MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspsn6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspsn6 20993
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspsn5b.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn5b.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5b.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5b.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5b.a (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
ellspsn6 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem ellspsn6
StepHypRef Expression
1 ellspsn5b.a . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
2 ellspsn5b.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 ellspsn5b.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssel 20936 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
51, 4sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
6 ellspsn5b.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
81adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
9 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
10 ellspsn5b.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
113, 10lspsnss 20989 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
127, 8, 9, 11syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
135, 12jca 511 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
142, 10lspsnid 20992 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
156, 14sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
16 ssel 3976 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑋𝑈))
1715, 16syl5com 31 . . 3 ((𝜑𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑋𝑈))
1817impr 454 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)) → 𝑋𝑈)
1913, 18impbida 800 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950  {csn 4625  cfv 6560  Basecbs 17248  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971
This theorem is referenced by:  ellspsn5b  20994  lsmelval2  21085  dihjat1lem  41431
  Copyright terms: Public domain W3C validator