Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fzssp1 13549 |
. . . 4
β’
(0...(π β 1))
β (0...((π β 1)
+ 1)) |
2 | | cvmliftlem.n |
. . . . . . . 8
β’ (π β π β β) |
3 | 2 | nncnd 12233 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β β) |
4 | 3 | adantr 480 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β (1...π)) β π β β) |
5 | | ax-1cn 11172 |
. . . . . 6
β’ 1 β
β |
6 | | npcan 11474 |
. . . . . 6
β’ ((π β β β§ 1 β
β) β ((π β
1) + 1) = π) |
7 | 4, 5, 6 | sylancl 585 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β (1...π)) β ((π β 1) + 1) = π) |
8 | 7 | oveq2d 7428 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (1...π)) β (0...((π β 1) + 1)) = (0...π)) |
9 | 1, 8 | sseqtrid 4034 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (1...π)) β (0...(π β 1)) β (0...π)) |
10 | | simpr 484 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (1...π)) β π β (1...π)) |
11 | | elfzelz 13506 |
. . . . 5
β’ (π β (1...π) β π β β€) |
12 | 2 | nnzd 12590 |
. . . . 5
β’ (π β π β β€) |
13 | | elfzm1b 13584 |
. . . . 5
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π β (1...π) β (π β 1) β (0...(π β 1)))) |
14 | 11, 12, 13 | syl2anr 596 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β (1...π)) β (π β (1...π) β (π β 1) β (0...(π β 1)))) |
15 | 10, 14 | mpbid 231 |
. . 3
β’ ((π β§ π β (1...π)) β (π β 1) β (0...(π β 1))) |
16 | 9, 15 | sseldd 3983 |
. 2
β’ ((π β§ π β (1...π)) β (π β 1) β (0...π)) |
17 | | elfznn0 13599 |
. . . 4
β’ ((π β 1) β (0...π) β (π β 1) β
β0) |
18 | 17 | adantl 481 |
. . 3
β’ ((π β§ (π β 1) β (0...π)) β (π β 1) β
β0) |
19 | | eleq1 2820 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = 0 β (π¦ β (0...π) β 0 β (0...π))) |
20 | | fveq2 6891 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = 0 β (πβπ¦) = (πβ0)) |
21 | | oveq1 7419 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = 0 β (π¦ / π) = (0 / π)) |
22 | 20, 21 | fveq12d 6898 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = 0 β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) = ((πβ0)β(0 / π))) |
23 | | fvoveq1 7435 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ = 0 β (πΊβ(π¦ / π)) = (πΊβ(0 / π))) |
24 | 23 | sneqd 4640 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = 0 β {(πΊβ(π¦ / π))} = {(πΊβ(0 / π))}) |
25 | 24 | imaeq2d 6059 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = 0 β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}) = (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))})) |
26 | 22, 25 | eleq12d 2826 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = 0 β (((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}) β ((πβ0)β(0 / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))}))) |
27 | 19, 26 | imbi12d 344 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = 0 β ((π¦ β (0...π) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))})) β (0 β (0...π) β ((πβ0)β(0 / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))})))) |
28 | 27 | imbi2d 340 |
. . . . 5
β’ (π¦ = 0 β ((π β (π¦ β (0...π) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}))) β (π β (0 β (0...π) β ((πβ0)β(0 / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))}))))) |
29 | | eleq1 2820 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = π β (π¦ β (0...π) β π β (0...π))) |
30 | | fveq2 6891 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = π β (πβπ¦) = (πβπ)) |
31 | | oveq1 7419 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = π β (π¦ / π) = (π / π)) |
32 | 30, 31 | fveq12d 6898 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = π β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) = ((πβπ)β(π / π))) |
33 | | fvoveq1 7435 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ = π β (πΊβ(π¦ / π)) = (πΊβ(π / π))) |
34 | 33 | sneqd 4640 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = π β {(πΊβ(π¦ / π))} = {(πΊβ(π / π))}) |
35 | 34 | imaeq2d 6059 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = π β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}) = (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))})) |
36 | 32, 35 | eleq12d 2826 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = π β (((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}) β ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) |
