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Theorem cvmliftmolem1 35287
Description: Lemma for cvmliftmo 35290. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftmo.y 𝑌 = 𝐾
cvmliftmo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftmo.k (𝜑𝐾 ∈ Conn)
cvmliftmo.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
cvmliftmo.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmliftmoi.m (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.n (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.g (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
cvmliftmoi.p (𝜑 → (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂))
cvmliftmolem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftmolem.2 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ (𝑆𝑈))
cvmliftmolem.3 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝑇)
cvmliftmolem.4 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀𝑊))
cvmliftmolem.5 ((𝜑𝜓) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
cvmliftmolem.6 ((𝜑𝜓) → 𝑋𝐼)
cvmliftmolem.7 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝐼)
cvmliftmolem.8 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝐼)
cvmliftmolem.9 ((𝜑𝜓) → (𝐹‘(𝑀𝑋)) ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
cvmliftmolem1 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝐶   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣   𝑣,𝐵   𝐾,𝑠   𝑘,𝑀,𝑠,𝑢,𝑣   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣   𝑆,𝑠   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣   𝑇,𝑠,𝑢,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘)   𝜓(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑘,𝑠)   𝑄(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑅(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐼(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑁(𝑣,𝑢,𝑘)   𝑂(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑊(𝑘,𝑠)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)   𝑌(𝑣,𝑢,𝑘)

Proof of Theorem cvmliftmolem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmoi.g . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
32fveq1d 6907 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = ((𝐹𝑁)‘𝑅))
4 cvmliftmolem.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀𝑊))
5 cvmliftmolem.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝐼)
64, 5sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝑅 ∈ (𝑀𝑊))
7 cvmliftmoi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
8 cvmliftmo.y . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑌 = 𝐾
9 cvmliftmo.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = 𝐶
108, 9cnf 23255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑀:𝑌𝐵)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀:𝑌𝐵)
1211ffnd 6736 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 Fn 𝑌)
13 elpreima 7077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑅 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑅𝑌 ∧ (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑅𝑌 ∧ (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)))
1514simprbda 498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑀𝑊)) → 𝑅𝑌)
166, 15syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑅𝑌)
17 fvco3 7007 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:𝑌𝐵𝑅𝑌) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
1811, 17sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅𝑌) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
1916, 18syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑀)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
20 cvmliftmoi.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
218, 9cnf 23255 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) → 𝑁:𝑌𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁:𝑌𝐵)
23 fvco3 7007 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:𝑌𝐵𝑅𝑌) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2422, 23sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅𝑌) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2516, 24syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → ((𝐹𝑁)‘𝑅) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
263, 19, 253eqtr3d 2784 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝐹‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2726adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐹‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
2814simplbda 499 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑀𝑊)) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
296, 28syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑅) ∈ 𝑊)
31 fvres 6924 . . . . . . 7 ((𝑀𝑅) ∈ 𝑊 → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = (𝐹‘(𝑀𝑅)))
335adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑅𝐼)
34 fvres 6924 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐼 → ((𝑁𝐼)‘𝑅) = (𝑁𝑅))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑅) = (𝑁𝑅))
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝐾t 𝐼) = (𝐾t 𝐼)
37 cvmliftmolem.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐾t 𝐼) ∈ Conn)
3920adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
40 cnvimass 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀𝑊) ⊆ dom 𝑀
4140, 11fssdm 6754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀𝑊) ⊆ 𝑌)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑊) ⊆ 𝑌)
434, 42sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐼𝑌)
448cnrest 23294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ∧ 𝐼𝑌) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶))
4539, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶))
46 cvmliftmo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
