Theorem dihjat1lem 41526

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 39951 analog.) TODO: merge into dihjat1 41527? (Contributed by NM, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihjat1lem.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dihjat1lem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1lem

Dummy variables 𝑦 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → 𝑋 = { 0 })
2	1	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
3	1	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
4		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat1.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		dihjat1.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
9		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dihjat1lem.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		eldifi 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑇 ∈ 𝑉)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
13		dihjat1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihjat1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14, 7	dihlsprn 41429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
16	9, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7, 8, 9, 16	djh02 41511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
18	4, 5, 9	dvhlmod 41208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
19		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	13, 19, 14	lspsncl 20910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	18, 12, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 20890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	6, 24	lsm02 19584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
27	17, 26	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	3, 28	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
30	2, 29	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
31	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → 𝑈 ∈ LMod)
32		dihjat1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33	4, 5, 7, 13	dihrnss 41376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
34	9, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35	13, 19	lssss 20869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
36	21, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
37	4, 7, 5, 13, 8	djhcl 41498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
38	9, 34, 36, 37	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
39	4, 5, 7, 13	dihrnss 41376	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
40	9, 38, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
42	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	9, 32, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
44	19, 24	lsmcl 21017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
45	18, 43, 21, 44	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ { 0 })
48	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
50		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	4, 5, 13, 6, 14, 7, 8, 48, 49, 50, 51	djhcvat42 41513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑋 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
53	47, 52	mpand 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
54		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋)
55	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑈 ∈ LMod)
56	43	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
57		eldifi 4078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝑉)
58	57	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
59	13, 19, 14, 55, 56, 58	ellspsn5b 20928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋))
60	54, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
61	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
62	13, 14	lspsnid 20926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
63	55, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
64		simprrr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
65		sneq 4583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → {𝑧} = {𝑇})
66	65	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑇}))
67	66	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
68	67	sseq2d 3962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))
69	68	rspcev 3572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
70	63, 64, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
71	60, 70	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
72	71	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
73	72	reximdv2 3142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
74	53, 73	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
75	74	anim2d 612	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
76	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
77	9, 38, 76	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
78	13, 19, 14, 18, 77	ellspsn6 20927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
79	78	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
80	13, 19, 24, 14, 18, 43, 21	lsmelval2 21019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
81	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
82	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
83		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑋)
84	13, 19	lssel 20870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
85	82, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑉)
86	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
88	13, 19	lssel 20870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
89	86, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
90	4, 5, 13, 24, 14, 7, 8, 81, 85, 89	djhlsmat 41525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
91	90	sseq2d 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
92	91	rexbidva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
93	92	rexbidva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
94	93	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
95	80, 94	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
96	95	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
97	75, 79, 96	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇}))))
98	6, 19, 31, 41, 46, 97	lssssr 20887	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
99	4, 5, 13, 24, 8, 9, 34, 36	djhsumss 41505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
100	99	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
101	98, 100	eqssd 3947	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
102	30, 101	pm2.61dane 3015	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  SubGrpcsubg 19033  LSSumclsm 19546  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  LSpanclspn 20904  HLchlt 39448  LHypclh 40082  DVecHcdvh 41176  DIsoHcdih 41326  joinHcdjh 41492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39051

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39074  df-oposet 39274  df-ol 39276  df-oml 39277  df-covers 39364  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420  df-hlat 39449  df-llines 39596  df-lplanes 39597  df-lvols 39598  df-lines 39599  df-psubsp 39601  df-pmap 39602  df-padd 39894  df-lhyp 40086  df-laut 40087  df-ldil 40202  df-ltrn 40203  df-trl 40257  df-tgrp 40841  df-tendo 40853  df-edring 40855  df-dveca 41101  df-disoa 41127  df-dvech 41177  df-dib 41237  df-dic 41271  df-dih 41327  df-doch 41446  df-djh 41493

This theorem is referenced by:  dihjat1  41527