Theorem unirnioo 13604

Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
unirnioo	⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Proof of Theorem unirnioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioomax 13577	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
2		ioof 13602	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6728	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		mnfxr 11390	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		pnfxr 11387	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		fnovrn 7617	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
9	1, 8	eqeltrri 2861	. . 3 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
10		elssuni 4902	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ∪ ran (,))
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ran (,)
12		frn 6736	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14		sspwuni 5063	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran (,) ⊆ ℝ)
15	13, 14	mpbi 233	. 2 ⊢ ∪ ran (,) ⊆ ℝ
16	11, 15	eqssi 3929	1 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   × cxp 5653  ran crn 5656   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  +∞cpnf 11364  -∞cmnf 11365  ℝ^*cxr 11366  (,)cioo 13500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-ioo 13504

This theorem is used by:  pnfnei  23565  mnfnei  23566  uniretop  25108  tgioo  25142  xrtgioo  25153  bndth  25306  relowlssretop  38477  relowlpssretop  38478  mblfinlem3  38768  mblfinlem4  38769  ismblfin  38770