Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem7 34581
Description: Lemma for cvmlift 34589. Prove by induction that every 𝑄 function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 34580 to show functionality and lifting of 𝑄). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmliftlem.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmliftlem.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cvmliftlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmliftlem.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
cvmliftlem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
cvmliftlem.t (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
cvmliftlem.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
cvmliftlem5.3 π‘Š = (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐡   𝑗,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,π‘₯,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑀,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑃,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,𝑧   πœ‘,𝑗,𝑠,π‘₯,𝑧   𝑁,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑄,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   π‘˜,π‘Š,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠)   𝐢(π‘₯,π‘š)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(π‘š)   𝐽(π‘š)   𝐿(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   π‘Š(𝑣,𝑒,𝑗,𝑠,𝑏)   𝑋(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 13549 . . . 4 (0...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0...((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
32nncnd 12233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
43adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5 ax-1cn 11172 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
6 npcan 11474 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
87oveq2d 7428 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (0...𝑁))
91, 8sseqtrid 4034 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑁))
10 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
11 elfzelz 13506 . . . . 5 (𝑀 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
122nnzd 12590 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
13 elfzm1b 13584 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))))
1411, 12, 13syl2anr 596 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))))
1510, 14mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
169, 15sseldd 3983 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁))
17 elfznn0 13599 . . . 4 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1817adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
19 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ∈ (0...𝑁)))
20 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘¦) = (π‘„β€˜0))
21 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 / 𝑁) = (0 / 𝑁))
2220, 21fveq12d 6898 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)))
23 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 β†’ (πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁)) = (πΊβ€˜(0 / 𝑁)))
2423sneqd 4640 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))} = {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))})
2524imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}))
2622, 25eleq12d 2826 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 β†’ (((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) ↔ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))})))
2719, 26imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑦 = 0 β†’ ((𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))})) ↔ (0 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}))))
2827imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}))) ↔ (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))})))))
29 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (0...𝑁)))
30 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ (π‘„β€˜π‘¦) = (π‘„β€˜π‘›))
31 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝑦 / 𝑁) = (𝑛 / 𝑁))
3230, 31fveq12d 6898 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)))
33 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛 β†’ (πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁)) = (πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁)))
3433sneqd 4640 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))} = {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})
3534imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))
3632, 35eleq12d 2826 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑛 β†’ (((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) ↔ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})))
3729, 36imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))})) ↔ (𝑛 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))))
3837imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})))))
39 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)))
40 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘¦) = (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))
41 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 / 𝑁) = ((𝑛 + 1) / 𝑁))
4240, 41fveq12d 6898 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
43 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁)) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
4443sneqd 4640 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))} = {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})
4544imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}))
4642, 45eleq12d 2826 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) ↔ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})))
4739, 46imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))})) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}))))
4847imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})))))
49 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁)))
50 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (π‘„β€˜π‘¦) = (π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
51 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑦 / 𝑁) = ((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))
5250, 51fveq12d 6898 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)))
53 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁)) = (πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)))
5453sneqd 4640 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))} = {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))})
5554imaeq2d 6059 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
5652, 55eleq12d 2826 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) ↔ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))})))
5749, 56imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))})) ↔ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))))
5857imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))})))))
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = βˆͺ 𝐢
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = βˆͺ 𝐽
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 34578 . . . . . . . . . 10 (π‘„β€˜0) = {⟨0, π‘ƒβŸ©}
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = {⟨0, π‘ƒβŸ©})
722nnne0d 12267 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
733, 72div0d 11994 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
7471, 73fveq12d 6898 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) = ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0))
75 0nn0 12492 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
76 fvsng 7180 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0) = 𝑃)
7775, 64, 76sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0) = 𝑃)
7874, 77eqtrd 2771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) = 𝑃)
7973fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(0 / 𝑁)) = (πΊβ€˜0))
8065, 79eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜(0 / 𝑁)))
81 cvmcn 34552 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽))
8262, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽))
8360, 61cnf 22971 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽) β†’ 𝐹:π΅βŸΆπ‘‹)
84 ffn 6717 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π΅βŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
86 fniniseg 7061 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐡 β†’ (𝑃 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}) ↔ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜(0 / 𝑁)))))
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}) ↔ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜(0 / 𝑁)))))
8864, 80, 87mpbir2and 710 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}))
8978, 88eqeltrd 2832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}))
9089a1d 25 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))})))
91 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
92 nn0uz 12869 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
9391, 92eleqtrdi 2842 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
9493adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
95 peano2fzr 13519 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
9695ex 412 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (0...𝑁)))
9794, 96syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (0...𝑁)))
9897imim1d 82 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))))
99 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))
100 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁))
101 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑛 + 1) ≀ 𝑁)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ≀ 𝑁)
103 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
104 nn0p1nn 12516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
106 nnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
107105, 106eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
10812adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
109 elfz5 13498 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ≀ 𝑁))
110107, 108, 109syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ≀ 𝑁))
111102, 110mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁))
112 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))
113103nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
114 pncan 11471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 1) = 𝑛)
115113, 5, 114sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 1) = 𝑛)
116115fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1)) = (π‘„β€˜π‘›))
117115oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁) = (𝑛 / 𝑁))
118116, 117fveq12d 6898 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)))
119117fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = (πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁)))
120119sneqd 4640 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ {(πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁))} = {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})
121120imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))
122112, 118, 1213eltr4d 2847 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁))}))
12359, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122cvmliftlem6 34580 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
124123simpld 494 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡)
125103nn0red 12538 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1262adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
127125, 126nndivred 12271 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ)
128127rexrd 11269 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ*)
129 peano2re 11392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
131130, 126nndivred 12271 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
132131rexrd 11269 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
133125ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑛 < (𝑛 + 1))
134126nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
135126nngt0d 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 0 < 𝑁)
136 ltdiv1 12083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁)))
137125, 130, 134, 135, 136syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁)))
138133, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁))
139127, 131, 138ltled 11367 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁))
140 ubicc2 13447 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁)) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
141128, 132, 139, 140syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
142117oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
143141, 142eleqtrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
144124, 143ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ 𝐡)
145123simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
146142reseq2d 5981 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
147145, 146eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
148147fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
149142feq2d 6703 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ↔ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡))
150124, 149mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡)
151 fvco3 6990 . . . . . . . . . 10 (((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†’ ((𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))))
152150, 141, 151syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))))
153 fvres 6910 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
154141, 153syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
155148, 152, 1543eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
15685adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
157 fniniseg 7061 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐡 β†’ (((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}) ↔ (((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
158156, 157syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}) ↔ (((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
159144, 155, 158mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}))
160159expr 456 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁))) β†’ (((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})))
16198, 160animpimp2impd 843 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})))))
16228, 38, 48, 58, 90, 161nn0ind 12662 . . . 4 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))))
163162impd 410 . . 3 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))})))
16418, 163mpcom 38 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
16516, 164syldan 590 1 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  seqcseq 13971   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388   Cn ccn 22949  Homeochmeo 23478  IIcii 24616   CovMap ccvm 34545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cn 22952  df-hmeo 23480  df-ii 24618  df-cvm 34546
This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  34582  cvmliftlem9  34583  cvmliftlem10  34584  cvmliftlem13  34586
  Copyright terms: Public domain W3C validator