Theorem ioof 13473

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 13395	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 13433	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		ovex 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
4	3	elpw 4571	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
5	2, 4	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
6	1, 5	eqeltrrdi 2878	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
7	6	rgen2 3211	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8		df-ioo 13375	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9	8	fmpo 8064	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
10	7, 9	mpbi 233	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   × cxp 5660  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  (,)cioo 13371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-ioo 13375

This theorem is referenced by:  unirnioo  13475  dfioo2  13476  ioorebas  13477  qtopbaslem  24883  retopbas  24885  qdensere  24894  blssioo  24920  tgioo  24921  tgqioo  24925  re2ndc  24926  xrtgioo  24932  xrge0tsms  24960  bndth  25085  ovolfioo  25594  ovollb  25606  ovolicc2  25649  ovolfs2  25698  ioorf  25700  ioorinv  25703  ioorcl  25704  uniiccdif  25705  uniioovol  25706  uniiccvol  25707  uniioombllem2  25710  uniioombllem3a  25711  uniioombllem3  25712  uniioombllem4  25713  uniioombllem5  25714  uniioombl  25716  opnmblALT  25730  mbfdm  25753  mbfima  25757  mbfid  25762  ismbfd  25766  mbfimaopnlem  25782  i1fd  25808  xrge0tsmsd  33333  iccllysconn  35640  rellysconn  35641  relowlssretop  37896  relowlpssretop  37897  ftc1anc  38239  ftc2nc  38240  ioofun  46158  islptre  46226  volioof  46592  fvvolioof  46594  ovolval3  47252  ovolval4lem1  47254  ovolval5lem2  47258  ovolval5lem3  47259