MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssel 19684
Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssel ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)

Proof of Theorem lssel
StepHypRef Expression
1 lssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lssss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19683 . 2 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
43sselda 3943 1 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  Basecbs 16461  LSubSpclss 19678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-ov 7133  df-lss 19679
This theorem is referenced by:  lssvsubcl  19690  lssvancl1  19691  lssvancl2  19692  lss0cl  19693  lssvacl  19701  lssvscl  19702  lssvnegcl  19703  lspsnel6  19741  lspsnel5a  19743  lssats2  19747  lsmcl  19830  lsmelval2  19832  lsmcv  19888  ocvin  20793  lsatel  36181  lsmsat  36184  lssatomic  36187  lssats  36188  lsat0cv  36209  lshpkrlem1  36286  lshpkrlem5  36290  lshpkr  36293  dihjat1lem  38604  dochsatshpb  38628  lcfrvalsnN  38717  lcfrlem4  38721  lcfrlem6  38723  lcfrlem16  38734  lcfrlem29  38747  lcfrlem35  38753  mapdval4N  38808  mapdpglem2a  38850  mapdpglem23  38870
  Copyright terms: Public domain W3C validator