Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftmolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftmolem2 32537
Description: Lemma for cvmliftmo 32539. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftmo.y 𝑌 = 𝐾
cvmliftmo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftmo.k (𝜑𝐾 ∈ Conn)
cvmliftmo.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
cvmliftmo.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmliftmoi.m (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.n (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.g (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
cvmliftmoi.p (𝜑 → (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂))
cvmliftmolem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem2 (𝜑𝑀 = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐶   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣   𝑣,𝐵   𝐾,𝑠   𝑘,𝑀,𝑠,𝑢,𝑣   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣   𝑆,𝑠   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝐵(𝑢,𝑘,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑁(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑂(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑌(𝑣,𝑢,𝑘)

Proof of Theorem cvmliftmolem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑡 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
2 cvmliftmo.y . . . 4 𝑌 = 𝐾
3 cvmliftmo.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
42, 3cnf 21830 . . 3 (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑀:𝑌𝐵)
5 ffn 6490 . . 3 (𝑀:𝑌𝐵𝑀 Fn 𝑌)
61, 4, 53syl 18 . 2 (𝜑𝑀 Fn 𝑌)
7 cvmliftmoi.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
82, 3cnf 21830 . . 3 (𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑁:𝑌𝐵)
9 ffn 6490 . . 3 (𝑁:𝑌𝐵𝑁 Fn 𝑌)
107, 8, 93syl 18 . 2 (𝜑𝑁 Fn 𝑌)
11 cvmliftmo.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Conn)
12 inss1 4183 . . . . . . 7 (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ 𝐾
13 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
1413adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
151, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀:𝑌𝐵)
1615ffvelrnda 6827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑀𝑥) ∈ 𝐵)
17 cvmcn 32517 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
18 eqid 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = 𝐽
193, 18cnf 21830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
2013, 17, 193syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝐵 𝐽)
2120ffvelrnda 6827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑥) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝐽)
2216, 21syldan 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝐽)
23 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2423, 18cvmcov 32518 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝐽) → ∃𝑎𝐽 ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅))
2514, 22, 24syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑎𝐽 ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅))
26 n0 4286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
27 cvmliftmo.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
2827adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
291adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → 𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
30 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
3123cvmsss 32522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝑡𝐶)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → 𝑡𝐶)
3313adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3415adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → 𝑀:𝑌𝐵)
35 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → 𝑥𝑌)
3634, 35ffvelrnd 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → (𝑀𝑥) ∈ 𝐵)
37 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎)
38 eqid 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏) = (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)
3923, 3, 38cvmsiota 32532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) ∧ (𝑀𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎)) → ((𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏) ∈ 𝑡 ∧ (𝑀𝑥) ∈ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)))
4033, 30, 36, 37, 39syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → ((𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏) ∈ 𝑡 ∧ (𝑀𝑥) ∈ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)))
4140simpld 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏) ∈ 𝑡)
4232, 41sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶)
43 cnima 21849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶) → (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∈ 𝐾)
4429, 42, 43syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∈ 𝐾)
4540simprd 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → (𝑀𝑥) ∈ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))
46 elpreima 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑥 ∈ (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑀𝑥) ∈ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))))
4734, 5, 463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → (𝑥 ∈ (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑀𝑥) ∈ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))))
4835, 45, 47mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → 𝑥 ∈ (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)))
49 nlly2i 22060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∈ 𝐾𝑥 ∈ (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn))
5028, 44, 48, 49syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn))
51 simprr1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn))) → 𝑥𝑦)
52 cvmliftmo.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑂𝑌)
53 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
54 cvmliftmoi.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂))
55 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
5655adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
5741adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏) ∈ 𝑡)
58 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)))
5958ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)))
6059elpwid 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑠 ⊆ (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)))
61 simplr3 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦) → (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)
6261ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)
63 simplr2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑦𝑠)
6463ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦𝑠)
65 simprr1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn))) → 𝑥𝑦)
6665adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)))) → 𝑥𝑦)
6766adantrrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑥𝑦)
