MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnioo 13430
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 13403 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 13428 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6716 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 11275 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 11272 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 7584 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1459 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2828 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 4940 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 5 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 6723 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 5 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 5102 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 229 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 3997 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2104  wss 3947  𝒫 cpw 4601   cuni 4907   × cxp 5673  ran crn 5676   Fn wfn 6537  wf 6538  (class class class)co 7411  cr 11111  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  *cxr 11251  (,)cioo 13328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332
This theorem is referenced by:  pnfnei  22944  mnfnei  22945  uniretop  24499  tgioo  24532  xrtgioo  24542  bndth  24704  relowlssretop  36547  relowlpssretop  36548  mblfinlem3  36830  mblfinlem4  36831  ismblfin  36832
  Copyright terms: Public domain W3C validator