Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem5 33525
Description: Lemma for cvmlift2 33518. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3.h 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem5 (𝜑 → (𝐹𝐻) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝑔,𝑥   𝑓,𝐽   𝑥,𝑔,𝐽   𝑓,𝐹,𝑔   𝑥,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑧   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑂,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem cvmlift3lem5
Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (𝐻𝑦) = (𝐻𝑦)
2 cvmlift3.b . . . . . 6 𝐵 = 𝐶
3 cvmlift3.y . . . . . 6 𝑌 = 𝐾
4 cvmlift3.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmlift3.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
6 cvmlift3.l . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
7 cvmlift3.o . . . . . 6 (𝜑𝑂𝑌)
8 cvmlift3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
9 cvmlift3.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
10 cvmlift3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
11 cvmlift3.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem4 33524 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝐻𝑦) = (𝐻𝑦) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦))))
131, 12mpbii 232 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)))
14 df-3an 1088 . . . . . 6 (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)) ↔ (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)))
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
164ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
17 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾))
188ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
19 cnco 22515 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝐺𝑓) ∈ (II Cn 𝐽))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐺𝑓) ∈ (II Cn 𝐽))
219ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝑃𝐵)
22 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝑓‘0) = 𝑂)
2322fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝑓‘0)) = (𝐺𝑂))
24 iiuni 24142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) = II
2524, 3cnf 22495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑌)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑌)
27 0elunit 13294 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ (0[,]1)
28 fvco3 6917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑓)‘0) = (𝐺‘(𝑓‘0)))
2926, 27, 28sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐺𝑓)‘0) = (𝐺‘(𝑓‘0)))
3010ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
3123, 29, 303eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐹𝑃) = ((𝐺𝑓)‘0))
322, 15, 16, 20, 21, 31cvmliftiota 33503 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))) = (𝐺𝑓) ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) = 𝑃))
3332simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))) = (𝐺𝑓))
3433fveq1d 6821 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))‘1) = ((𝐺𝑓)‘1))
3532simp1d 1141 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) ∈ (II Cn 𝐶))
3624, 2cnf 22495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) ∈ (II Cn 𝐶) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)):(0[,]1)⟶𝐵)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)):(0[,]1)⟶𝐵)
38 1elunit 13295 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
39 fvco3 6917 . . . . . . . . . 10 (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)):(0[,]1)⟶𝐵 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))‘1) = (𝐹‘((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)))
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐹 ∘ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))‘1) = (𝐹‘((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)))
41 fvco3 6917 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑌 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑓)‘1) = (𝐺‘(𝑓‘1)))
4226, 38, 41sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐺𝑓)‘1) = (𝐺‘(𝑓‘1)))
43 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝑓‘1) = 𝑦)
4443fveq2d 6823 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝑓‘1)) = (𝐺𝑦))
4542, 44eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → ((𝐺𝑓)‘1) = (𝐺𝑦))
4634, 40, 453eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (𝐹‘((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)) = (𝐺𝑦))
47 fveqeq2 6828 . . . . . . . 8 (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦) → ((𝐹‘((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)) = (𝐺𝑦) ↔ (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
4846, 47syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)) → (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
4948expimpd 454 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) → ((((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
5014, 49biimtrid 241 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) → (((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
5150rexlimdva 3148 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = (𝐻𝑦)) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦)))
5213, 51mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹‘(𝐻𝑦)) = (𝐺𝑦))
5352mpteq2dva 5189 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝐹‘(𝐻𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝐺𝑦)))
542, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift3lem3 33523 . . . 4 (𝜑𝐻:𝑌𝐵)
5554ffvelcdmda 7011 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐻𝑦) ∈ 𝐵)
5654feqmptd 6887 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑦𝑌 ↦ (𝐻𝑦)))
57 cvmcn 33464 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
58 eqid 2736 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
592, 58cnf 22495 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
604, 57, 593syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵 𝐽)
6160feqmptd 6887 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑤𝐵 ↦ (𝐹𝑤)))
62 fveq2 6819 . . 3 (𝑤 = (𝐻𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐻𝑦)))
6355, 56, 61, 62fmptco 7051 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) = (𝑦𝑌 ↦ (𝐹‘(𝐻𝑦))))
643, 58cnf 22495 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌 𝐽)
658, 64syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝑌 𝐽)
6665feqmptd 6887 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑦𝑌 ↦ (𝐺𝑦)))
6753, 63, 663eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (𝐹𝐻) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070   cuni 4851  cmpt 5172  ccom 5618  wf 6469  cfv 6473  crio 7285  (class class class)co 7329  0cc0 10964  1c1 10965  [,]cicc 13175   Cn ccn 22473  𝑛-Locally cnlly 22714  IIcii 24136  PConncpconn 33421  SConncsconn 33422   CovMap ccvm 33457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-ec 8563  df-map 8680  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-sum 15489  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-cmp 22636  df-conn 22661  df-lly 22715  df-nlly 22716  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-ii 24138  df-htpy 24231  df-phtpy 24232  df-phtpc 24253  df-pco 24266  df-pconn 33423  df-sconn 33424  df-cvm 33458
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem6  33526  cvmlift3lem7  33527  cvmlift3lem9  33529
  Copyright terms: Public domain W3C validator