Theorem cvmliftlem9 35656

Description: Lemma for cvmlift 35662. The 𝑄(𝑀) functions are defined on almost disjoint intervals, but they overlap at the edges. Here we show that at these points the 𝑄 functions agree on their common domain. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑀)‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑀,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13572	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		cvmliftlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
3		cvmliftlem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
4		cvmliftlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5		cvmliftlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
6		cvmliftlem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
7		cvmliftlem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		cvmliftlem.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
9		cvmliftlem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10		cvmliftlem.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
11		cvmliftlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
12		cvmliftlem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
13		cvmliftlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
14		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cvmliftlem5 35652	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑀) = (𝑧 ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧))))
16	1, 15	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄‘𝑀) = (𝑧 ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧))))
17		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 = ((𝑀 − 1) / 𝑁)) → 𝑧 = ((𝑀 − 1) / 𝑁))
18	17	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 = ((𝑀 − 1) / 𝑁)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
19	18	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 = ((𝑀 − 1) / 𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)) = (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
20	1	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
21	20	nnred 12239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		peano2rem 11513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
24	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	23, 24	nndivred 12281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
26	25	rexrd 11247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
27	21, 24	nndivred 12281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ*)
29	21	ltm1d 12138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
30	24	nnred 12239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	24	nngt0d 12276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 0 < 𝑁)
32		ltdiv1 12070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
33	23, 21, 30, 31, 32	syl112anc 1397	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
34	29, 33	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁))
35	25, 27, 34	ltled 11346	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁))
36		lbicc2 13482	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
37	26, 28, 35, 36	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
38		fvexd 6886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ V)
39	16, 19, 37, 38	fvmptd 6987	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑀)‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) = (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
40	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
41		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
42	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 41	cvmliftlem1 35648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇‘𝑀))))
43	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cvmliftlem7 35654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
44		cvmcn 35625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
45	3, 4	cnf 23364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵⟶𝑋)
46	40, 44, 45	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:𝐵⟶𝑋)
47		ffn 6695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝑋 → 𝐹 Fn 𝐵)
48		fniniseg 7045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
49	46, 47, 48	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
50	43, 49	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
51	50	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵)
52	50	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
53	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 41, 14, 37	cvmliftlem3 35650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
54	52, 53	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
55		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) = (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)
56	2, 3, 55	cvmsiota 35640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ ((2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇‘𝑀))) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))) → ((℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
57	40, 42, 51, 54, 56	syl13anc 1395	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
58	57	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
59		fvres 6890	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → ((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
60	58, 59	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
61	60, 52	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
62	57	simpld 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀)))
63	2	cvmsf1o 35635	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇‘𝑀))) ∧ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))) → (𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇‘𝑀)))
64	40, 42, 62, 63	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇‘𝑀)))
65		f1ocnvfv 7266	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇‘𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)) → (((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
66	64, 58, 65	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
67	61, 66	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
68	39, 67	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑀)‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {crab 3417  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4868  ∪ ciun 4952   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186   I cid 5546   × cxp 5650  ^◡ccnv 5651  ran crn 5653   ↾ cres 5654   “ cima 5655   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  ℩crio 7356  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  (,)cioo 13363  [,]cicc 13366  ...cfz 13526  seqcseq 14028   ↾_t crest 17463  topGenctg 17480   Cn ccn 23342  Homeochmeo 23871  IIcii 24995   CovMap ccvm 35618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13370  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cn 23345  df-hmeo 23873  df-ii 24997  df-cvm 35619

This theorem is referenced by:  cvmliftlem10  35657  cvmliftlem13  35659