MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioof 12834
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 12761 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 ioossre 12797 . . . . 5 (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3 ovex 7188 . . . . . 6 (𝑥(,)𝑦) ∈ V
43elpw 4542 . . . . 5 ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
52, 4mpbir 233 . . . 4 (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
61, 5eqeltrrdi 2922 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
76rgen2 3203 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8 df-ioo 12741 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
98fmpo 7765 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
107, 9mpbi 232 1 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398  wcel 2110  wral 3138  {crab 3142  wss 3935  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5065   × cxp 5552  wf 6350  (class class class)co 7155  cr 10535  *cxr 10673   < clt 10674  (,)cioo 12737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-ioo 12741
This theorem is referenced by:  unirnioo  12836  dfioo2  12837  ioorebas  12838  qtopbaslem  23366  retopbas  23368  qdensere  23377  blssioo  23402  tgioo  23403  tgqioo  23407  re2ndc  23408  xrtgioo  23413  xrge0tsms  23441  bndth  23561  ovolfioo  24067  ovollb  24079  ovolicc2  24122  ovolfs2  24171  ioorf  24173  ioorinv  24176  ioorcl  24177  uniiccdif  24178  uniioovol  24179  uniiccvol  24180  uniioombllem2  24183  uniioombllem3a  24184  uniioombllem3  24185  uniioombllem4  24186  uniioombllem5  24187  uniioombl  24189  opnmblALT  24203  mbfdm  24226  mbfima  24230  mbfid  24235  ismbfd  24239  mbfimaopnlem  24255  i1fd  24281  xrge0tsmsd  30692  iccllysconn  32497  rellysconn  32498  relowlssretop  34643  relowlpssretop  34644  ftc1anc  34974  ftc2nc  34975  ioofun  41827  islptre  41900  volioof  42273  fvvolioof  42275  ovolval3  42930  ovolval4lem1  42932  ovolval5lem2  42936  ovolval5lem3  42937
  Copyright terms: Public domain W3C validator