Theorem lsmelval2 21008

Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmelval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmelval2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmelval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmelval2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmelval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmelval2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsmelval2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, ⊕   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelval2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmelval2.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
3		lsmelval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 20879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lsmelval2.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	3	lsssubg 20879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lsmelval2.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	9, 10	lsmelval 19547	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
12	5, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
13	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
14	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
15		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
16		lsmelval2.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17	16, 3	lssel 20859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑉)
18	14, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
19		lsmelval2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
20	16, 3, 19	lspsncl 20899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
21	13, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 20879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	13, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
25		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
26	16, 3	lssel 20859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑉)
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	16, 3, 19	lspsncl 20899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
29	13, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
30	3	lsssubg 20879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
31	13, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	16, 19	lspsnid 20915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
33	13, 18, 32	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
34	16, 19	lspsnid 20915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
35	13, 27, 34	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
36	9, 10	lsmelvali 19548	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
37	23, 31, 33, 35, 36	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
38		eleq1a 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
40	3, 10	lsmcl 21006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
41	13, 21, 29, 40	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
42	16, 3, 19, 13, 41	ellspsn6 20916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
43	39, 42	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
44	43	reximdvva 3177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
45	12, 44	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
46	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
47	3, 19, 13, 14, 15	ellspsn5 20918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇)
48	10	lsmless1 19558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
49	46, 31, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
50	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
51	3, 19, 13, 24, 25	ellspsn5 20918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
52	10	lsmless2 19559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
53	46, 50, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
54	49, 53	sstrd 3948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
55	54	sseld 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
56	42, 55	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
57	56	rexlimdvva 3186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
58	45, 57	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
59		r19.42v 3161	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
60	59	rexbii 3076	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
61		r19.42v 3161	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
62	60, 61	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
63	58, 62	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  +_gcplusg 17180  SubGrpcsubg 19018  LSSumclsm 19532  LModclmod 20782  LSubSpclss 20853  LSpanclspn 20893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-lsm 19534  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-ur 20086  df-ring 20139  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  41427