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Theorem cvmliftlem6 33884
Description: Lemma for cvmlift 33893. Induction step for cvmliftlem7 33885. Assuming that 𝑄(𝑀 − 1) is defined at (𝑀 − 1) / 𝑁 and is a preimage of 𝐺((𝑀 − 1) / 𝑁), the next segment 𝑄(𝑀) is also defined and is a function on 𝑊 which is a lift 𝐺 for this segment. This follows explicitly from the definition 𝑄(𝑀) = (𝐹𝐼) ∘ 𝐺 since 𝐺 is in 1st ‘(𝐹𝑀) for the entire interval so that (𝐹𝐼) maps this into 𝐼 and 𝐹𝑄 maps back to 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftlem.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmliftlem.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftlem.x 𝑋 = 𝐽
cvmliftlem.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftlem.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
cvmliftlem.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
cvmliftlem.l 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
cvmliftlem5.3 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
cvmliftlem6.1 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
cvmliftlem6.2 ((𝜑𝜓) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
Assertion
Ref Expression
cvmliftlem6 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑀,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝜓,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑘,𝑊,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑗,𝑠,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
2 cvmliftlem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = 𝐶
3 cvmliftlem.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = 𝐽
4 cvmliftlem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmliftlem.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
6 cvmliftlem.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃𝐵)
7 cvmliftlem.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
8 cvmliftlem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 cvmliftlem.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇:(1...𝑁)⟶ 𝑗𝐽 ({𝑗} × (𝑆𝑗)))
10 cvmliftlem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇𝑘)))
11 cvmliftlem.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (topGen‘ran (,))
12 cvmliftlem6.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
1312adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13cvmliftlem1 33879 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))))
151cvmsss 33861 . . . . . . . . . 10 ((2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ⊆ 𝐶)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (2nd ‘(𝑇𝑀)) ⊆ 𝐶)
174adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
18 cvmliftlem6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
1918adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}))
20 cvmcn 33856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
212, 3cnf 22597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵𝑋)
2217, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝐹:𝐵𝑋)
23 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵𝑋𝐹 Fn 𝐵)
24 fniniseg 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝐵 → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝐹 “ {(𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))}) ↔ (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))))
2619, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁))))
2726simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵)
2826simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) = (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)))
29 cvmliftlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁))
30 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (1...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
3113, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
358adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 12207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
3736rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ*)
3832, 35nndivred 12207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
3938rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ*)
4032ltm1d 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
4135nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4235nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 0 < 𝑁)
43 ltdiv1 12019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
4434, 32, 41, 42, 43syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁)))
4540, 44mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) < (𝑀 / 𝑁))
4636, 38, 45ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁))
47 lbicc2 13381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀 − 1) / 𝑁) ≤ (𝑀 / 𝑁)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
4837, 39, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ (((𝑀 − 1) / 𝑁)[,](𝑀 / 𝑁)))
4948, 29eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑀 − 1) / 𝑁) ∈ 𝑊)
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 49cvmliftlem3 33881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐺‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
5128, 50eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
52 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) = (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)
531, 2, 52cvmsiota 33871 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ ((2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁))) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))) → ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
5417, 14, 27, 51, 53syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∧ ((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)))
5554simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀)))
5616, 55sseldd 3945 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶)
57 elssuni 4898 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ 𝐶 → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐶)
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐶)
5958, 2sseqtrrdi 3995 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ⊆ 𝐵)
601cvmsf1o 33866 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (2nd ‘(𝑇𝑀)) ∈ (𝑆‘(1st ‘(𝑇𝑀))) ∧ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)))
6117, 14, 55, 60syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)))
62 f1ocnv 6796 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))–1-1-onto→(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
63 f1of 6784 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))–1-1-onto→(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))⟶(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
6461, 62, 633syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(1st ‘(𝑇𝑀))⟶(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
65 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → 𝑧𝑊)
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 65cvmliftlem3 33881 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐺𝑧) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀)))
6764, 66ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))
6859, 67sseldd 3945 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ 𝐵)
6968anassrs 468 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧𝑊) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ 𝐵)
7069fmpttd 7063 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))):𝑊𝐵)
7112, 30syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
72 cvmliftlem.q . . . . . 6 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 72, 29cvmliftlem5 33883 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑄𝑀) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
7471, 73syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑄𝑀) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
7574feq1d 6653 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ↔ (𝑧𝑊 ↦ ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))):𝑊𝐵))
7670, 75mpbird 256 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑄𝑀):𝑊𝐵)
77 fvres 6861 . . . . . . 7 (𝑧𝑊 → ((𝐺𝑊)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
7865, 77syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐺𝑊)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
79 f1ocnvfv2 7223 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)):(𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏)–1-1-onto→(1st ‘(𝑇𝑀)) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (1st ‘(𝑇𝑀))) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
8061, 66, 79syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐺𝑧))
81 fvres 6861 . . . . . . 7 (((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) ∈ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
8267, 81syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
8378, 80, 823eqtr2rd 2783 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝑧𝑊)) → (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = ((𝐺𝑊)‘𝑧))
8483anassrs 468 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧𝑊) → (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))) = ((𝐺𝑊)‘𝑧))
8584mpteq2dva 5205 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑧𝑊 ↦ (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐺𝑊)‘𝑧)))
864, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵𝑋)
8786adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐹:𝐵𝑋)
8887feqmptd 6910 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)))
89 fveq2 6842 . . . 4 (𝑦 = ((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧))))
9069, 74, 88, 89fmptco 7075 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝑧𝑊 ↦ (𝐹‘((𝐹 ↾ (𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇𝑀))((𝑄‘(𝑀 − 1))‘((𝑀 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺𝑧)))))
91 iiuni 24244 . . . . . . . 8 (0[,]1) = II
9291, 3cnf 22597 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
935, 92syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
9493adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐺:(0[,]1)⟶𝑋)
951, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29cvmliftlem2 33880 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑊 ⊆ (0[,]1))
9694, 95fssresd 6709 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊):𝑊𝑋)
9796feqmptd 6910 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝐺𝑊) = (𝑧𝑊 ↦ ((𝐺𝑊)‘𝑧)))
9885, 90, 973eqtr4d 2786 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊))
9976, 98jca 512 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑄𝑀):𝑊𝐵 ∧ (𝐹 ∘ (𝑄𝑀)) = (𝐺𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cop 4592   cuni 4865   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  crio 7312  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  seqcseq 13906  t crest 17302  topGenctg 17319   Cn ccn 22575  Homeochmeo 23104  IIcii 24238   CovMap ccvm 33849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cn 22578  df-hmeo 23106  df-ii 24240  df-cvm 33850
This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  33885  cvmliftlem10  33888  cvmliftlem13  33890
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