Theorem ellspsn6 21093

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn5b.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5b.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn6	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem ellspsn6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5b.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
2		ellspsn5b.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssel 21036	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	1, 4	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		ellspsn5b.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		ellspsn5b.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	3, 10	lspsnss 21089	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
12	7, 8, 9, 11	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
13	5, 12	jca 520	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
14	2, 10	lspsnid 21092	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15	6, 14	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
16		ssel 3937	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝑈))
17	15, 16	syl5com 32	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
18	17	impr 459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
19	13, 18	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3911  {csn 4592  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  LModclmod 20959  LSubSpclss 21030  LSpanclspn 21070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071

This theorem is referenced by:  ellspsn5b  21094  lsmelval2  21184  dihjat1lem  42127