Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem6 34384
Description: Lemma for cvmlift3 34388. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift3.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
cvmlift3.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
cvmlift3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
cvmlift3.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmlift3lem7.1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
cvmlift3lem7.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄))
cvmlift3lem7.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† (◑𝐺 β€œ 𝐴))
cvmlift3lem7.w π‘Š = (℩𝑏 ∈ 𝑇 (π»β€˜π‘‹) ∈ 𝑏)
cvmlift3lem6.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
cvmlift3lem6.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑀)
cvmlift3lem6.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (II Cn 𝐾))
cvmlift3lem6.r 𝑅 = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑄) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))
cvmlift3lem6.1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘„β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘…β€˜1) = (π»β€˜π‘‹)))
cvmlift3lem6.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (II Cn (𝐾 β†Ύt 𝑀)))
cvmlift3lem6.2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜1) = 𝑍))
cvmlift3lem6.i 𝐼 = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (π‘”β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem6 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) ∈ π‘Š)
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,π‘˜,𝑠,𝑧,𝐴   𝑓,𝑔,𝐼,𝑧   𝑔,𝑏,π‘₯,𝐽,𝑐,𝑑,𝑓,π‘˜,𝑠   𝐹,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠   π‘₯,𝑧,𝐹   𝑓,𝑀,𝑔,π‘₯   𝑓,𝑁,𝑔   𝐻,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑄,𝑓,𝑔   𝑆,𝑏,𝑓,π‘₯   𝐡,𝑏,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑅,𝑔   𝑋,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝐺,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝑇,𝑏,𝑐,𝑑,𝑠   𝑓,𝑍,𝑔,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑓,π‘₯   𝐾,𝑏,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑃,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑂,𝑏,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑓,π‘Œ,𝑔,π‘₯,𝑧   π‘Š,𝑐,𝑑,𝑓,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(π‘₯,𝑔)   𝐡(π‘˜,𝑠,𝑐)   𝑃(π‘˜,𝑠)   𝑄(π‘₯,𝑧,π‘˜,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑅(π‘₯,𝑧,𝑓,π‘˜,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑇(π‘₯,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐺(𝑠)   𝐻(π‘˜,𝑠)   𝐼(π‘₯,π‘˜,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐽(𝑧)   𝐾(π‘˜,𝑠,𝑑)   𝑀(𝑧,π‘˜,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑁(π‘₯,𝑧,π‘˜,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑂(π‘˜,𝑠,𝑑)   π‘Š(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑏)   𝑋(π‘˜,𝑠)   π‘Œ(π‘˜,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑍(π‘˜,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem6
StepHypRef Expression
1 cvmlift3lem6.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (II Cn 𝐾))
2 cvmlift3.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
3 sconntop 34288 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ SConn β†’ 𝐾 ∈ Top)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
5 cnrest2r 22798 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top β†’ (II Cn (𝐾 β†Ύt 𝑀)) βŠ† (II Cn 𝐾))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (II Cn (𝐾 β†Ύt 𝑀)) βŠ† (II Cn 𝐾))
7 cvmlift3lem6.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (II Cn (𝐾 β†Ύt 𝑀)))
86, 7sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (II Cn 𝐾))
9 cvmlift3lem6.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘„β€˜1) = 𝑋 ∧ (π‘…β€˜1) = (π»β€˜π‘‹)))
109simp2d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) = 𝑋)
11 cvmlift3lem6.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜1) = 𝑍))
1211simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜0) = 𝑋)
1310, 12eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) = (π‘β€˜0))
141, 8, 13pcocn 24540 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) ∈ (II Cn 𝐾))
151, 8pco0 24537 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0) = (π‘„β€˜0))
169simp1d 1142 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝑂)
1715, 16eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0) = 𝑂)
181, 8pco1 24538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜1) = (π‘β€˜1))
1911simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜1) = 𝑍)
2018, 19eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜1) = 𝑍)
21 cvmlift3.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = βˆͺ 𝐢
22 cvmlift3lem6.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑄) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))
23 cvmlift3.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
24 cvmlift3.g . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
25 cnco 22777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) β†’ (𝐺 ∘ 𝑄) ∈ (II Cn 𝐽))
261, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝑄) ∈ (II Cn 𝐽))
27 cvmlift3.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2816fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(π‘„β€˜0)) = (πΊβ€˜π‘‚))
29 iiuni 24404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = βˆͺ II
30 cvmlift3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
3129, 30cnf 22757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (II Cn 𝐾) β†’ 𝑄:(0[,]1)βŸΆπ‘Œ)
321, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0[,]1)βŸΆπ‘Œ)
33 0elunit 13448 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (0[,]1)
34 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄:(0[,]1)βŸΆπ‘Œ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑄)β€˜0) = (πΊβ€˜(π‘„β€˜0)))
3532, 33, 34sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝑄)β€˜0) = (πΊβ€˜(π‘„β€˜0)))
