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Theorem cvmliftlem6 31788
Description: Lemma for cvmlift 31797. Induction step for cvmliftlem7 31789. Assuming that 𝑄(𝑀 − 1) is defined at (𝑀 − 1) / 𝑁 and is a preimage of 𝐺((𝑀 − 1) / 𝑁), the next segment 𝑄(𝑀) is also defined and is a function on 𝑊 which is a lift 𝐺 for this segment. This follows explicitly from the definition 𝑄(𝑀) = (𝐹𝐼) ∘ 𝐺 since 𝐺 is in 1st ‘(𝐹𝑀) for the entire interval so that (𝐹𝐼) maps this into 𝐼 and 𝐹𝑄 maps back to 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem5.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem6.1 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem6.2 ((𝜑𝜓) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem6 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑀,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝜓,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑘,𝑊,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem6.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
1312adantrr 709 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13cvmliftlem1 31783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))))
151cvmsss 31765 . . . . . . . . . 10 ((2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ⊆ 𝐶)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ⊆ 𝐶)
174adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
18 cvmliftlem6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
1918adantrr 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
20 cvmcn 31760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
212, 3cnf 21378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵𝑋)
2217, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝐹:𝐵𝑋)
23 ffn 6257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵𝑋𝐹 Fn 𝐵)
24 fniniseg 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝐵 → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
2619, 25mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
2726simpld 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵)
2826simprd 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
29 cvmliftlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
30 elfznn 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 peano2rem 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
358adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
3736rexrd 10379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
3832, 35nndivred 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
3938rexrd 10379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ*)
4032ltm1d 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
4135nnred 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4235nngt0d 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 0 < 𝑁)
43 ltdiv1 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
4434, 32, 41, 42, 43syl112anc 1494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
4540, 44mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁))
4636, 38, 45ltled 10476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁))
47 lbicc2 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
4837, 39, 46, 47syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
4948, 29syl6eleqr 2890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ 𝑊)
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 49cvmliftlem3 31785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
5128, 50eqeltrd 2879 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
52 eqid 2800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) = (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)
531, 2, 52cvmsiota 31775 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ ((2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))) → ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
5417, 14, 27, 51, 53syl13anc 1492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
5554simpld 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)))
5616, 55sseldd 3800 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶)
57 elssuni 4660 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶 → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐶)
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐶)
5958, 2syl6sseqr 3849 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐵)
601cvmsf1o 31770 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) ∧ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)))
6117, 14, 55, 60syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)))
62 f1ocnv 6369 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))–1-1-onto→(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
63 f1of 6357 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))–1-1-onto→(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))⟶(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))⟶(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
65 simprr 790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑧𝑊)
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 65cvmliftlem3 31785 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐺𝑧) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
6764, 66ffvelrnd 6587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
6859, 67sseldd 3800 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ 𝐵)
6968anassrs 460 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧𝑊) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ 𝐵)
7069fmpttd 6612 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))):𝑊𝐵)
7112, 30syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
72 cvmliftlem.q . . . . . 6 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 72, 29cvmliftlem5 31787 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑄𝑀) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
7471, 73syldan 586 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑄𝑀) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
7574feq1d 6242 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ↔ (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))):𝑊𝐵))
7670, 75mpbird 249 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄𝑀):𝑊𝐵)
77 fvres 6431 . . . . . . 7 (𝑧𝑊 → ((𝐺𝑊)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
7865, 77syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐺𝑊)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
79 f1ocnvfv2 6762 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀))) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
8061, 66, 79syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
81 fvres 6431 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
8267, 81syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
8378, 80, 823eqtr2rd 2841 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = ((𝐺𝑊)‘𝑧))
8483anassrs 460 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧𝑊) → (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = ((𝐺𝑊)‘𝑧))
8584mpteq2dva 4938 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑧𝑊 ↦ (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐺𝑊)‘𝑧)))
864, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵𝑋)
8786adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐹:𝐵𝑋)
8887feqmptd 6475 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
89 fveq2 6412 . . . 4 (𝑦 = ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
9069, 74, 88, 89fmptco 6624 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝑧𝑊 ↦ (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))))
91 iiuni 23011 . . . . . . . 8 (0[,]1) = II
9291, 3cnf 21378 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
935, 92syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
9493adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
951, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29cvmliftlem2 31784 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
9694, 95fssresd 6287 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊):𝑊𝑋)
9796feqmptd 6475 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐺𝑊)‘𝑧)))
9885, 90, 973eqtr4d 2844 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊))
9976, 98jca 508 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3386  cdif 3767  cun 3768  cin 3769  wss 3770  c0 4116  𝒫 cpw 4350  {csn 4369  cop 4375   cuni 4629   ciun 4711   class class class wbr 4844  cmpt 4923   I cid 5220   × cxp 5311  ccnv 5312  ran crn 5314  cres 5315  cima 5316  ccom 5317   Fn wfn 6097  wf 6098  1-1-ontowf1o 6101  cfv 6102  crio 6839  (class class class)co 6879  cmpt2 6881  1st c1st 7400  2nd c2nd 7401  cr 10224  0cc0 10225  1c1 10226  *cxr 10363   < clt 10364  cle 10365  cmin 10557   / cdiv 10977  cn 11313  (,)cioo 12423  [,]cicc 12426  ...cfz 12579  seqcseq 13054  t crest 16395  topGenctg 16412   Cn ccn 21356  Homeochmeo 21884  IIcii 23005   CovMap ccvm 31753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-icc 12430  df-fz 12580  df-seq 13055  df-exp 13114  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-rest 16397  df-topgen 16418  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-top 21026  df-topon 21043  df-bases 21078  df-cn 21359  df-hmeo 21886  df-ii 23007  df-cvm 31754
This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  31789  cvmliftlem10  31792  cvmliftlem13  31794
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