Theorem ioof 13469

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 13393	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		ioossre 13430	. . . . 5 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ V
4	3	elpw 4584	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
5	2, 4	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
6	1, 5	eqeltrrdi 2842	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
7	6	rgen2 3186	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8		df-ioo 13373	. . 3 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9	8	fmpo 8075	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
10	7, 9	mpbi 230	1 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  {crab 3419   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580   class class class wbr 5123   × cxp 5663  ⟶wf 6537  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  ℝ^*cxr 11276   < clt 11277  (,)cioo 13369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-ioo 13373

This theorem is referenced by:  unirnioo  13471  dfioo2  13472  ioorebas  13473  qtopbaslem  24715  retopbas  24717  qdensere  24726  blssioo  24752  tgioo  24753  tgqioo  24757  re2ndc  24758  xrtgioo  24764  xrge0tsms  24792  bndth  24926  ovolfioo  25438  ovollb  25450  ovolicc2  25493  ovolfs2  25542  ioorf  25544  ioorinv  25547  ioorcl  25548  uniiccdif  25549  uniioovol  25550  uniiccvol  25551  uniioombllem2  25554  uniioombllem3a  25555  uniioombllem3  25556  uniioombllem4  25557  uniioombllem5  25558  uniioombl  25560  opnmblALT  25574  mbfdm  25597  mbfima  25601  mbfid  25606  ismbfd  25610  mbfimaopnlem  25626  i1fd  25652  xrge0tsmsd  33004  iccllysconn  35214  rellysconn  35215  relowlssretop  37323  relowlpssretop  37324  ftc1anc  37667  ftc2nc  37668  ioofun  45521  islptre  45591  volioof  45959  fvvolioof  45961  ovolval3  46619  ovolval4lem1  46621  ovolval5lem2  46625  ovolval5lem3  46626