36 cvmlift3.e . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
3728, 35, 363eqtr4rd 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ 𝑄)β€˜0))
3821, 22, 23, 26, 27, 37cvmliftiota 34361 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝑅) = (𝐺 ∘ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜0) = 𝑃))
3938simp2d 1143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑅) = (𝐺 ∘ 𝑄))
40 cvmlift3lem6.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (π‘”β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
41 cnco 22777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) β†’ (𝐺 ∘ 𝑁) ∈ (II Cn 𝐽))
428, 24, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝑁) ∈ (II Cn 𝐽))
43 cvmlift3.l . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
44 cvmlift3.o . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
45 cvmlift3.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
4621, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem3 34381 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅)
47 cvmlift3lem7.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† (◑𝐺 β€œ 𝐴))
48 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† dom 𝐺
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5030, 49cnf 22757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
5124, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
5248, 51fssdm 6737 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† π‘Œ)
5347, 52sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† π‘Œ)
54 cvmlift3lem6.x . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
5553, 54sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Œ)
5646, 55ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
5712fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(π‘β€˜0)) = (πΊβ€˜π‘‹))
5829, 30cnf 22757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (II Cn 𝐾) β†’ 𝑁:(0[,]1)βŸΆπ‘Œ)
598, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁:(0[,]1)βŸΆπ‘Œ)
60 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁:(0[,]1)βŸΆπ‘Œ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐺 ∘ 𝑁)β€˜0) = (πΊβ€˜(π‘β€˜0)))
6159, 33, 60sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝑁)β€˜0) = (πΊβ€˜(π‘β€˜0)))
62 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅ ∧ 𝑋 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜(π»β€˜π‘‹)))
6346, 55, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜(π»β€˜π‘‹)))
6421, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem5 34383 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻) = 𝐺)
6564fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻)β€˜π‘‹) = (πΊβ€˜π‘‹))
6663, 65eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π»β€˜π‘‹)) = (πΊβ€˜π‘‹))
6757, 61, 663eqtr4rd 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π»β€˜π‘‹)) = ((𝐺 ∘ 𝑁)β€˜0))
6821, 40, 23, 42, 56, 67cvmliftiota 34361 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐼) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (πΌβ€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
6968simp2d 1143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐼) = (𝐺 ∘ 𝑁))
7039, 69oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝑅)(*π‘β€˜π½)(𝐹 ∘ 𝐼)) = ((𝐺 ∘ 𝑄)(*π‘β€˜π½)(𝐺 ∘ 𝑁)))
7138simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (II Cn 𝐢))
7268simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn 𝐢))
739simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜1) = (π»β€˜π‘‹))
7468simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜0) = (π»β€˜π‘‹))
7573, 74eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜1) = (πΌβ€˜0))
76 cvmcn 34322 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽))
7723, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽))
7871, 72, 75, 77copco 24541 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)) = ((𝐹 ∘ 𝑅)(*π‘β€˜π½)(𝐹 ∘ 𝐼)))
791, 8, 13, 24copco 24541 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) = ((𝐺 ∘ 𝑄)(*π‘β€˜π½)(𝐺 ∘ 𝑁)))
8070, 78, 793eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)))
8171, 72pco0 24537 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜0) = (π‘…β€˜0))
8238simp3d 1144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜0) = 𝑃)
8381, 82eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜0) = 𝑃)
8471, 72, 75pcocn 24540 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼) ∈ (II Cn 𝐢))
85 cnco 22777 . . . . . . . . . 10 (((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) β†’ (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∈ (II Cn 𝐽))
8614, 24, 85syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∈ (II Cn 𝐽))
8717fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0)) = (πΊβ€˜π‘‚))
8829, 30cnf 22757 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) ∈ (II Cn 𝐾) β†’ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁):(0[,]1)βŸΆπ‘Œ)
8914, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁):(0[,]1)βŸΆπ‘Œ)
90 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁):(0[,]1)βŸΆπ‘Œ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁))β€˜0) = (πΊβ€˜((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0)))
9189, 33, 90sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁))β€˜0) = (πΊβ€˜((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0)))
9287, 91, 363eqtr4rd 2783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁))β€˜0))
9321cvmlift 34359 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁))β€˜0))) β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))
9423, 86, 27, 92, 93syl22anc 837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))
95 coeq2 5858 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼) β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)))
9695eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ↔ (𝐹 ∘ (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁))))
