Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftlem7 34580
Description: Lemma for cvmlift 34588. Prove by induction that every 𝑄 function is well-defined (we can immediately follow this theorem with cvmliftlem6 34579 to show functionality and lifting of 𝑄). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmliftlem.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmliftlem.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cvmliftlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmliftlem.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
cvmliftlem.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
cvmliftlem.t (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
cvmliftlem.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
cvmliftlem5.3 π‘Š = (((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐡   𝑗,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,π‘₯,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑀,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑃,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,𝑧   πœ‘,𝑗,𝑠,π‘₯,𝑧   𝑁,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   𝑄,𝑏,π‘˜,π‘š,𝑒,𝑣,π‘₯,𝑧   π‘˜,π‘Š,π‘š,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠)   𝐢(π‘₯,π‘š)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(π‘š)   𝐽(π‘š)   𝐿(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   π‘Š(𝑣,𝑒,𝑗,𝑠,𝑏)   𝑋(π‘₯,𝑧,𝑣,𝑒,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem7
Dummy variables 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssp1 13548 . . . 4 (0...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0...((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
2 cvmliftlem.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
32nncnd 12232 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
43adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
6 npcan 11473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
87oveq2d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (0...𝑁))
91, 8sseqtrid 4033 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑁))
10 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
11 elfzelz 13505 . . . . 5 (𝑀 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
122nnzd 12589 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
13 elfzm1b 13583 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))))
1411, 12, 13syl2anr 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))))
1510, 14mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
169, 15sseldd 3982 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁))
17 elfznn0 13598 . . . 4 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1817adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
19 eleq1 2819 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ∈ (0...𝑁)))
20 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘¦) = (π‘„β€˜0))
21 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 / 𝑁) = (0 / 𝑁))
2220, 21fveq12d 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)))
23 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 β†’ (πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁)) = (πΊβ€˜(0 / 𝑁)))
2423sneqd 4639 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))} = {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))})
2524imaeq2d 6058 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}))
2622, 25eleq12d 2825 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 β†’ (((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) ↔ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))})))
2719, 26imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑦 = 0 β†’ ((𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))})) ↔ (0 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}))))
2827imbi2d 339 . . . . 5 (𝑦 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}))) ↔ (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))})))))
29 eleq1 2819 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (0...𝑁)))
30 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ (π‘„β€˜π‘¦) = (π‘„β€˜π‘›))
31 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝑦 / 𝑁) = (𝑛 / 𝑁))
3230, 31fveq12d 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)))
33 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛 β†’ (πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁)) = (πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁)))
3433sneqd 4639 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))} = {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})
3534imaeq2d 6058 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))
3632, 35eleq12d 2825 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑛 β†’ (((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) ↔ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})))
3729, 36imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))})) ↔ (𝑛 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))))
3837imbi2d 339 . . . . 5 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})))))
39 eleq1 2819 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)))
40 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘¦) = (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))
41 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 / 𝑁) = ((𝑛 + 1) / 𝑁))
4240, 41fveq12d 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
43 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁)) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
4443sneqd 4639 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))} = {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})
4544imaeq2d 6058 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}))
4642, 45eleq12d 2825 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ (((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) ↔ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})))
4739, 46imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))})) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}))))
4847imbi2d 339 . . . . 5 (𝑦 = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})))))
49 eleq1 2819 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁)))
50 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (π‘„β€˜π‘¦) = (π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
51 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑦 / 𝑁) = ((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))
5250, 51fveq12d 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)))
53 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁)) = (πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)))
5453sneqd 4639 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))} = {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))})
5554imaeq2d 6058 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
5652, 55eleq12d 2825 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}) ↔ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))})))
5749, 56imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))})) ↔ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))))
5857imbi2d 339 . . . . 5 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘¦)β€˜(𝑦 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑦 / 𝑁))}))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))})))))
59 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
60 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = βˆͺ 𝐢
61 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = βˆͺ 𝐽
62 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
63 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
64 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
65 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜0))
66 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)⟢βˆͺ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} Γ— (π‘†β€˜π‘—)))
67 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑁)(𝐺 β€œ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘˜ / 𝑁))) βŠ† (1st β€˜(π‘‡β€˜π‘˜)))
68 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (topGenβ€˜ran (,))
69 cvmliftlem.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = seq0((π‘₯ ∈ V, π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ (((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)[,](π‘š / 𝑁)) ↦ (β—‘(𝐹 β†Ύ (℩𝑏 ∈ (2nd β€˜(π‘‡β€˜π‘š))(π‘₯β€˜((π‘š βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))β€˜(πΊβ€˜π‘§)))), (( I β†Ύ β„•) βˆͺ {⟨0, {⟨0, π‘ƒβŸ©}⟩}))
7059, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69cvmliftlem4 34577 . . . . . . . . . 10 (π‘„β€˜0) = {⟨0, π‘ƒβŸ©}
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = {⟨0, π‘ƒβŸ©})
722nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
733, 72div0d 11993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
7471, 73fveq12d 6897 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) = ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0))
