MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnioo 13426
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 13399 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 13424 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6718 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 11271 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 11268 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 7582 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1462 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2831 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 4942 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 5 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 6725 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 5 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 5104 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 229 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 3999 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3949  𝒫 cpw 4603   cuni 4909   × cxp 5675  ran crn 5678   Fn wfn 6539  wf 6540  (class class class)co 7409  cr 11109  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  *cxr 11247  (,)cioo 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328
This theorem is referenced by:  pnfnei  22724  mnfnei  22725  uniretop  24279  tgioo  24312  xrtgioo  24322  bndth  24474  relowlssretop  36244  relowlpssretop  36245  mblfinlem3  36527  mblfinlem4  36528  ismblfin  36529
  Copyright terms: Public domain W3C validator