MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnioo 13424
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 13397 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 13422 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6708 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 11269 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 11266 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 7576 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1457 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2822 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 4932 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 5 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 6715 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 5 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 5094 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 229 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 3991 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941  𝒫 cpw 4595   cuni 4900   × cxp 5665  ran crn 5668   Fn wfn 6529  wf 6530  (class class class)co 7402  cr 11106  +∞cpnf 11243  -∞cmnf 11244  *cxr 11245  (,)cioo 13322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-ioo 13326
This theorem is referenced by:  pnfnei  23048  mnfnei  23049  uniretop  24603  tgioo  24636  xrtgioo  24646  bndth  24808  relowlssretop  36735  relowlpssretop  36736  mblfinlem3  37021  mblfinlem4  37022  ismblfin  37023
  Copyright terms: Public domain W3C validator