MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspsn6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspsn6 21010
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspsn5b.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn5b.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5b.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5b.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5b.a (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
ellspsn6 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem ellspsn6
StepHypRef Expression
1 ellspsn5b.a . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
2 ellspsn5b.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 ellspsn5b.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssel 20953 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
51, 4sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
6 ellspsn5b.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
81adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
9 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
10 ellspsn5b.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
113, 10lspsnss 21006 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
127, 8, 9, 11syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
135, 12jca 511 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
142, 10lspsnid 21009 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
156, 14sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
16 ssel 3989 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑋𝑈))
1715, 16syl5com 31 . . 3 ((𝜑𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑋𝑈))
1817impr 454 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)) → 𝑋𝑈)
1913, 18impbida 801 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  Basecbs 17245  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988
This theorem is referenced by:  ellspsn5b  21011  lsmelval2  21102  dihjat1lem  41411
  Copyright terms: Public domain W3C validator