Theorem lssel 20991

Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssel	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lssel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20990	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	3	sselda 3934	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  Basecbs 17235  LSubSpclss 20985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-ov 7393  df-lss 20986

This theorem is referenced by:  lssvacl  20997  lssvsubcl  20998  lssvancl1  20999  lssvancl2  21000  lss0cl  21001  lssvscl  21009  lssvnegcl  21010  ellspsn6  21048  ellspsn5  21050  lssats2  21054  lsmcl  21137  lsmelval2  21139  lsmcv  21198  ocvin  21713  lsatel  39589  lsmsat  39592  lssatomic  39595  lssats  39596  lsat0cv  39617  lshpkrlem1  39694  lshpkrlem5  39698  lshpkr  39701  dihjat1lem  42012  dochsatshpb  42036  lcfrvalsnN  42125  lcfrlem4  42129  lcfrlem6  42131  lcfrlem16  42142  lcfrlem29  42155  lcfrlem35  42161  mapdval4N  42216  mapdpglem2a  42258  mapdpglem23  42278