Theorem iooval2 13423

Description: Value of the open interval function. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iooval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem iooval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 13414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2		elioore 13420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3944	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4	1, 3	eqsstrrdi 3985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ)
5		dfss2 3926	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ ↔ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
7		inrab2 4273	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}
8		ressxr 11271	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
9		sseqin2 4179	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
10	8, 9	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
11	10	rabeqi 3432	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}
12	7, 11	eqtri 2789	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}
13	6, 12	eqtr3di 2816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
14	1, 13	eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261  (,)cioo 13390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ioo 13394

This theorem is used by:  elioo2  13431  ioomax  13467  ioopos  13469  dfioo2  13495