97 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼) β†’ (π‘”β€˜0) = ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜0))
9897eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼) β†’ ((π‘”β€˜0) = 𝑃 ↔ ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜0) = 𝑃))
9996, 98anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜0) = 𝑃)))
10099riota2 7393 . . . . . . . 8 (((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼) ∈ (II Cn 𝐢) ∧ βˆƒ!𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) β†’ (((𝐹 ∘ (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)))
10184, 94, 100syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∘ (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜0) = 𝑃) ↔ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)))
10280, 83, 101mpbi2and 710 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = (𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼))
103102fveq1d 6893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜1))
10471, 72pco1 24538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑅(*π‘β€˜πΆ)𝐼)β€˜1) = (πΌβ€˜1))
105103, 104eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1))
106 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ (π‘“β€˜0) = ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0))
107106eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ ((π‘“β€˜0) = 𝑂 ↔ ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0) = 𝑂))
108 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ (π‘“β€˜1) = ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜1))
109108eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ ((π‘“β€˜1) = 𝑍 ↔ ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜1) = 𝑍))
110 coeq2 5858 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ (𝐺 ∘ 𝑓) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)))
111110eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁))))
112111anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)))
113112riotabidv 7369 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃)))
114113fveq1d 6893 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1))
115114eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1) ↔ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1)))
116107, 109, 1153anbi123d 1436 . . . . 5 (𝑓 = (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) β†’ (((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑍 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1)) ↔ (((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0) = 𝑂 ∧ ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜1) = 𝑍 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1))))
117116rspcev 3612 . . . 4 (((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜0) = 𝑂 ∧ ((𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)β€˜1) = 𝑍 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ (𝑄(*π‘β€˜πΎ)𝑁)) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑍 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1)))
11814, 17, 20, 105, 117syl13anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑍 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1)))
119 cvmlift3lem6.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑀)
12053, 119sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘Œ)
12121, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45cvmlift3lem4 34382 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ π‘Œ) β†’ ((π»β€˜π‘) = (πΌβ€˜1) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑍 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1))))
122120, 121mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘) = (πΌβ€˜1) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = 𝑍 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = (πΌβ€˜1))))
123118, 122mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) = (πΌβ€˜1))
124 iiconn 24410 . . . . 5 II ∈ Conn
125124a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ II ∈ Conn)
126 cvmtop1 34320 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
12723, 126syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
12821toptopon 22426 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
129127, 128sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
13069rneqd 5937 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘ 𝐼) = ran (𝐺 ∘ 𝑁))
131 rnco2 6252 . . . . . . . . 9 ran (𝐹 ∘ 𝐼) = (𝐹 β€œ ran 𝐼)
132 rnco2 6252 . . . . . . . . 9 ran (𝐺 ∘ 𝑁) = (𝐺 β€œ ran 𝑁)
133130, 131, 1323eqtr3g 2795 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ran 𝐼) = (𝐺 β€œ ran 𝑁))
134 iitopon 24402 . . . . . . . . . . . . 13 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
13630toptopon 22426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
1374, 136sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
138 resttopon 22672 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑀 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜π‘€))
139137, 53, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜π‘€))
140 cnf2 22760 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ (𝐾 β†Ύt 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ (II Cn (𝐾 β†Ύt 𝑀))) β†’ 𝑁:(0[,]1)βŸΆπ‘€)
141135, 139, 7, 140syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁:(0[,]1)βŸΆπ‘€)
142141frnd 6725 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝑁 βŠ† 𝑀)
143142, 47sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝑁 βŠ† (◑𝐺 β€œ 𝐴))
14451ffund 6721 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
145143, 48sstrdi 3994 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝑁 βŠ† dom 𝐺)
146 funimass3 7055 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺 ∧ ran 𝑁 βŠ† dom 𝐺) β†’ ((𝐺 β€œ ran 𝑁) βŠ† 𝐴 ↔ ran 𝑁 βŠ† (◑𝐺 β€œ 𝐴)))
147144, 145, 146syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β€œ ran 𝑁) βŠ† 𝐴 ↔ ran 𝑁 βŠ† (◑𝐺 β€œ 𝐴)))