37 | 29, 36 | imbi12d 344 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = π β ((π¦ β (0...π) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))})) β (π β (0...π) β ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))})))) |
38 | 37 | imbi2d 340 |
. . . . 5
β’ (π¦ = π β ((π β (π¦ β (0...π) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}))) β (π β (π β (0...π) β ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))))) |
39 | | eleq1 2820 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = (π + 1) β (π¦ β (0...π) β (π + 1) β (0...π))) |
40 | | fveq2 6891 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = (π + 1) β (πβπ¦) = (πβ(π + 1))) |
41 | | oveq1 7419 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = (π + 1) β (π¦ / π) = ((π + 1) / π)) |
42 | 40, 41 | fveq12d 6898 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = (π + 1) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) = ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π))) |
43 | | fvoveq1 7435 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ = (π + 1) β (πΊβ(π¦ / π)) = (πΊβ((π + 1) / π))) |
44 | 43 | sneqd 4640 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = (π + 1) β {(πΊβ(π¦ / π))} = {(πΊβ((π + 1) / π))}) |
45 | 44 | imaeq2d 6059 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = (π + 1) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}) = (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))})) |
46 | 42, 45 | eleq12d 2826 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = (π + 1) β (((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}) β ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))}))) |
47 | 39, 46 | imbi12d 344 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = (π + 1) β ((π¦ β (0...π) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))})) β ((π + 1) β (0...π) β ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))})))) |
48 | 47 | imbi2d 340 |
. . . . 5
β’ (π¦ = (π + 1) β ((π β (π¦ β (0...π) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}))) β (π β ((π + 1) β (0...π) β ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))}))))) |
49 | | eleq1 2820 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = (π β 1) β (π¦ β (0...π) β (π β 1) β (0...π))) |
50 | | fveq2 6891 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = (π β 1) β (πβπ¦) = (πβ(π β 1))) |
51 | | oveq1 7419 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = (π β 1) β (π¦ / π) = ((π β 1) / π)) |
52 | 50, 51 | fveq12d 6898 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = (π β 1) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) = ((πβ(π β 1))β((π β 1) / π))) |
53 | | fvoveq1 7435 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π¦ = (π β 1) β (πΊβ(π¦ / π)) = (πΊβ((π β 1) / π))) |
54 | 53 | sneqd 4640 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = (π β 1) β {(πΊβ(π¦ / π))} = {(πΊβ((π β 1) / π))}) |
55 | 54 | imaeq2d 6059 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = (π β 1) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}) = (β‘πΉ β {(πΊβ((π β 1) / π))})) |
56 | 52, 55 | eleq12d 2826 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = (π β 1) β (((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}) β ((πβ(π β 1))β((π β 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π β 1) / π))}))) |
57 | 49, 56 | imbi12d 344 |
. . . . . 6
β’ (π¦ = (π β 1) β ((π¦ β (0...π) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))})) β ((π β 1) β (0...π) β ((πβ(π β 1))β((π β 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π β 1) / π))})))) |
58 | 57 | imbi2d 340 |
. . . . 5
β’ (π¦ = (π β 1) β ((π β (π¦ β (0...π) β ((πβπ¦)β(π¦ / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π¦ / π))}))) β (π β ((π β 1) β (0...π) β ((πβ(π β 1))β((π β 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π β 1) / π))}))))) |
59 | | cvmliftlem.1 |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = (π β π½ β¦ {π β (π« πΆ β {β
}) β£ (βͺ π =
(β‘πΉ β π) β§ βπ’ β π (βπ£ β (π β {π’})(π’ β© π£) = β
β§ (πΉ βΎ π’) β ((πΆ βΎt π’)Homeo(π½ βΎt π))))}) |
60 | | cvmliftlem.b |
. . . . . . . . . . 11
β’ π΅ = βͺ
πΆ |
61 | | cvmliftlem.x |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = βͺ
π½ |
62 | | cvmliftlem.f |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΉ β (πΆ CovMap π½)) |
63 | | cvmliftlem.g |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΊ β (II Cn π½)) |
