Theorem cvmlift3lem9 35332

Description: Lemma for cvmlift2 35321. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem9	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3		cvmlift3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		cvmlift3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
5		cvmlift3.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6		cvmlift3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
7		cvmlift3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8		cvmlift3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvmlift3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
10		cvmlift3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11		cvmlift3lem7.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem8 35331	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem5 35328	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺)
14		iitopon 24905	. . . . . 6 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
16		sconntop 35233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
18	2	toptopon 22923	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
19	17, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
20		cnconst2 23291	. . . . 5 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
21	15, 19, 6, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾))
22		0elunit 13509	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
23		fvconst2g 7222	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
24	6, 22, 23	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂)
25		1elunit 13510	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
26		fvconst2g 7222	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
27	6, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂)
28	9	sneqd 4638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑃)} = {(𝐺‘𝑂)})
29	28	xpeq2d 5715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
30		cvmcn 35267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
32	1, 31	cnf 23254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽)
33		ffn 6736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽 → 𝐹 Fn 𝐵)
34	3, 30, 32, 33	4syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
35		fcoconst 7154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}))
36	34, 8, 35	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = ((0[,]1) × {(𝐹‘𝑃)}))
37	2, 31	cnf 23254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
38	7, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
39	38	ffnd 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑌)
40		fcoconst 7154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Fn 𝑌 ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
41	39, 6, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) = ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}))
42	29, 36, 41	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
43		fvconst2g 7222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
44	8, 22, 43	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)
45		cvmtop1 35265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
46	3, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Top)
47	1	toptopon 22923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
48	46, 47	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
49		cnconst2 23291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
50	15, 48, 8, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶))
51		cvmtop2 35266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
52	3, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
53	31	toptopon 22923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
54	52, 53	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
55	38, 6	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽)
56		cnconst2 23291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
57	15, 54, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)}) ∈ (II Cn 𝐽))
58	41, 57	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽))
59		fvconst2g 7222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺‘𝑂) ∈ ∪ 𝐽 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0) = (𝐺‘𝑂))
60	55, 22, 59	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0) = (𝐺‘𝑂))
61	41	fveq1d 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0) = (((0[,]1) × {(𝐺‘𝑂)})‘0))
62	60, 61, 9	3eqtr4rd 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))
63	1	cvmlift 35304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))‘0))) → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
64	3, 58, 8, 62, 63	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
65		coeq2 5869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})))
66	65	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ↔ (𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
67		fveq1 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (𝑔‘0) = (((0[,]1) × {𝑃})‘0))
68	67	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → ((𝑔‘0) = 𝑃 ↔ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃))
69	66, 68	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ((0[,]1) × {𝑃}) → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃)))
70	69	riota2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑃}) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ ∃!𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
71	50, 64, 70	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∘ ((0[,]1) × {𝑃})) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (((0[,]1) × {𝑃})‘0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃})))
72	42, 44, 71	mpbi2and 712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = ((0[,]1) × {𝑃}))
73	72	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (((0[,]1) × {𝑃})‘1))
74		fvconst2g 7222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
75	8, 25, 74	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0[,]1) × {𝑃})‘1) = 𝑃)
76	73, 75	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)
77		fveq1 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑂})‘0))
78	77	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘0) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂))
79		fveq1 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑂})‘1))
80	79	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝑓‘1) = 𝑂 ↔ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂))
81		coeq2 5869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (𝐺 ∘ 𝑓) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})))
82	81	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂}))))
83	82	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
84	83	riotabidv 7390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
85	84	fveq1d 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
86	85	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃 ↔ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
87	78, 80, 86	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑂}) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃) ↔ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
88	87	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ ((((0[,]1) × {𝑂}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((((0[,]1) × {𝑂})‘0) = 𝑂 ∧ (((0[,]1) × {𝑂})‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ ((0[,]1) × {𝑂})) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
89	21, 24, 27, 76, 88	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃))
90	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem4 35327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑂 ∈ 𝑌) → ((𝐻‘𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
91	6, 90	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑂) = 𝑃 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑂 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑃)))
92	89, 91	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑂) = 𝑃)
93		coeq2 5869	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑓) = (𝐹 ∘ 𝐻))
94	93	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → ((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺))
95		fveq1 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (𝑓‘𝑂) = (𝐻‘𝑂))
96	95	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → ((𝑓‘𝑂) = 𝑃 ↔ (𝐻‘𝑂) = 𝑃))
97	94, 96	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐻 → (((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘𝑂) = 𝑃)))
98	97	rspcev 3622	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺 ∧ (𝐻‘𝑂) = 𝑃)) → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))
99	12, 13, 92, 98	syl12anc 837	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘𝑂) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3378  {crab 3436   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  ∪ cuni 4907   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   “ cima 5688   ∘ ccom 5689   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  [,]cicc 13390   ↾_t crest 17465  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  𝑛-Locally cnlly 23473  Homeochmeo 23761  IIcii 24901  PConncpconn 35224  SConncsconn 35225   CovMap ccvm 35260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-conn 23420  df-lly 23474  df-nlly 23475  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-pco 25038  df-pconn 35226  df-sconn 35227  df-cvm 35261

This theorem is referenced by:  cvmlift3  35333