MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnioo 13490
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 13463 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 13488 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6735 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 11319 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 11316 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 7609 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1462 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2837 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 4936 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 5 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 6742 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 5 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 5099 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 230 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 3999 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950  𝒫 cpw 4599   cuni 4906   × cxp 5682  ran crn 5685   Fn wfn 6555  wf 6556  (class class class)co 7432  cr 11155  +∞cpnf 11293  -∞cmnf 11294  *cxr 11295  (,)cioo 13388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-ioo 13392
This theorem is referenced by:  pnfnei  23229  mnfnei  23230  uniretop  24784  tgioo  24818  xrtgioo  24829  bndth  24991  relowlssretop  37365  relowlpssretop  37366  mblfinlem3  37667  mblfinlem4  37668  ismblfin  37669
  Copyright terms: Public domain W3C validator