6864, 67sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑥𝑠)
69 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
7064, 69sseldd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝑠)
7137adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎)
723, 2, 13, 11, 27, 52, 1, 7, 53, 54, 23, 56, 57, 60, 62, 68, 68, 70, 71cvmliftmolem1 32536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))
733, 2, 13, 11, 27, 52, 1, 7, 53, 54, 23, 56, 57, 60, 62, 68, 70, 68, 71cvmliftmolem1 32536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁)))
7472, 73impbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))
7574anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) ∧ (((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn)) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))
7675anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn))) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))
7776ralrimiva 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn))) → ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))
7851, 77jca 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) ∧ ((𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn))) → (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁))))
7978expr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏)) ∧ 𝑦𝐾)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn) → (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
8079anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))) ∧ 𝑦𝐾) → ((𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn) → (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
8180reximdva 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))) → (∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
8281rexlimdva 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (𝑀 “ (𝑏𝑡 (𝑀𝑥) ∈ 𝑏))∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ (𝐾t 𝑠) ∈ Conn) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
8350, 82mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑌𝑎𝐽) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎)))) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁))))
8483anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑎𝐽)) ∧ ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁))))
8584expr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑎𝐽)) ∧ (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎) → (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
8685exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑎𝐽)) ∧ (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
8726, 86syl5bi 244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑎𝐽)) ∧ (𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎) → ((𝑆𝑎) ≠ ∅ → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
8887expimpd 456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑎𝐽)) → (((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
8988anassrs 470 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑌) ∧ 𝑎𝐽) → (((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
9089rexlimdva 3271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (∃𝑎𝐽 ((𝐹‘(𝑀𝑥)) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
9125, 90mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁))))
9291ralrimiva 3169 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑌𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁))))
93 conntop 22001 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Top)
9411, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
95 fndmin 6791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 Fn 𝑌𝑁 Fn 𝑌) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
966, 10, 95syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
97 ssrab2 4035 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ⊆ 𝑌
9896, 97eqsstrdi 4000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) ⊆ 𝑌)
992isclo 21671 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Top ∧ dom (𝑀𝑁) ⊆ 𝑌) → (dom (𝑀𝑁) ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ↔ ∀𝑥𝑌𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
10094, 98, 99syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (dom (𝑀𝑁) ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ↔ ∀𝑥𝑌𝑦𝐾 (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑥 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑧 ∈ dom (𝑀𝑁)))))
10192, 100mpbird 259 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)))
10212, 101sseldi 3944 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) ∈ 𝐾)
103 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑂 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑂))
104 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑂 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑂))
105103, 104eqeq12d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑂 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂)))
106105elrab 3660 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑂𝑌 ∧ (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂)))
10752, 54, 106sylanbrc 585 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
108107, 96eleqtrrd 2914 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ dom (𝑀𝑁))
109108ne0d 4277 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) ≠ ∅)
110 inss2 4184 . . . . . . 7 (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ (Clsd‘𝐾)
111110, 101sseldi 3944 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) ∈ (Clsd‘𝐾))
1122, 11, 102, 109, 111connclo 21999 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) = 𝑌)
113112, 96eqtr3d 2857 . . . 4 (𝜑𝑌 = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
114 rabid2 3368 . . . 4 (𝑌 = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ ∀𝑥𝑌 (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥))
115113, 114sylib 220 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑌 (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥))
116115r19.21bi 3195 . 2 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥))
1176, 10, 116eqfnfvd 6781 1 (𝜑𝑀 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wex 1780  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  {crab 3129  cdif 3910  cin 3912  wss 3913  c0 4269  𝒫 cpw 4515  {csn 4543   cuni 4814  cmpt 5122  ccnv 5530  dom cdm 5531  cres 5533  cima 5534  ccom 5535   Fn wfn 6326  wf 6327  cfv 6331  crio 7090  (class class class)co 7133  t crest 16673  Topctop 21477  Clsdccld 21600   Cn ccn 21808  Conncconn 21995  𝑛-Locally cnlly 22049  Homeochmeo 22337   CovMap ccvm 32510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-fin 8491  df-fi 8853  df-rest 16675  df-topgen 16696  df-top 21478  df-topon 21495  df-bases 21530  df-cld 21603  df-nei 21682  df-cn 21811  df-conn 21996  df-nlly 22051  df-hmeo 22339  df-cvm 32511
This theorem is referenced by:  cvmliftmoi  32538
  Copyright terms: Public domain W3C validator