48 cvmtop1 35266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ Top)
509toptopon 22924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
5149, 50sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
52 df-ima 5697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐼) = ran (𝑁𝐼)
53 cvmliftmolem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝑇)
54 elssuni 4936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊𝑇𝑊 𝑇)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 𝑊 𝑇)
56 cvmliftmolem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝜓) → 𝑇 ∈ (𝑆𝑈))
57 cvmliftmolem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
5857cvmsuni 35275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ (𝑆𝑈) → 𝑇 = (𝐹𝑈))
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → 𝑇 = (𝐹𝑈))
6055, 59sseqtrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (𝐹𝑈))
61 imass2 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ⊆ (𝐹𝑈) → (𝑀𝑊) ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑊) ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
634, 62sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑀 “ (𝐹𝑈)))
642cnveqd 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
65 cnvco 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑀) = (𝑀𝐹)
66 cnvco 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑁) = (𝑁𝐹)
6764, 65, 663eqtr3g 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝐹) = (𝑁𝐹))
6867imaeq1d 6076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → ((𝑀𝐹) “ 𝑈) = ((𝑁𝐹) “ 𝑈))
69 imaco 6270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀𝐹) “ 𝑈) = (𝑀 “ (𝐹𝑈))
70 imaco 6270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝐹) “ 𝑈) = (𝑁 “ (𝐹𝑈))
7168, 69, 703eqtr3g 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → (𝑀 “ (𝐹𝑈)) = (𝑁 “ (𝐹𝑈)))
7263, 71sseqtrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈)))
7322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → 𝑁:𝑌𝐵)
7473ffund 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → Fun 𝑁)
7573fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝜓) → dom 𝑁 = 𝑌)
7643, 75sseqtrrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝜓) → 𝐼 ⊆ dom 𝑁)
77 funimass3 7073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝑁𝐼 ⊆ dom 𝑁) → ((𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ↔ 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈))))
7874, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝜓) → ((𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ↔ 𝐼 ⊆ (𝑁 “ (𝐹𝑈))))
7972, 78mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈))
8052, 79eqsstrrid 4022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ran (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈))
81 cnvimass 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑈) ⊆ dom 𝐹
82 cvmcn 35268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
8346, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
84 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = 𝐽
859, 84cnf 23255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
8683, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐵 𝐽)
8786fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → dom 𝐹 = 𝐵)
8981, 88sseqtrid 4025 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑈) ⊆ 𝐵)
90 cnrest2 23295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑁𝐼) ⊆ (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑈) ⊆ 𝐵) → ((𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶) ↔ (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈)))))
9151, 80, 89, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn 𝐶) ↔ (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈)))))
9245, 91mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈))))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼) ∈ ((𝐾t 𝐼) Cn (𝐶t (𝐹𝑈))))
94 dfss2 3968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ⊆ (𝐹𝑈) ↔ (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) = 𝑊)
9560, 94sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) = 𝑊)
969topopn 22913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ Top → 𝐵𝐶)
9749, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝐵𝐶)
9897, 89ssexd 5323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑈) ∈ V)
9957cvmsss 35273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (𝑆𝑈) → 𝑇𝐶)
10056, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑇𝐶)
101100, 53sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑊𝐶)
102 elrestr 17474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝐹𝑈) ∈ V ∧ 𝑊𝐶) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
10349, 98, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝑊 ∩ (𝐹𝑈)) ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
10495, 103eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑈)))
10657cvmscld 35279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑈) ∧ 𝑊𝑇) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
10747, 56, 53, 106syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑈))))
109 cvmliftmolem.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝐼)
110 cvmliftmo.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Conn)
111 conntop 23426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Top)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ Top)
113112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ Top)
1148restuni 23171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐼𝑌) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
115113, 43, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
116109, 115eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑄 (𝐾t 𝐼))
