MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmelval2 20977
Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmelval2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmelval2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmelval2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmelval2.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsmelval2.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmelval2.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsmelval2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsmelval2.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
3 lsmelval2.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
43lsssubg 20848 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
51, 2, 4syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6 lsmelval2.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
73lsssubg 20848 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
81, 6, 7syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 eqid 2728 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 lsmelval2.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
119, 10lsmelval 19611 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
125, 8, 11syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
131adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
142adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑇𝑆)
15 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦𝑇)
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑊)
1716, 3lssel 20828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑆𝑦𝑇) → 𝑦𝑉)
1814, 15, 17syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦𝑉)
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2016, 3, 19lspsncl 20868 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
2113, 18, 20syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
223lsssubg 20848 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
2313, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
246adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑈𝑆)
25 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧𝑈)
2616, 3lssel 20828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑆𝑧𝑈) → 𝑧𝑉)
2724, 25, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧𝑉)
2816, 3, 19lspsncl 20868 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
2913, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
303lsssubg 20848 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3113, 29, 30syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3216, 19lspsnid 20884 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
3313, 18, 32syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
3416, 19lspsnid 20884 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧𝑉) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
3513, 27, 34syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
369, 10lsmelvali 19612 . . . . . . . 8 ((((𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 837 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
38 eleq1a 2824 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
403, 10lsmcl 20975 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
4113, 21, 29, 40syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 20885 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4339, 42sylibd 238 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4443reximdvva 3203 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4512, 44sylbid 239 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) → ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
465adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
473, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 20887 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇)
4810lsmless1 19622 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑧})))
4946, 31, 47, 48syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑧})))
508adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
513, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 20887 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
5210lsmless2 19623 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈) → (𝑇 (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5346, 50, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑇 (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5449, 53sstrd 3992 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5554sseld 3981 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5642, 55sylbird 259 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5756rexlimdvva 3209 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5845, 57impbid 211 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
59 r19.42v 3188 . . . 4 (∃𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6059rexbii 3091 . . 3 (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ ∃𝑦𝑇 (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
61 r19.42v 3188 . . 3 (∃𝑦𝑇 (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6260, 61bitri 274 . 2 (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6358, 62bitrdi 286 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3067  wss 3949  {csn 4632  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  SubGrpcsubg 19082  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  40933
  Copyright terms: Public domain W3C validator