MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioof 13229
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 13153 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 ioossre 13190 . . . . 5 (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3 ovex 7340 . . . . . 6 (𝑥(,)𝑦) ∈ V
43elpw 4543 . . . . 5 ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
52, 4mpbir 230 . . . 4 (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
61, 5eqeltrrdi 2846 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
76rgen2 3191 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8 df-ioo 13133 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
98fmpo 7940 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
107, 9mpbi 229 1 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  wcel 2104  wral 3062  {crab 3303  wss 3892  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5081   × cxp 5598  wf 6454  (class class class)co 7307  cr 10920  *cxr 11058   < clt 11059  (,)cioo 13129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-ioo 13133
This theorem is referenced by:  unirnioo  13231  dfioo2  13232  ioorebas  13233  qtopbaslem  23971  retopbas  23973  qdensere  23982  blssioo  24007  tgioo  24008  tgqioo  24012  re2ndc  24013  xrtgioo  24018  xrge0tsms  24046  bndth  24170  ovolfioo  24680  ovollb  24692  ovolicc2  24735  ovolfs2  24784  ioorf  24786  ioorinv  24789  ioorcl  24790  uniiccdif  24791  uniioovol  24792  uniiccvol  24793  uniioombllem2  24796  uniioombllem3a  24797  uniioombllem3  24798  uniioombllem4  24799  uniioombllem5  24800  uniioombl  24802  opnmblALT  24816  mbfdm  24839  mbfima  24843  mbfid  24848  ismbfd  24852  mbfimaopnlem  24868  i1fd  24894  xrge0tsmsd  31366  iccllysconn  33261  rellysconn  33262  relowlssretop  35582  relowlpssretop  35583  ftc1anc  35906  ftc2nc  35907  ioofun  43318  islptre  43389  volioof  43757  fvvolioof  43759  ovolval3  44415  ovolval4lem1  44417  ovolval5lem2  44421  ovolval5lem3  44422
  Copyright terms: Public domain W3C validator