Theorem ioof 12521

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 12448	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 12484	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		ovex 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
4	3	elpw 4355	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
5	2, 4	mpbir 223	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
6	1, 5	syl6eqelr 2887	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
7	6	rgen2a 3158	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8		df-ioo 12428	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9	8	fmpt2 7473	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
10	7, 9	mpbi 222	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  {crab 3093   ⊆ wss 3769  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843   × cxp 5310  ⟶wf 6097  (class class class)co 6878  ℝcr 10223  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363  (,)cioo 12424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-ioo 12428

This theorem is referenced by:  unirnioo  12523  dfioo2  12524  ioorebas  12525  qtopbaslem  22890  retopbas  22892  qdensere  22901  blssioo  22926  tgioo  22927  tgqioo  22931  re2ndc  22932  xrtgioo  22937  xrge0tsms  22965  bndth  23085  ovolfioo  23575  ovollb  23587  ovolicc2  23630  ovolfs2  23679  ioorf  23681  ioorinv  23684  ioorcl  23685  uniiccdif  23686  uniioovol  23687  uniiccvol  23688  uniioombllem2  23691  uniioombllem3a  23692  uniioombllem3  23693  uniioombllem4  23694  uniioombllem5  23695  uniioombl  23697  opnmblALT  23711  mbfdm  23734  mbfima  23738  mbfid  23743  ismbfd  23747  mbfimaopnlem  23763  i1fd  23789  xrge0tsmsd  30301  iccllysconn  31749  rellysconn  31750  relowlssretop  33709  relowlpssretop  33710  ftc1anc  33981  ftc2nc  33982  ioofun  40522  islptre  40595  volioof  40947  fvvolioof  40949  ovolval3  41607  ovolval4lem1  41609  ovolval5lem2  41613  ovolval5lem3  41614