Theorem cvmlift2lem7 35507

Description: Lemma for cvmlift2 35514. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem7	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		cvmlift2.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))) = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem3 35503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘0) = (𝐻‘𝑥)))
9	8	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘0) = (𝐻‘𝑥)))
10	9	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)))
11	10	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))))‘𝑦) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))‘𝑦))
12	9	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))) ∈ (II Cn 𝐶))
13		iiuni 24858	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
14	13, 1	cnf 23221	. . . . . . 7 ⊢ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))) ∈ (II Cn 𝐶) → (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))):(0[,]1)⟶𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))):(0[,]1)⟶𝐵)
16		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
17		fvco3 6933	. . . . . 6 ⊢ (((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))):(0[,]1)⟶𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))))‘𝑦) = (𝐹‘((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦)))
18	15, 16, 17	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥))))‘𝑦) = (𝐹‘((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦)))
19		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝐺𝑧) = (𝑥𝐺𝑦))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))
21		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝐺𝑦) ∈ V
22	19, 20, 21	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))‘𝑦) = (𝑥𝐺𝑦))
23	16, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))‘𝑦) = (𝑥𝐺𝑦))
24	11, 18, 23	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦)) = (𝑥𝐺𝑦))
25	24	3impb 1115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦)) = (𝑥𝐺𝑦))
26	25	mpoeq3dva 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑦)))
27	15, 16	ffvelcdmd 7031	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦) ∈ 𝐵)
28		cvmlift2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦)))
30		cvmcn 35460	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
31		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
32	1, 31	cnf 23221	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽)
33	2, 30, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶∪ 𝐽)
34	33	feqmptd 6902	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹‘𝑤)))
35		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑤 = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦)))
36	27, 29, 34, 35	fmpoco 8038	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))))
37		iitop 24857	. . . . . 6 ⊢ II ∈ Top
38	37, 37, 13, 13	txunii 23568	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) × (0[,]1)) = ∪ (II ×t II)
39	38, 31	cnf 23221	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) → 𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽)
40		ffn 6662	. . . 4 ⊢ (𝐺:((0[,]1) × (0[,]1))⟶∪ 𝐽 → 𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
41	3, 39, 40	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
42		fnov 7491	. . 3 ⊢ (𝐺 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑦)))
43	41, 42	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑦)))
44	26, 36, 43	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ℩crio 7316  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  0cc0 11029  1c1 11030  [,]cicc 13292   Cn ccn 23199   ×_t ctx 23535  IIcii 24852   CovMap ccvm 35453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-ec 8638  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-cmp 23362  df-conn 23387  df-lly 23441  df-nlly 23442  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-ii 24854  df-cncf 24855  df-htpy 24947  df-phtpy 24948  df-phtpc 24969  df-pconn 35419  df-sconn 35420  df-cvm 35454

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  35509  cvmlift2lem13  35513