Theorem ioof 13448

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 13370	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 13408	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		ovex 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
4	3	elpw 4558	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
5	2, 4	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
6	1, 5	eqeltrrdi 2870	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
7	6	rgen2 3201	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8		df-ioo 13350	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9	8	fmpo 8045	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
10	7, 9	mpbi 232	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5099   × cxp 5643  ⟶wf 6513  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213  (,)cioo 13346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-ioo 13350

This theorem is referenced by:  unirnioo  13450  dfioo2  13451  ioorebas  13452  qtopbaslem  24798  retopbas  24800  qdensere  24809  blssioo  24835  tgioo  24836  tgqioo  24840  re2ndc  24841  xrtgioo  24847  xrge0tsms  24875  bndth  25000  ovolfioo  25509  ovollb  25521  ovolicc2  25564  ovolfs2  25613  ioorf  25615  ioorinv  25618  ioorcl  25619  uniiccdif  25620  uniioovol  25621  uniiccvol  25622  uniioombllem2  25625  uniioombllem3a  25626  uniioombllem3  25627  uniioombllem4  25628  uniioombllem5  25629  uniioombl  25631  opnmblALT  25645  mbfdm  25668  mbfima  25672  mbfid  25677  ismbfd  25681  mbfimaopnlem  25697  i1fd  25723  xrge0tsmsd  33214  iccllysconn  35564  rellysconn  35565  relowlssretop  37821  relowlpssretop  37822  ftc1anc  38164  ftc2nc  38165  ioofun  46091  islptre  46159  volioof  46525  fvvolioof  46527  ovolval3  47185  ovolval4lem1  47187  ovolval5lem2  47191  ovolval5lem3  47192