64 | | cvmliftlem.p |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β π΅) |
65 | | cvmliftlem.e |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (πΉβπ) = (πΊβ0)) |
66 | | cvmliftlem.t |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π:(1...π)βΆβͺ
π β π½ ({π} Γ (πβπ))) |
67 | | cvmliftlem.a |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β βπ β (1...π)(πΊ β (((π β 1) / π)[,](π / π))) β (1st β(πβπ))) |
68 | | cvmliftlem.l |
. . . . . . . . . . 11
β’ πΏ = (topGenβran
(,)) |
69 | | cvmliftlem.q |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = seq0((π₯ β V, π β β β¦ (π§ β (((π β 1) / π)[,](π / π)) β¦ (β‘(πΉ βΎ (β©π β (2nd β(πβπ))(π₯β((π β 1) / π)) β π))β(πΊβπ§)))), (( I βΎ β) βͺ {β¨0,
{β¨0, πβ©}β©})) |
70 | 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69 | cvmliftlem4 34578 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πβ0) = {β¨0, πβ©} |
71 | 70 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πβ0) = {β¨0, πβ©}) |
72 | 2 | nnne0d 12267 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β 0) |
73 | 3, 72 | div0d 11994 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (0 / π) = 0) |
74 | 71, 73 | fveq12d 6898 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((πβ0)β(0 / π)) = ({β¨0, πβ©}β0)) |
75 | | 0nn0 12492 |
. . . . . . . . 9
β’ 0 β
β0 |
76 | | fvsng 7180 |
. . . . . . . . 9
β’ ((0
β β0 β§ π β π΅) β ({β¨0, πβ©}β0) = π) |
77 | 75, 64, 76 | sylancr 586 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ({β¨0, πβ©}β0) = π) |
78 | 74, 77 | eqtrd 2771 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((πβ0)β(0 / π)) = π) |
79 | 73 | fveq2d 6895 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πΊβ(0 / π)) = (πΊβ0)) |
80 | 65, 79 | eqtr4d 2774 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πΉβπ) = (πΊβ(0 / π))) |
81 | | cvmcn 34552 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΉ β (πΆ CovMap π½) β πΉ β (πΆ Cn π½)) |
82 | 62, 81 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΉ β (πΆ Cn π½)) |
83 | 60, 61 | cnf 22971 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΉ β (πΆ Cn π½) β πΉ:π΅βΆπ) |
84 | | ffn 6717 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΉ:π΅βΆπ β πΉ Fn π΅) |
85 | 82, 83, 84 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΉ Fn π΅) |
86 | | fniniseg 7061 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΉ Fn π΅ β (π β (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))}) β (π β π΅ β§ (πΉβπ) = (πΊβ(0 / π))))) |
87 | 85, 86 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π β (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))}) β (π β π΅ β§ (πΉβπ) = (πΊβ(0 / π))))) |
88 | 64, 80, 87 | mpbir2and 710 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))})) |
89 | 78, 88 | eqeltrd 2832 |
. . . . . 6
β’ (π β ((πβ0)β(0 / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))})) |
90 | 89 | a1d 25 |
. . . . 5
β’ (π β (0 β (0...π) β ((πβ0)β(0 / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(0 / π))}))) |
91 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β0
β π β
β0) |
92 | | nn0uz 12869 |
. . . . . . . . . 10
β’
β0 = (β€β₯β0) |
93 | 91, 92 | eleqtrdi 2842 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β0
β π β
(β€β₯β0)) |
94 | 93 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β π β
(β€β₯β0)) |
95 | | peano2fzr 13519 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β
(β€β₯β0) β§ (π + 1) β (0...π)) β π β (0...π)) |
96 | 95 | ex 412 |
. . . . . . . 8
β’ (π β
(β€β₯β0) β ((π + 1) β (0...π) β π β (0...π))) |
97 | 94, 96 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β0) β ((π + 1) β (0...π) β π β (0...π))) |
98 | 97 | imim1d 82 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β0) β ((π β (0...π) β ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))})) β ((π + 1) β (0...π) β ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))})))) |
99 | | eqid 2731 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π)) = ((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π)) |
100 | | simprlr 777 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π + 1) β (0...π)) |
101 | | elfzle2 13510 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π + 1) β (0...π) β (π + 1) β€ π) |
102 | 100, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π + 1) β€ π) |
