Theorem lsmelval2 21102

Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmelval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmelval2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmelval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmelval2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmelval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmelval2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsmelval2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, ⊕   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelval2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmelval2.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
3		lsmelval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 20973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lsmelval2.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	3	lsssubg 20973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lsmelval2.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	9, 10	lsmelval 19682	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
12	5, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
13	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
14	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
15		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
16		lsmelval2.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17	16, 3	lssel 20953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑉)
18	14, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
19		lsmelval2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
20	16, 3, 19	lspsncl 20993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
21	13, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 20973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	13, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
25		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
26	16, 3	lssel 20953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑉)
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	16, 3, 19	lspsncl 20993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
29	13, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
30	3	lsssubg 20973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
31	13, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	16, 19	lspsnid 21009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
33	13, 18, 32	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
34	16, 19	lspsnid 21009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
35	13, 27, 34	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
36	9, 10	lsmelvali 19683	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
37	23, 31, 33, 35, 36	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
38		eleq1a 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
40	3, 10	lsmcl 21100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
41	13, 21, 29, 40	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
42	16, 3, 19, 13, 41	ellspsn6 21010	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
43	39, 42	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
44	43	reximdvva 3205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
45	12, 44	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
46	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
47	3, 19, 13, 14, 15	ellspsn5 21012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇)
48	10	lsmless1 19693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
49	46, 31, 47, 48	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
50	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
51	3, 19, 13, 24, 25	ellspsn5 21012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
52	10	lsmless2 19694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
53	46, 50, 51, 52	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
54	49, 53	sstrd 4006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
55	54	sseld 3994	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
56	42, 55	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
57	56	rexlimdvva 3211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
58	45, 57	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
59		r19.42v 3189	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
60	59	rexbii 3092	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
61		r19.42v 3189	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
62	60, 61	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
63	58, 62	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  41411