Theorem ioof 13581

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 13503	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 13541	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
4	3	elpw 4560	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
5	2, 4	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
6	1, 5	eqeltrrdi 2869	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
7	6	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8		df-ioo 13483	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9	8	fmpo 8079	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
10	7, 9	mpbi 233	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346  (,)cioo 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-ioo 13483

This theorem is used by:  unirnioo  13583  dfioo2  13584  ioorebas  13585  qtopbaslem  25082  retopbas  25084  qdensere  25093  blssioo  25119  tgioo  25120  tgqioo  25124  re2ndc  25125  xrtgioo  25131  xrge0tsms  25159  bndth  25284  ovolfioo  25793  ovollb  25805  ovolicc2  25848  ovolfs2  25897  ioorf  25899  ioorinv  25902  ioorcl  25903  uniiccdif  25904  uniioovol  25905  uniiccvol  25906  uniioombllem2  25909  uniioombllem3a  25910  uniioombllem3  25911  uniioombllem4  25912  uniioombllem5  25913  uniioombl  25915  opnmblALT  25929  mbfdm  25952  mbfima  25956  mbfid  25961  ismbfd  25965  mbfimaopnlem  25981  i1fd  26007  xrge0tsmsd  33680  iccllysconn  36101  rellysconn  36102  relowlssretop  38379  relowlpssretop  38380  ftc1anc  38712  ftc2nc  38713  ioofun  46656  islptre  46724  volioof  47090  fvvolioof  47092  ovolval3  47750  ovolval4lem1  47752  ovolval5lem2  47756  ovolval5lem3  47757