Theorem cvmliftlem9 36145

Description: Lemma for cvmlift 36151. The 𝑄(𝑀) functions are defined on almost disjoint intervals, but they overlap at the edges. Here we show that at these points the 𝑄 functions agree on their common domain. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑀)‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑀,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑏)   𝐵(𝑥, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠)   𝐶(𝑥, 𝑚)   𝑃(𝑗, 𝑠)   𝑄(𝑗, 𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)   𝑁(𝑗, 𝑠)   𝑋(𝑥, 𝑧, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13691	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		cvmliftlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
3		cvmliftlem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
4		cvmliftlem.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5		cvmliftlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
6		cvmliftlem.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
7		cvmliftlem.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		cvmliftlem.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
9		cvmliftlem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10		cvmliftlem.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
11		cvmliftlem.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
12		cvmliftlem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
13		cvmliftlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cvmliftlem5 36141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑀) = (𝑧 ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧))))
16	1, 15	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑄‘𝑀) = (𝑧 ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧))))
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 = ((𝑀 − 1) / 𝑁)) → 𝑧 = ((𝑀 − 1) / 𝑁))
18	17	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 = ((𝑀 − 1) / 𝑁)) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
19	18	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 = ((𝑀 − 1) / 𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)) = (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
20	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
21	20	nnred 12354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		peano2rem 11629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
24	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	23, 24	nndivred 12396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
26	25	rexrd 11363	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
27	21, 24	nndivred 12396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
28	27	rexrd 11363	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ*)
29	21	ltm1d 12253	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
30	24	nnred 12354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	24	nngt0d 12391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 0 < 𝑁)
32		ltdiv1 12185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
33	23, 21, 30, 31, 32	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
34	29, 33	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁))
35	25, 27, 34	ltled 11462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁))
36		lbicc2 13599	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
37	26, 28, 35, 36	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
38		fvexd 6901	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ V)
39	16, 19, 37, 38	fvmptd 7002	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑀)‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) = (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
40	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
41		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
42	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 41	cvmliftlem1 36137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇‘𝑀))))
43	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cvmliftlem7 36143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
44		cvmcn 36114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
45	3, 4	cnf 23570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵⟶𝑋)
46	40, 44, 45	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:𝐵⟶𝑋)
47		ffn 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝑋 → 𝐹 Fn 𝐵)
48		fniniseg 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
49	46, 47, 48	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (◡𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
50	43, 49	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
51	50	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵)
52	50	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
53	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 41, 14, 37	cvmliftlem3 36139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
54	52, 53	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))
55		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) = (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)
56	2, 3, 55	cvmsiota 36129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ ((2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇‘𝑀))) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇‘𝑀)))) → ((℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
57	40, 42, 51, 54, 56	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
58	57	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
59		fvres 6905	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → ((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
60	58, 59	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
61	60, 52	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
62	57	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀)))
63	2	cvmsf1o 36124	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (2nd ‘(𝑇‘𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇‘𝑀))) ∧ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))) → (𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇‘𝑀)))
64	40, 42, 62, 63	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇‘𝑀)))
65		f1ocnvfv 7287	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇‘𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)) → (((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
66	64, 58, 65	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
67	61, 66	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
68	39, 67	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑄‘𝑀)‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) = ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  ℩crio 7377  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  1^st c1st 8000  2^nd c2nd 8001  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  (,)cioo 13480  [,]cicc 13483  ...cfz 13643  seqcseq 14148   ↾_t crest 17597  topGenctg 17614   Cn ccn 23548  Homeochmeo 24078  IIcii 25202   CovMap ccvm 36107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-icc 13487  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-rest 17599  df-topgen 17620  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-top 23218  df-topon 23235  df-bases 23270  df-cn 23551  df-hmeo 24080  df-ii 25204  df-cvm 36108

This theorem is used by:  cvmliftlem10  36146  cvmliftlem13  36148