117116adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑄 (𝐾t 𝐼))
118109adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝑄𝐼)
119 fvres 6924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄𝐼 → ((𝑁𝐼)‘𝑄) = (𝑁𝑄))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑄) = (𝑁𝑄))
121 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄))
1224, 109sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 𝑄 ∈ (𝑀𝑊))
123 elpreima 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 Fn 𝑌 → (𝑄 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑄𝑌 ∧ (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)))
12412, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑀𝑊) ↔ (𝑄𝑌 ∧ (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)))
125124simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑄 ∈ (𝑀𝑊)) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
126122, 125syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
127126adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑄) ∈ 𝑊)
128121, 127eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝑄) ∈ 𝑊)
129120, 128eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑄) ∈ 𝑊)
13036, 38, 93, 105, 108, 117, 129conncn 23435 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼): (𝐾t 𝐼)⟶𝑊)
131115adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → 𝐼 = (𝐾t 𝐼))
132131feq2d 6721 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼):𝐼𝑊 ↔ (𝑁𝐼): (𝐾t 𝐼)⟶𝑊))
133130, 132mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝐼):𝐼𝑊)
134133, 33ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝑁𝐼)‘𝑅) ∈ 𝑊)
13535, 134eqeltrrd 2841 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑁𝑅) ∈ 𝑊)
136 fvres 6924 . . . . . . 7 ((𝑁𝑅) ∈ 𝑊 → ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
137135, 136syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) = (𝐹‘(𝑁𝑅)))
13827, 32, 1373eqtr4d 2786 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → ((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)))
13957cvmsf1o 35278 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑈) ∧ 𝑊𝑇) → (𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈)
14047, 56, 53, 139syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈)
141 f1of1 6846 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑊):𝑊1-1-onto𝑈 → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
142140, 141syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
143142adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈)
144 f1fveq 7283 . . . . . 6 (((𝐹𝑊):𝑊1-1𝑈 ∧ ((𝑀𝑅) ∈ 𝑊 ∧ (𝑁𝑅) ∈ 𝑊)) → (((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
145143, 30, 135, 144syl12anc 836 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (((𝐹𝑊)‘(𝑀𝑅)) = ((𝐹𝑊)‘(𝑁𝑅)) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
146138, 145mpbid 232 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)) → (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅))
147146ex 412 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑀𝑄) = (𝑁𝑄) → (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
148124simprbda 498 . . . . 5 ((𝜑𝑄 ∈ (𝑀𝑊)) → 𝑄𝑌)
149122, 148syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑄𝑌)
150 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑄))
151 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑄 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑄))
152150, 151eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑄 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
153152elrab3 3692 . . . 4 (𝑄𝑌 → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
154149, 153syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑄) = (𝑁𝑄)))
155 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑅))
156 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝑅))
157155, 156eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑀𝑥) = (𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
158157elrab3 3692 . . . 4 (𝑅𝑌 → (𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
15916, 158syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} ↔ (𝑀𝑅) = (𝑁𝑅)))
160147, 154, 1593imtr4d 294 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)} → 𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
16122ffnd 6736 . . . . 5 (𝜑𝑁 Fn 𝑌)
162 fndmin 7064 . . . . 5 ((𝑀 Fn 𝑌𝑁 Fn 𝑌) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
16312, 161, 162syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
164163adantr 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → dom (𝑀𝑁) = {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)})
165164eleq2d 2826 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑄 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
166164eleq2d 2826 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁) ↔ 𝑅 ∈ {𝑥𝑌 ∣ (𝑀𝑥) = (𝑁𝑥)}))
167160, 165, 1663imtr4d 294 1 ((𝜑𝜓) → (𝑄 ∈ dom (𝑀𝑁) → 𝑅 ∈ dom (𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  cin 3949  wss 3950  c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   cuni 4906  cmpt 5224  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  cima 5687  ccom 5688  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  wf 6556  1-1wf1 6557  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  t crest 17466  Topctop 22900  TopOnctopon 22917  Clsdccld 23025   Cn ccn 23233  Conncconn 23420  𝑛-Locally cnlly 23474  Homeochmeo 23762   CovMap ccvm 35261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-map 8869  df-en 8987  df-fin 8990  df-fi 9452  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cld 23028  df-cn 23236  df-conn 23421  df-hmeo 23764  df-cvm 35262
This theorem is referenced by:  cvmliftmolem2  35288
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