Theorem lsmelval2 21353

Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmelval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmelval2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmelval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmelval2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmelval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmelval2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsmelval2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, ⊕   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦, 𝑧)   𝑁(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem lsmelval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelval2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmelval2.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
3		lsmelval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 21225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lsmelval2.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	3	lsssubg 21225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	1, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lsmelval2.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	9, 10	lsmelval 19856	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
12	5, 8, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
13	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
14	2	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
15		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
16		lsmelval2.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17	16, 3	lssel 21205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑉)
18	14, 15, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
19		lsmelval2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
20	16, 3, 19	lspsncl 21245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
21	13, 18, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 21225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	13, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
25		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
26	16, 3	lssel 21205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑉)
27	24, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	16, 3, 19	lspsncl 21245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
29	13, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
30	3	lsssubg 21225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
31	13, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	16, 19	lspsnid 21261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
33	13, 18, 32	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
34	16, 19	lspsnid 21261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
35	13, 27, 34	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
36	9, 10	lsmelvali 19857	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
37	23, 31, 33, 35, 36	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
38		eleq1a 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
39	37, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
40	3, 10	lsmcl 21351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
41	13, 21, 29, 40	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
42	16, 3, 19, 13, 41	ellspsn6 21262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
43	39, 42	sylibd 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
44	43	reximdvva 3211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
45	12, 44	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
46	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
47	3, 19, 13, 14, 15	ellspsn5 21264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇)
48	10	lsmless1 19867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
49	46, 31, 47, 48	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
50	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
51	3, 19, 13, 24, 25	ellspsn5 21264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
52	10	lsmless2 19868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
53	46, 50, 51, 52	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
54	49, 53	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
55	54	sseld 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
56	42, 55	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
57	56	rexlimdvva 3220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
58	45, 57	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
59		r19.42v 3195	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
60	59	rexbii 3110	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
61		r19.42v 3195	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
62	60, 61	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
63	58, 62	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  SubGrpcsubg 19323  LSSumclsm 19841  LModclmod 21128  LSubSpclss 21199  LSpanclspn 21239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-lsm 19843  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240

This theorem is used by:  dihjat1lem  42465