75 0nn0 12491 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
76 fvsng 7179 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0) = 𝑃)
7775, 64, 76sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({⟨0, π‘ƒβŸ©}β€˜0) = 𝑃)
7874, 77eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) = 𝑃)
7973fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(0 / 𝑁)) = (πΊβ€˜0))
8065, 79eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜(0 / 𝑁)))
81 cvmcn 34551 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽))
8262, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽))
8360, 61cnf 22970 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽) β†’ 𝐹:π΅βŸΆπ‘‹)
84 ffn 6716 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π΅βŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
86 fniniseg 7060 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐡 β†’ (𝑃 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}) ↔ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜(0 / 𝑁)))))
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}) ↔ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜(0 / 𝑁)))))
8864, 80, 87mpbir2and 709 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}))
8978, 88eqeltrd 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))}))
9089a1d 25 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜0)β€˜(0 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(0 / 𝑁))})))
91 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
92 nn0uz 12868 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
9391, 92eleqtrdi 2841 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
9493adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
95 peano2fzr 13518 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
9695ex 411 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (0...𝑁)))
9794, 96syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (0...𝑁)))
9897imim1d 82 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))))
99 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))
100 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁))
101 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑛 + 1) ≀ 𝑁)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ≀ 𝑁)
103 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
104 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
106 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
107105, 106eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
10812adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
109 elfz5 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ≀ 𝑁))
110107, 108, 109syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ≀ 𝑁))
111102, 110mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑁))
112 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))
113103nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
114 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 1) = 𝑛)
115113, 5, 114sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 1) = 𝑛)
116115fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1)) = (π‘„β€˜π‘›))
117115oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁) = (𝑛 / 𝑁))
118116, 117fveq12d 6897 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)))
119117fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) = (πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁)))
120119sneqd 4639 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ {(πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁))} = {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))})
121120imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))
122112, 118, 1213eltr4d 2846 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜((𝑛 + 1) βˆ’ 1))β€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁))}))
12359, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 2, 66, 67, 68, 69, 99, 111, 122cvmliftlem6 34579 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
124123simpld 493 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡)
125103nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1262adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
127125, 126nndivred 12270 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ)
128127rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ*)
129 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℝ β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
131130, 126nndivred 12270 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
132131rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
133125ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑛 < (𝑛 + 1))
134126nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
135126nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 0 < 𝑁)
136 ltdiv1 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁)))
137125, 130, 134, 135, 136syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁)))
138133, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 / 𝑁) < ((𝑛 + 1) / 𝑁))
139127, 131, 138ltled 11366 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁))
140 ubicc2 13446 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑛 / 𝑁) ≀ ((𝑛 + 1) / 𝑁)) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
141128, 132, 139, 140syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
142117oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
143141, 142eleqtrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))
144124, 143ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ 𝐡)
145123simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
146142reseq2d 5980 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝐺 β†Ύ ((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
147145, 146eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) = (𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))))
148147fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = ((𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
149142feq2d 6702 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((((𝑛 + 1) βˆ’ 1) / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ↔ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡))
150124, 149mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡)
151 fvco3 6989 . . . . . . . . . 10 (((π‘„β€˜(𝑛 + 1)):((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))⟢𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁))) β†’ ((𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))))
152150, 141, 151syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝐹 ∘ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))))
153 fvres 6909 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 + 1) / 𝑁) ∈ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
154141, 153syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑛 / 𝑁)[,]((𝑛 + 1) / 𝑁)))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
155148, 152, 1543eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))
15685adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ 𝐹 Fn 𝐡)
157 fniniseg 7060 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐡 β†’ (((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}) ↔ (((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
158156, 157syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}) ↔ (((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))) = (πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)))))
159144, 155, 158mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁)) ∧ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))}))
160159expr 455 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁))) β†’ (((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})))
16198, 160animpimp2impd 842 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜(𝑛 / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜(𝑛 / 𝑁))}))) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑛 + 1))β€˜((𝑛 + 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑁))})))))
16228, 38, 48, 58, 90, 161nn0ind 12661 . . . 4 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))))
163162impd 409 . . 3 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))})))
16418, 163mpcom 38 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
16516, 164syldan 589 1 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁)) ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΊβ€˜((𝑀 βˆ’ 1) / 𝑁))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  seqcseq 13970   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387   Cn ccn 22948  Homeochmeo 23477  IIcii 24615   CovMap ccvm 34544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-hmeo 23479  df-ii 24617  df-cvm 34545
This theorem is referenced by:  cvmliftlem8  34581  cvmliftlem9  34582  cvmliftlem10  34583  cvmliftlem13  34585
  Copyright terms: Public domain W3C validator