Theorem unirnioo 13455

Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
unirnioo	⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Proof of Theorem unirnioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioomax 13428	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
2		ioof 13453	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6693	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		mnfxr 11241	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		pnfxr 11238	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		fnovrn 7573	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1484	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
9	1, 8	eqeltrri 2861	. . 3 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
10		elssuni 4899	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ∪ ran (,))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ran (,)
12		frn 6701	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14		sspwuni 5059	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran (,) ⊆ ℝ)
15	13, 14	mpbi 232	. 2 ⊢ ∪ ran (,) ⊆ ℝ
16	11, 15	eqssi 3954	1 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Syntax hints:   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   × cxp 5647  ran crn 5650   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  +∞cpnf 11215  -∞cmnf 11216  ℝ^*cxr 11217  (,)cioo 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-ioo 13355

This theorem is referenced by:  pnfnei  23282  mnfnei  23283  uniretop  24824  tgioo  24858  xrtgioo  24869  bndth  25022  relowlssretop  37862  relowlpssretop  37863  mblfinlem3  38163  mblfinlem4  38164  ismblfin  38165