Theorem dihjat1lem 41894

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 40319 analog.) TODO: merge into dihjat1 41895? (Contributed by NM, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihjat1lem.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dihjat1lem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1lem

Dummy variables 𝑦 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → 𝑋 = { 0 })
2	1	oveq1d 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
3	1	oveq1d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
4		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat1.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		dihjat1.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
9		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dihjat1lem.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		eldifi 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑇 ∈ 𝑉)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
13		dihjat1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihjat1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14, 7	dihlsprn 41797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
16	9, 12, 15	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7, 8, 9, 16	djh02 41879	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
18	4, 5, 9	dvhlmod 41576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
19		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	13, 19, 14	lspsncl 20967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	18, 12, 20	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 20947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	18, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	6, 24	lsm02 19642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
27	17, 26	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	3, 28	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
30	2, 29	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
31	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → 𝑈 ∈ LMod)
32		dihjat1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33	4, 5, 7, 13	dihrnss 41744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
34	9, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35	13, 19	lssss 20926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
36	21, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
37	4, 7, 5, 13, 8	djhcl 41866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
38	9, 34, 36, 37	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
39	4, 5, 7, 13	dihrnss 41744	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
40	9, 38, 39	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
42	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	9, 32, 42	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
44	19, 24	lsmcl 21074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
45	18, 43, 21, 44	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ { 0 })
48	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49	32	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
50		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	10	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	4, 5, 13, 6, 14, 7, 8, 48, 49, 50, 51	djhcvat42 41881	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑋 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
53	47, 52	mpand 696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
54		simprrl 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋)
55	18	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑈 ∈ LMod)
56	43	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
57		eldifi 4072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝑉)
58	57	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
59	13, 19, 14, 55, 56, 58	ellspsn5b 20985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋))
60	54, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
61	12	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
62	13, 14	lspsnid 20983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
63	55, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
64		simprrr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
65		sneq 4578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → {𝑧} = {𝑇})
66	65	fveq2d 6840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑇}))
67	66	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
68	67	sseq2d 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))
69	68	rspcev 3565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
70	63, 64, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
71	60, 70	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
72	71	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
73	72	reximdv2 3148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
74	53, 73	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
75	74	anim2d 613	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
76	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
77	9, 38, 76	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
78	13, 19, 14, 18, 77	ellspsn6 20984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
79	78	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
80	13, 19, 24, 14, 18, 43, 21	lsmelval2 21076	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
81	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
82	43	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
83		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑋)
84	13, 19	lssel 20927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
85	82, 83, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑉)
86	21	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
88	13, 19	lssel 20927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
89	86, 87, 88	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
90	4, 5, 13, 24, 14, 7, 8, 81, 85, 89	djhlsmat 41893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
91	90	sseq2d 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
92	91	rexbidva 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
93	92	rexbidva 3160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
94	93	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
95	80, 94	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
96	95	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
97	75, 79, 96	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇}))))
98	6, 19, 31, 41, 46, 97	lssssr 20944	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
99	4, 5, 13, 24, 8, 9, 34, 36	djhsumss 41873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
100	99	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
101	98, 100	eqssd 3940	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
102	30, 101	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ran crn 5627  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  SubGrpcsubg 19091  LSSumclsm 19604  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  HLchlt 39816  LHypclh 40450  DVecHcdvh 41544  DIsoHcdih 41694  joinHcdjh 41860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-riotaBAD 39419

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-undef 8218  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21094  df-lsatoms 39442  df-oposet 39642  df-ol 39644  df-oml 39645  df-covers 39732  df-ats 39733  df-atl 39764  df-cvlat 39788  df-hlat 39817  df-llines 39964  df-lplanes 39965  df-lvols 39966  df-lines 39967  df-psubsp 39969  df-pmap 39970  df-padd 40262  df-lhyp 40454  df-laut 40455  df-ldil 40570  df-ltrn 40571  df-trl 40625  df-tgrp 41209  df-tendo 41221  df-edring 41223  df-dveca 41469  df-disoa 41495  df-dvech 41545  df-dib 41605  df-dic 41639  df-dih 41695  df-doch 41814  df-djh 41861

This theorem is referenced by:  dihjat1  41895