Theorem ioof 13605

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 13527	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 13565	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		ovex 7476	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
4	3	elpw 4564	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
5	2, 4	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
6	1, 5	eqeltrrdi 2873	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
7	6	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8		df-ioo 13507	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9	8	fmpo 8104	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
10	7, 9	mpbi 233	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ⟶wf 6554  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370  (,)cioo 13503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-ioo 13507

This theorem is used by:  unirnioo  13607  dfioo2  13608  ioorebas  13609  qtopbaslem  25107  retopbas  25109  qdensere  25118  blssioo  25144  tgioo  25145  tgqioo  25149  re2ndc  25150  xrtgioo  25156  xrge0tsms  25184  bndth  25309  ovolfioo  25818  ovollb  25830  ovolicc2  25873  ovolfs2  25922  ioorf  25924  ioorinv  25927  ioorcl  25928  uniiccdif  25929  uniioovol  25930  uniiccvol  25931  uniioombllem2  25934  uniioombllem3a  25935  uniioombllem3  25936  uniioombllem4  25937  uniioombllem5  25938  uniioombl  25940  opnmblALT  25954  mbfdm  25977  mbfima  25981  mbfid  25986  ismbfd  25990  mbfimaopnlem  26006  i1fd  26032  xrge0tsmsd  33704  iccllysconn  36182  rellysconn  36183  relowlssretop  38478  relowlpssretop  38479  ftc1anc  38811  ftc2nc  38812  ioofun  46768  islptre  46836  volioof  47202  fvvolioof  47204  ovolval3  47862  ovolval4lem1  47864  ovolval5lem2  47868  ovolval5lem3  47869