)
40		fcoconst 7087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑌 ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
41	39, 6, 40	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
42	29, 36, 41	3eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
43		fvconst2g 7157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
44	8, 22, 43	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
45		cvmtop1 35442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
46	3, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Top)
47	1	toptopon 22882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
48	46, 47	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
49		cnconst2 23248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
50	15, 48, 8, 49	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
51		cvmtop2 35443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
52	3, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
53	31	toptopon 22882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
54	52, 53	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
55	38, 6	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽)
56		cnconst2 23248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
57	15, 54, 55, 56	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
58	41, 57	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
59		fvconst2g 7157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0) = (𝐺‘𝑂))
60	55, 22, 59	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0) = (𝐺‘𝑂))
61	41	fveq1d 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0) = (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0))
62	60, 61, 9	3eqtr4rd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))
63	1	cvmlift 35481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))) → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
64	3, 58, 8, 62, 63	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
65		coeq2 5813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})))
66	65	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
67		fveq1 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝑔‘0) = (((0[,]1) × {𝑃})‘0))
68	67	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝑔‘0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃))
69	66, 68	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)))
70	69	riota2 7349	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
71	50, 64, 70	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
72	42, 44, 71	mpbi2and 713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃}))
73	72	fveq1d 6842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (((0[,]1) × {𝑃})‘1))
74		fvconst2g 7157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
75	8, 25, 74	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
76	73, 75	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)
77		fveq1 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑂})‘0))
78	77	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂))
79		fveq1 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑂})‘1))
80	79	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂))
81		coeq2 5813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝐺 ∘ 𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
82	81	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
83	82	anbi1d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
84	83	riotabidv 7326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
85	84	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
86	85	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃 ↔ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
87	78, 80, 86	3anbi123d 1439	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
88	87	rspcev 3564	. . . 4 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
89	21, 24, 27, 76, 88	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem4 35504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → ((𝐻‘𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
91	6, 90	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
92	89, 91	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑂) = 𝑃)
93		coeq2 5813	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑓) = (𝐹 ∘ 𝐻))
94	93	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → ((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺))
95		fveq1 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (𝑓‘𝑂) = (𝐻‘𝑂))
96	95	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → ((𝑓‘𝑂) = 𝑃 ↔ (𝐻‘𝑂) = 𝑃))
97	94, 96	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘𝑂) = 𝑃)))
98	97	rspcev 3564	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘𝑂) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))
99	12, 13, 92, 98	syl12anc 837	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3340  {crab 3389   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  ∪ cuni 4850   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   “ cima 5634   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℩crio 7323  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039  [,]cicc 13301   ↾_t crest 17383  Topctop 22858  TopOnctopon 22875   Cn ccn 23189  𝑛-Locally cnlly 23430  Homeochmeo 23718  IIcii 24842  PConncpconn 35401  SConncsconn 35402   CovMap ccvm 35437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-ec 8645  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-cmp 23352  df-conn 23377  df-lly 23431  df-nlly 23432  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-ii 24844  df-cncf 24845  df-htpy 24937  df-phtpy 24938  df-phtpc 24959  df-pco 24972  df-pconn 35403  df-sconn 35404  df-cvm 35438

This theorem is referenced by:  cvmlift3  35510