103 | | simprll 776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β π β β0) |
104 | | nn0p1nn 12516 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β0
β (π + 1) β
β) |
105 | 103, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π + 1) β β) |
106 | | nnuz 12870 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ β =
(β€β₯β1) |
107 | 105, 106 | eleqtrdi 2842 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π + 1) β
(β€β₯β1)) |
108 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β π β β€) |
109 | | elfz5 13498 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π + 1) β
(β€β₯β1) β§ π β β€) β ((π + 1) β (1...π) β (π + 1) β€ π)) |
110 | 107, 108,
109 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((π + 1) β (1...π) β (π + 1) β€ π)) |
111 | 102, 110 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π + 1) β (1...π)) |
112 | | simprr 770 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))})) |
113 | 103 | nn0cnd 12539 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β π β β) |
114 | | pncan 11471 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β β§ 1 β
β) β ((π + 1)
β 1) = π) |
115 | 113, 5, 114 | sylancl 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((π + 1) β 1) = π) |
116 | 115 | fveq2d 6895 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (πβ((π + 1) β 1)) = (πβπ)) |
117 | 115 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (((π + 1) β 1) / π) = (π / π)) |
118 | 116, 117 | fveq12d 6898 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πβ((π + 1) β 1))β(((π + 1) β 1) / π)) = ((πβπ)β(π / π))) |
119 | 117 | fveq2d 6895 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (πΊβ(((π + 1) β 1) / π)) = (πΊβ(π / π))) |
120 | 119 | sneqd 4640 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β {(πΊβ(((π + 1) β 1) / π))} = {(πΊβ(π / π))}) |
121 | 120 | imaeq2d 6059 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (β‘πΉ β {(πΊβ(((π + 1) β 1) / π))}) = (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))})) |
122 | 112, 118,
121 | 3eltr4d 2847 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πβ((π + 1) β 1))β(((π + 1) β 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(((π + 1) β 1) / π))})) |
123 | 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122 | cvmliftlem6 34580 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πβ(π + 1)):((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π))βΆπ΅ β§ (πΉ β (πβ(π + 1))) = (πΊ βΎ ((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π))))) |
124 | 123 | simpld 494 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (πβ(π + 1)):((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π))βΆπ΅) |
125 | 103 | nn0red 12538 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β π β β) |
126 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β π β β) |
127 | 125, 126 | nndivred 12271 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π / π) β β) |
128 | 127 | rexrd 11269 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π / π) β
β*) |
129 | | peano2re 11392 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β (π + 1) β
β) |
130 | 125, 129 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π + 1) β β) |
131 | 130, 126 | nndivred 12271 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((π + 1) / π) β β) |
132 | 131 | rexrd 11269 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((π + 1) / π) β
β*) |
133 | 125 | ltp1d 12149 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β π < (π + 1)) |
134 | 126 | nnred 12232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β π β β) |
135 | 126 | nngt0d 12266 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β 0 < π) |
136 | | ltdiv1 12083 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β β§ (π + 1) β β β§
(π β β β§ 0
< π)) β (π < (π + 1) β (π / π) < ((π + 1) / π))) |
137 | 125, 130,
134, 135, 136 | syl112anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π < (π + 1) β (π / π) < ((π + 1) / π))) |
138 | 133, 137 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π / π) < ((π + 1) / π)) |
139 | 127, 131,
138 | ltled 11367 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π / π) β€ ((π + 1) / π)) |
140 | | ubicc2 13447 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π / π) β β* β§ ((π + 1) / π) β β* β§ (π / π) β€ ((π + 1) / π)) β ((π + 1) / π) β ((π / π)[,]((π + 1) / π))) |
