Theorem dihjat1lem 41430

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 39855 analog.) TODO: merge into dihjat1 41431? (Contributed by NM, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihjat1lem.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dihjat1lem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1lem

Dummy variables 𝑦 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → 𝑋 = { 0 })
2	1	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
3	1	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
4		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat1.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		dihjat1.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
9		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dihjat1lem.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		eldifi 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑇 ∈ 𝑉)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
13		dihjat1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihjat1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14, 7	dihlsprn 41333	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
16	9, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7, 8, 9, 16	djh02 41415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
18	4, 5, 9	dvhlmod 41112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
19		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	13, 19, 14	lspsncl 20975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	18, 12, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 20955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	6, 24	lsm02 19690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
27	17, 26	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	3, 28	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
30	2, 29	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
31	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → 𝑈 ∈ LMod)
32		dihjat1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33	4, 5, 7, 13	dihrnss 41280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
34	9, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35	13, 19	lssss 20934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
36	21, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
37	4, 7, 5, 13, 8	djhcl 41402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
38	9, 34, 36, 37	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
39	4, 5, 7, 13	dihrnss 41280	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
40	9, 38, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
42	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	9, 32, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
44	19, 24	lsmcl 21082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
45	18, 43, 21, 44	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ { 0 })
48	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
50		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	4, 5, 13, 6, 14, 7, 8, 48, 49, 50, 51	djhcvat42 41417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑋 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
53	47, 52	mpand 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
54		simprrl 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋)
55	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑈 ∈ LMod)
56	43	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
57		eldifi 4131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝑉)
58	57	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
59	13, 19, 14, 55, 56, 58	ellspsn5b 20993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋))
60	54, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
61	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
62	13, 14	lspsnid 20991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
63	55, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
64		simprrr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
65		sneq 4636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → {𝑧} = {𝑇})
66	65	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑇}))
67	66	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
68	67	sseq2d 4016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))
69	68	rspcev 3622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
70	63, 64, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
71	60, 70	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
72	71	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
73	72	reximdv2 3164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
74	53, 73	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
75	74	anim2d 612	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
76	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
77	9, 38, 76	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
78	13, 19, 14, 18, 77	ellspsn6 20992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
79	78	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
80	13, 19, 24, 14, 18, 43, 21	lsmelval2 21084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
81	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
82	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
83		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑋)
84	13, 19	lssel 20935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
85	82, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑉)
86	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
88	13, 19	lssel 20935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
89	86, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
90	4, 5, 13, 24, 14, 7, 8, 81, 85, 89	djhlsmat 41429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
91	90	sseq2d 4016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
92	91	rexbidva 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
93	92	rexbidva 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
94	93	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
95	80, 94	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
96	95	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
97	75, 79, 96	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇}))))
98	6, 19, 31, 41, 46, 97	lssssr 20952	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
99	4, 5, 13, 24, 8, 9, 34, 36	djhsumss 41409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
100	99	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
101	98, 100	eqssd 4001	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
102	30, 101	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  DIsoHcdih 41230  joinHcdjh 41396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397

This theorem is referenced by:  dihjat1  41431