Theorem lsmelval2 21080

Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmelval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmelval2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmelval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmelval2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmelval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmelval2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsmelval2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, ⊕   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelval2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmelval2.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
3		lsmelval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 20952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	1, 2, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lsmelval2.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	3	lsssubg 20952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	1, 6, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lsmelval2.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	9, 10	lsmelval 19624	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
12	5, 8, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
13	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
14	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
15		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
16		lsmelval2.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17	16, 3	lssel 20932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑉)
18	14, 15, 17	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
19		lsmelval2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
20	16, 3, 19	lspsncl 20972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
21	13, 18, 20	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 20952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	13, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
25		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
26	16, 3	lssel 20932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑉)
27	24, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	16, 3, 19	lspsncl 20972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
29	13, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
30	3	lsssubg 20952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
31	13, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	16, 19	lspsnid 20988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
33	13, 18, 32	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
34	16, 19	lspsnid 20988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
35	13, 27, 34	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
36	9, 10	lsmelvali 19625	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
37	23, 31, 33, 35, 36	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
38		eleq1a 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
40	3, 10	lsmcl 21078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
41	13, 21, 29, 40	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
42	16, 3, 19, 13, 41	ellspsn6 20989	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
43	39, 42	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
44	43	reximdvva 3185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
45	12, 44	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
46	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
47	3, 19, 13, 14, 15	ellspsn5 20991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇)
48	10	lsmless1 19635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
49	46, 31, 47, 48	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
50	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
51	3, 19, 13, 24, 25	ellspsn5 20991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
52	10	lsmless2 19636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
53	46, 50, 51, 52	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
54	49, 53	sstrd 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
55	54	sseld 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
56	42, 55	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
57	56	rexlimdvva 3194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
58	45, 57	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
59		r19.42v 3169	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
60	59	rexbii 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
61		r19.42v 3169	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
62	60, 61	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
63	58, 62	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  41874