MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmelval2 19829
Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmelval2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmelval2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmelval2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmelval2.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsmelval2.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmelval2.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsmelval2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsmelval2.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
3 lsmelval2.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
43lsssubg 19701 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
51, 2, 4syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6 lsmelval2.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
73lsssubg 19701 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
81, 6, 7syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 eqid 2820 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 lsmelval2.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
119, 10lsmelval 18749 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
125, 8, 11syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
131adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
142adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑇𝑆)
15 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦𝑇)
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑊)
1716, 3lssel 19681 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑆𝑦𝑇) → 𝑦𝑉)
1814, 15, 17syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦𝑉)
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2016, 3, 19lspsncl 19721 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
2113, 18, 20syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
223lsssubg 19701 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
2313, 21, 22syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
246adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑈𝑆)
25 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧𝑈)
2616, 3lssel 19681 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑆𝑧𝑈) → 𝑧𝑉)
2724, 25, 26syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧𝑉)
2816, 3, 19lspsncl 19721 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
2913, 27, 28syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
303lsssubg 19701 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3113, 29, 30syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3216, 19lspsnid 19737 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
3313, 18, 32syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
3416, 19lspsnid 19737 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧𝑉) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
3513, 27, 34syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
369, 10lsmelvali 18750 . . . . . . . 8 ((((𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 836 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
38 eleq1a 2906 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
403, 10lsmcl 19827 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
4113, 21, 29, 40syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 19738 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4339, 42sylibd 241 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4443reximdvva 3262 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4512, 44sylbid 242 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) → ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
465adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
473, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 19740 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇)
4810lsmless1 18760 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑧})))
4946, 31, 47, 48syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑧})))
508adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
513, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 19740 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
5210lsmless2 18761 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈) → (𝑇 (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5346, 50, 51, 52syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑇 (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5449, 53sstrd 3952 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5554sseld 3941 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5642, 55sylbird 262 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5756rexlimdvva 3279 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5845, 57impbid 214 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
59 r19.42v 3334 . . . 4 (∃𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6059rexbii 3234 . . 3 (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ ∃𝑦𝑇 (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
61 r19.42v 3334 . . 3 (∃𝑦𝑇 (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6260, 61bitri 277 . 2 (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6358, 62syl6bb 289 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wrex 3126  wss 3909  {csn 4539  cfv 6327  (class class class)co 7129  Basecbs 16458  +gcplusg 16540  SubGrpcsubg 18248  LSSumclsm 18734  LModclmod 19606  LSubSpclss 19675  LSpanclspn 19715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-0g 16690  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-submnd 17932  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-subg 18251  df-cntz 18422  df-lsm 18736  df-cmn 18883  df-abl 18884  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-lmod 19608  df-lss 19676  df-lsp 19716
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  38596
  Copyright terms: Public domain W3C validator