Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooval2 12825
 Description: Value of the open interval function. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooval2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem iooval2
StepHypRef Expression
1 iooval 12816 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
2 inrab2 4212 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
3 ressxr 10736 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
4 sseqin2 4122 . . . . . 6 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
53, 4mpbi 233 . . . . 5 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
65rabeqi 3394 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
72, 6eqtri 2781 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
8 elioore 12822 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
98ssriv 3898 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
101, 9eqsstrrdi 3949 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ)
11 df-ss 3877 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ ↔ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
1210, 11sylib 221 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
137, 12syl5reqr 2808 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
141, 13eqtrd 2793 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  ℝ*cxr 10725   < clt 10726  (,)cioo 12792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-ioo 12796 This theorem is referenced by:  elioo2  12833  ioomax  12867  ioopos  12869  dfioo2  12895
 Copyright terms: Public domain W3C validator