Theorem ioof 13424

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 13348	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 13385	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		ovex 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
4	3	elpw 4607	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
5	2, 4	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
6	1, 5	eqeltrrdi 2843	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
7	6	rgen2 3198	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8		df-ioo 13328	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9	8	fmpo 8054	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
10	7, 9	mpbi 229	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  {crab 3433   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149   × cxp 5675  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  (,)cioo 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328

This theorem is referenced by:  unirnioo  13426  dfioo2  13427  ioorebas  13428  qtopbaslem  24275  retopbas  24277  qdensere  24286  blssioo  24311  tgioo  24312  tgqioo  24316  re2ndc  24317  xrtgioo  24322  xrge0tsms  24350  bndth  24474  ovolfioo  24984  ovollb  24996  ovolicc2  25039  ovolfs2  25088  ioorf  25090  ioorinv  25093  ioorcl  25094  uniiccdif  25095  uniioovol  25096  uniiccvol  25097  uniioombllem2  25100  uniioombllem3a  25101  uniioombllem3  25102  uniioombllem4  25103  uniioombllem5  25104  uniioombl  25106  opnmblALT  25120  mbfdm  25143  mbfima  25147  mbfid  25152  ismbfd  25156  mbfimaopnlem  25172  i1fd  25198  xrge0tsmsd  32209  iccllysconn  34241  rellysconn  34242  relowlssretop  36244  relowlpssretop  36245  ftc1anc  36569  ftc2nc  36570  ioofun  44264  islptre  44335  volioof  44703  fvvolioof  44705  ovolval3  45363  ovolval4lem1  45365  ovolval5lem2  45369  ovolval5lem3  45370