141 | 128, 132,
139, 140 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((π + 1) / π) β ((π / π)[,]((π + 1) / π))) |
142 | 117 | oveq1d 7427 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π)) = ((π / π)[,]((π + 1) / π))) |
143 | 141, 142 | eleqtrrd 2835 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((π + 1) / π) β ((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π))) |
144 | 124, 143 | ffvelcdmd 7087 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β π΅) |
145 | 123 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (πΉ β (πβ(π + 1))) = (πΊ βΎ ((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π)))) |
146 | 142 | reseq2d 5981 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (πΊ βΎ ((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π))) = (πΊ βΎ ((π / π)[,]((π + 1) / π)))) |
147 | 145, 146 | eqtrd 2771 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (πΉ β (πβ(π + 1))) = (πΊ βΎ ((π / π)[,]((π + 1) / π)))) |
148 | 147 | fveq1d 6893 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πΉ β (πβ(π + 1)))β((π + 1) / π)) = ((πΊ βΎ ((π / π)[,]((π + 1) / π)))β((π + 1) / π))) |
149 | 142 | feq2d 6703 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πβ(π + 1)):((((π + 1) β 1) / π)[,]((π + 1) / π))βΆπ΅ β (πβ(π + 1)):((π / π)[,]((π + 1) / π))βΆπ΅)) |
150 | 124, 149 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (πβ(π + 1)):((π / π)[,]((π + 1) / π))βΆπ΅) |
151 | | fvco3 6990 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πβ(π + 1)):((π / π)[,]((π + 1) / π))βΆπ΅ β§ ((π + 1) / π) β ((π / π)[,]((π + 1) / π))) β ((πΉ β (πβ(π + 1)))β((π + 1) / π)) = (πΉβ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)))) |
152 | 150, 141,
151 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πΉ β (πβ(π + 1)))β((π + 1) / π)) = (πΉβ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)))) |
153 | | fvres 6910 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π + 1) / π) β ((π / π)[,]((π + 1) / π)) β ((πΊ βΎ ((π / π)[,]((π + 1) / π)))β((π + 1) / π)) = (πΊβ((π + 1) / π))) |
154 | 141, 153 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πΊ βΎ ((π / π)[,]((π + 1) / π)))β((π + 1) / π)) = (πΊβ((π + 1) / π))) |
155 | 148, 152,
154 | 3eqtr3d 2779 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (πΉβ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π))) = (πΊβ((π + 1) / π))) |
156 | 85 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β πΉ Fn π΅) |
157 | | fniniseg 7061 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΉ Fn π΅ β (((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))}) β (((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β π΅ β§ (πΉβ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π))) = (πΊβ((π + 1) / π))))) |
158 | 156, 157 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))}) β (((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β π΅ β§ (πΉβ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π))) = (πΊβ((π + 1) / π))))) |
159 | 144, 155,
158 | mpbir2and 710 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ ((π β β0 β§ (π + 1) β (0...π)) β§ ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))})) |
160 | 159 | expr 456 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π β β0 β§ (π + 1) β (0...π))) β (((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}) β ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))}))) |
161 | 98, 160 | animpimp2impd 843 |
. . . . 5
β’ (π β β0
β ((π β (π β (0...π) β ((πβπ)β(π / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ(π / π))}))) β (π β ((π + 1) β (0...π) β ((πβ(π + 1))β((π + 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π + 1) / π))}))))) |
162 | 28, 38, 48, 58, 90, 161 | nn0ind 12662 |
. . . 4
β’ ((π β 1) β
β0 β (π
β ((π β 1)
β (0...π) β
((πβ(π β 1))β((π β 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π β 1) / π))})))) |
163 | 162 | impd 410 |
. . 3
β’ ((π β 1) β
β0 β ((π β§ (π β 1) β (0...π)) β ((πβ(π β 1))β((π β 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π β 1) / π))}))) |
164 | 18, 163 | mpcom 38 |
. 2
β’ ((π β§ (π β 1) β (0...π)) β ((πβ(π β 1))β((π β 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π β 1) / π))})) |
165 | 16, 164 | syldan 590 |
1
β’ ((π β§ π β (1...π)) β ((πβ(π β 1))β((π β 1) / π)) β (β‘πΉ β {(πΊβ((π β 1) / π))})) |