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Theorem cvmliftlem6 34219
Description: Lemma for cvmlift 34228. Induction step for cvmliftlem7 34220. Assuming that 𝑄(𝑀 − 1) is defined at (𝑀 − 1) / 𝑁 and is a preimage of 𝐺((𝑀 − 1) / 𝑁), the next segment 𝑄(𝑀) is also defined and is a function on 𝑊 which is a lift 𝐺 for this segment. This follows explicitly from the definition 𝑄(𝑀) = (𝐹𝐼) ∘ 𝐺 since 𝐺 is in 1st ‘(𝐹𝑀) for the entire interval so that (𝐹𝐼) maps this into 𝐼 and 𝐹𝑄 maps back to 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem5.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem6.1 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem6.2 ((𝜑𝜓) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem6 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑀,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝜓,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑘,𝑊,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem6.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
1312adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13cvmliftlem1 34214 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))))
151cvmsss 34196 . . . . . . . . . 10 ((2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ⊆ 𝐶)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ⊆ 𝐶)
174adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
18 cvmliftlem6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
1918adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
20 cvmcn 34191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
212, 3cnf 22732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵𝑋)
2217, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝐹:𝐵𝑋)
23 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵𝑋𝐹 Fn 𝐵)
24 fniniseg 7057 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝐵 → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
2619, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
2726simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵)
2826simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
29 cvmliftlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
30 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 peano2rem 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
358adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 12262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
3736rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
3832, 35nndivred 12262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
3938rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ*)
4032ltm1d 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
4135nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4235nngt0d 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 0 < 𝑁)
43 ltdiv1 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
4434, 32, 41, 42, 43syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
4540, 44mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁))
4636, 38, 45ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁))
47 lbicc2 13437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
4837, 39, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
4948, 29eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ 𝑊)
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 49cvmliftlem3 34216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
5128, 50eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) = (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)
531, 2, 52cvmsiota 34206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ ((2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))) → ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
5417, 14, 27, 51, 53syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
5554simpld 496 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)))
5616, 55sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶)
57 elssuni 4940 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶 → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐶)
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐶)
5958, 2sseqtrrdi 4032 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐵)
601cvmsf1o 34201 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) ∧ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)))
6117, 14, 55, 60syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)))
62 f1ocnv 6842 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))–1-1-onto→(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
63 f1of 6830 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))–1-1-onto→(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))⟶(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))⟶(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
65 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑧𝑊)
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 65cvmliftlem3 34216 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐺𝑧) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
6764, 66ffvelcdmd 7083 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
6859, 67sseldd 3982 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ 𝐵)
6968anassrs 469 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧𝑊) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ 𝐵)
7069fmpttd 7110 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))):𝑊𝐵)
7112, 30syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
72 cvmliftlem.q . . . . . 6 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 72, 29cvmliftlem5 34218 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑄𝑀) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
7471, 73syldan 592 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑄𝑀) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
7574feq1d 6699 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ↔ (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))):𝑊𝐵))
7670, 75mpbird 257 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄𝑀):𝑊𝐵)
77 fvres 6907 . . . . . . 7 (𝑧𝑊 → ((𝐺𝑊)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
7865, 77syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐺𝑊)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
79 f1ocnvfv2 7270 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀))) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
8061, 66, 79syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
81 fvres 6907 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
8267, 81syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
8378, 80, 823eqtr2rd 2780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = ((𝐺𝑊)‘𝑧))
8483anassrs 469 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧𝑊) → (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = ((𝐺𝑊)‘𝑧))
8584mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑧𝑊 ↦ (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐺𝑊)‘𝑧)))
864, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵𝑋)
8786adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐹:𝐵𝑋)
8887feqmptd 6956 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
89 fveq2 6888 . . . 4 (𝑦 = ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
9069, 74, 88, 89fmptco 7122 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝑧𝑊 ↦ (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))))
91 iiuni 24379 . . . . . . . 8 (0[,]1) = II
9291, 3cnf 22732 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
935, 92syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
9493adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
951, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29cvmliftlem2 34215 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
9694, 95fssresd 6755 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊):𝑊𝑋)
9796feqmptd 6956 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐺𝑊)‘𝑧)))
9885, 90, 973eqtr4d 2783 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊))
9976, 98jca 513 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  cop 4633   cuni 4907   ciun 4996   class class class wbr 5147  cmpt 5230   I cid 5572   × cxp 5673  ccnv 5674  ran crn 5676  cres 5677  cima 5678  ccom 5679   Fn wfn 6535  wf 6536  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  crio 7359  (class class class)co 7404  cmpo 7406  1st c1st 7968  2nd c2nd 7969  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  seqcseq 13962  t crest 17362  topGenctg 17379   Cn ccn 22710  Homeochmeo 23239  IIcii 24373   CovMap ccvm 34184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cn 22713  df-hmeo 23241  df-ii 24375  df-cvm 34185
This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  34220  cvmliftlem10  34223  cvmliftlem13  34225
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