Theorem iooval2 13435

Description: Value of the open interval function. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iooval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem iooval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 13426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2		elioore 13432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3938	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4	1, 3	eqsstrrdi 3979	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ)
5		dfss2 3920	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ ↔ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
7		inrab2 4266	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}
8		ressxr 11281	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
9		sseqin2 4172	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
10	8, 9	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
11	10	rabeqi 3427	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}
12	7, 11	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}
13	6, 12	eqtr3di 2812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
14	1, 13	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271  (,)cioo 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-ioo 13406

This theorem is used by:  elioo2  13443  ioomax  13479  ioopos  13481  dfioo2  13507