Theorem dihjat1lem 42127

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 40552 analog.) TODO: merge into dihjat1 42128? (Contributed by NM, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihjat1lem.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dihjat1lem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1lem

Dummy variables 𝑦 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → 𝑋 = { 0 })
2	1	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
3	1	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
4		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat1.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		dihjat1.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
9		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dihjat1lem.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		eldifi 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑇 ∈ 𝑉)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
13		dihjat1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		dihjat1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14, 7	dihlsprn 42030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
16	9, 12, 15	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7, 8, 9, 16	djh02 42112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
18	4, 5, 9	dvhlmod 41809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
19		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	13, 19, 14	lspsncl 21076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	18, 12, 20	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 21056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	18, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	6, 24	lsm02 19742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
26	23, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
27	17, 26	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	3, 28	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } ∨ (𝑁‘{𝑇})))
30	2, 29	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
31	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → 𝑈 ∈ LMod)
32		dihjat1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33	4, 5, 7, 13	dihrnss 41977	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
34	9, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
35	13, 19	lssss 21035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
36	21, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
37	4, 7, 5, 13, 8	djhcl 42099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
38	9, 34, 36, 37	syl12anc 849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
39	4, 5, 7, 13	dihrnss 41977	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
40	9, 38, 39	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
41	40	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
42	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	9, 32, 42	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
44	19, 24	lsmcl 21182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
45	18, 43, 21, 44	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
46	45	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ { 0 })
48	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49	32	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
50		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
51	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	4, 5, 13, 6, 14, 7, 8, 48, 49, 50, 51	djhcvat42 42114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑋 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
53	47, 52	mpand 707	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
54		simprrl 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋)
55	18	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑈 ∈ LMod)
56	43	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
57		eldifi 4091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝑉)
58	57	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
59	13, 19, 14, 55, 56, 58	ellspsn5b 21094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋))
60	54, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
61	12	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ 𝑉)
62	13, 14	lspsnid 21092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
63	55, 61, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
64		simprrr 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
65		sneq 4602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → {𝑧} = {𝑇})
66	65	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑇}))
67	66	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))
68	67	sseq2d 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))
69	68	rspcev 3588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
70	63, 64, 69	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
71	60, 70	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
72	71	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
73	72	reximdv2 3181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
74	53, 73	syld 48	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
75	74	anim2d 623	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
76	4, 5, 7, 19	dihrnlss 41976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
77	9, 38, 76	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
78	13, 19, 14, 18, 77	ellspsn6 21093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
79	78	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))))
80	13, 19, 24, 14, 18, 43, 21	lsmelval2 21184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
81	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
82	43	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
83		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑋)
84	13, 19	lssel 21036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑉)
85	82, 83, 84	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 ∈ 𝑉)
86	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
87		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
88	13, 19	lssel 21036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
89	86, 87, 88	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
90	4, 5, 13, 24, 14, 7, 8, 81, 85, 89	djhlsmat 42126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))
91	90	sseq2d 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
92	91	rexbidva 3193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
93	92	rexbidva 3193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧}))))
94	93	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
95	80, 94	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
96	95	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ∨ (𝑁‘{𝑧})))))
97	75, 79, 96	3imtr4d 297	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇}))))
98	6, 19, 31, 41, 46, 97	lssssr 21053	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
99	4, 5, 13, 24, 8, 9, 34, 36	djhsumss 42106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
100	99	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})))
101	98, 100	eqssd 3960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
102	30, 101	pm2.61dane 3051	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  {csn 4592  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  SubGrpcsubg 19186  LSSumclsm 19704  LModclmod 20959  LSubSpclss 21030  LSpanclspn 21070  HLchlt 40049  LHypclh 40683  DVecHcdvh 41777  DIsoHcdih 41927  joinHcdjh 42093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-riotaBAD 39652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-0g 17494  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-lsm 19706  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lvec 21202  df-lsatoms 39675  df-oposet 39875  df-ol 39877  df-oml 39878  df-covers 39965  df-ats 39966  df-atl 39997  df-cvlat 40021  df-hlat 40050  df-llines 40197  df-lplanes 40198  df-lvols 40199  df-lines 40200  df-psubsp 40202  df-pmap 40203  df-padd 40495  df-lhyp 40687  df-laut 40688  df-ldil 40803  df-ltrn 40804  df-trl 40858  df-tgrp 41442  df-tendo 41454  df-edring 41456  df-dveca 41702  df-disoa 41728  df-dvech 41778  df-dib 41838  df-dic 41872  df-dih 41928  df-doch 42047  df-djh 42094

This theorem is referenced by:  dihjat1  42128