Theorem dihjat1lem 41723

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 40148 analog.) TODO: merge into dihjat1 41724? (Contributed by NM, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihjat1lem.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dihjat1lem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1lem

Dummy variables 𝑦 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → 𝑋 = { 0 })
2	1	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
3	1	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
4		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat1.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		dihjat1.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
9		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dihjat1lem.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		eldifi 4082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑇 ∈ 𝑉)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
13		dihjat1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihjat1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14, 7	dihlsprn 41626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
16	9, 12, 15	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7, 8, 9, 16	djh02 41708	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
18	4, 5, 9	dvhlmod 41405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
19		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	13, 19, 14	lspsncl 20930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	18, 12, 20	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 20910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	18, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	6, 24	lsm02 19603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
27	17, 26	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	3, 28	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
30	2, 29	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
31	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → 𝑈 ∈ LMod)
32		dihjat1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33	4, 5, 7, 13	dihrnss 41573	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
34	9, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35	13, 19	lssss 20889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
36	21, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
37	4, 7, 5, 13, 8	djhcl 41695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
38	9, 34, 36, 37	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
39	4, 5, 7, 13	dihrnss 41573	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
40	9, 38, 39	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
42	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	9, 32, 42	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
44	19, 24	lsmcl 21037	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
45	18, 43, 21, 44	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ { 0 })
48	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49	32	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
50		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	10	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	4, 5, 13, 6, 14, 7, 8, 48, 49, 50, 51	djhcvat42 41710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑋 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
53	47, 52	mpand 696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
54		simprrl 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋)
55	18	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑈 ∈ LMod)
56	43	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
57		eldifi 4082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝑉)
58	57	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
59	13, 19, 14, 55, 56, 58	ellspsn5b 20948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋))
60	54, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
61	12	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
62	13, 14	lspsnid 20946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
63	55, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
64		simprrr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
65		sneq 4589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → {𝑧} = {𝑇})
66	65	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑇}))
67	66	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
68	67	sseq2d 3965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))
69	68	rspcev 3575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
70	63, 64, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
71	60, 70	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
72	71	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
73	72	reximdv2 3145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
74	53, 73	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
75	74	anim2d 613	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
76	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41572	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
77	9, 38, 76	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
78	13, 19, 14, 18, 77	ellspsn6 20947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
79	78	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
80	13, 19, 24, 14, 18, 43, 21	lsmelval2 21039	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
81	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
82	43	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
83		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑋)
84	13, 19	lssel 20890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
85	82, 83, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑉)
86	21	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
88	13, 19	lssel 20890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
89	86, 87, 88	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
90	4, 5, 13, 24, 14, 7, 8, 81, 85, 89	djhlsmat 41722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
91	90	sseq2d 3965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
92	91	rexbidva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
93	92	rexbidva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
94	93	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
95	80, 94	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
96	95	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
97	75, 79, 96	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇}))))
98	6, 19, 31, 41, 46, 97	lssssr 20907	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
99	4, 5, 13, 24, 8, 9, 34, 36	djhsumss 41702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
100	99	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
101	98, 100	eqssd 3950	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
102	30, 101	pm2.61dane 3018	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900  {csn 4579  ran crn 5624  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  SubGrpcsubg 19052  LSSumclsm 19565  LModclmod 20813  LSubSpclss 20884  LSpanclspn 20924  HLchlt 39645  LHypclh 40279  DVecHcdvh 41373  DIsoHcdih 41523  joinHcdjh 41689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 39248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17363  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-lsm 19567  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lvec 21057  df-lsatoms 39271  df-oposet 39471  df-ol 39473  df-oml 39474  df-covers 39561  df-ats 39562  df-atl 39593  df-cvlat 39617  df-hlat 39646  df-llines 39793  df-lplanes 39794  df-lvols 39795  df-lines 39796  df-psubsp 39798  df-pmap 39799  df-padd 40091  df-lhyp 40283  df-laut 40284  df-ldil 40399  df-ltrn 40400  df-trl 40454  df-tgrp 41038  df-tendo 41050  df-edring 41052  df-dveca 41298  df-disoa 41324  df-dvech 41374  df-dib 41434  df-dic 41468  df-dih 41524  df-doch 41643  df-djh 41690

This theorem is referenced by:  dihjat1  41724