148143, 147mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 β€œ ran 𝑁) βŠ† 𝐴)
149133, 148eqsstrd 4020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ran 𝐼) βŠ† 𝐴)
15021, 49cnf 22757 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽) β†’ 𝐹:𝐡⟢βˆͺ 𝐽)
15177, 150syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢βˆͺ 𝐽)
152151ffund 6721 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
15329, 21cnf 22757 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (II Cn 𝐢) β†’ 𝐼:(0[,]1)⟢𝐡)
15472, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼:(0[,]1)⟢𝐡)
155154frnd 6725 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐼 βŠ† 𝐡)
156151fdmd 6728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐡)
157155, 156sseqtrrd 4023 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐼 βŠ† dom 𝐹)
158 funimass3 7055 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐼 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ ran 𝐼) βŠ† 𝐴 ↔ ran 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝐴)))
159152, 157, 158syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ ran 𝐼) βŠ† 𝐴 ↔ ran 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝐴)))
160149, 159mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝐴))
161 cnvimass 6080 . . . . . . 7 (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
162161, 151fssdm 6737 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† 𝐡)
163 cnrest2 22797 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ ran 𝐼 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐢) ↔ 𝐼 ∈ (II Cn (𝐢 β†Ύt (◑𝐹 β€œ 𝐴)))))
164129, 160, 162, 163syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐢) ↔ 𝐼 ∈ (II Cn (𝐢 β†Ύt (◑𝐹 β€œ 𝐴)))))
16572, 164mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (II Cn (𝐢 β†Ύt (◑𝐹 β€œ 𝐴))))
166 cvmlift3lem7.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄))
167 cvmlift3lem7.s . . . . . . . 8 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
168167cvmsss 34327 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐢)
169166, 168syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝐢)
170 cvmlift3lem7.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
17166, 170eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π»β€˜π‘‹)) ∈ 𝐴)
172 cvmlift3lem7.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (℩𝑏 ∈ 𝑇 (π»β€˜π‘‹) ∈ 𝑏)
173167, 21, 172cvmsiota 34337 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ (𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄) ∧ (π»β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜(π»β€˜π‘‹)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Š ∈ 𝑇 ∧ (π»β€˜π‘‹) ∈ π‘Š))
17423, 166, 56, 171, 173syl13anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ 𝑇 ∧ (π»β€˜π‘‹) ∈ π‘Š))
175174simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑇)
176169, 175sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐢)
177 elssuni 4941 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝑇 β†’ π‘Š βŠ† βˆͺ 𝑇)
178175, 177syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† βˆͺ 𝑇)
179167cvmsuni 34329 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄) β†’ βˆͺ 𝑇 = (◑𝐹 β€œ 𝐴))
180166, 179syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑇 = (◑𝐹 β€œ 𝐴))
181178, 180sseqtrd 4022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝐴))
182167cvmsrcl 34324 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
183166, 182syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
184 cnima 22776 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐢 Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐢)
18577, 183, 184syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐢)
186 restopn2 22688 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ 𝐢) β†’ (π‘Š ∈ (𝐢 β†Ύt (◑𝐹 β€œ 𝐴)) ↔ (π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘Š βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝐴))))
187127, 185, 186syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (𝐢 β†Ύt (◑𝐹 β€œ 𝐴)) ↔ (π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘Š βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝐴))))
188176, 181, 187mpbir2and 711 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (𝐢 β†Ύt (◑𝐹 β€œ 𝐴)))
189167cvmscld 34333 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄) ∧ π‘Š ∈ 𝑇) β†’ π‘Š ∈ (Clsdβ€˜(𝐢 β†Ύt (◑𝐹 β€œ 𝐴))))
19023, 166, 175, 189syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (Clsdβ€˜(𝐢 β†Ύt (◑𝐹 β€œ 𝐴))))
19133a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,]1))
192174simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ π‘Š)
19374, 192eqeltrd 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜0) ∈ π‘Š)
19429, 125, 165, 188, 190, 191, 193conncn 22937 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼:(0[,]1)βŸΆπ‘Š)
195 1elunit 13449 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
196 ffvelcdm 7083 . . 3 ((𝐼:(0[,]1)βŸΆπ‘Š ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΌβ€˜1) ∈ π‘Š)
197194, 195, 196sylancl 586 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜1) ∈ π‘Š)
198123, 197eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) ∈ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3374  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13329   β†Ύt crest 17368  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  Clsdccld 22527   Cn ccn 22735  Conncconn 22922  π‘›-Locally cnlly 22976  Homeochmeo 23264  IIcii 24398  *𝑝cpco 24523  PConncpconn 34279  SConncsconn 34280   CovMap ccvm 34315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-cmp 22898  df-conn 22923  df-lly 22977  df-nlly 22978  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-ii 24400  df-htpy 24493  df-phtpy 24494  df-phtpc 24515  df-pco 24528  df-pconn 34281  df-sconn 34282  df-cvm 34316
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem7  34385
  Copyright terms: Public domain W3C validator