MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfioo2 12925
Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfioo2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤𝑤 < 𝑦)})
Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦

Proof of Theorem dfioo2
StepHypRef Expression
1 ioof 12922 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6505 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
4 fnov 7298 . . 3 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ↔ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦)))
53, 4mpbi 233 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦))
6 iooval2 12855 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤𝑤 < 𝑦)})
76mpoeq3ia 7247 . 2 (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,)𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤𝑤 < 𝑦)})
85, 7eqtri 2761 1 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ ∣ (𝑥 < 𝑤𝑤 < 𝑦)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  {crab 3057  𝒫 cpw 4489   class class class wbr 5031   × cxp 5524   Fn wfn 6335  wf 6336  (class class class)co 7171  cmpo 7173  cr 10615  *cxr 10753   < clt 10754  (,)cioo 12822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-ioo 12826
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator