Theorem lssel 21121

Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssel	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lssel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 21120	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	3	sselda 3931	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  LSubSpclss 21115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416  df-lss 21116

This theorem is used by:  lssvacl  21127  lssvsubcl  21128  lssvancl1  21129  lssvancl2  21130  lss0cl  21131  lssvscl  21139  lssvnegcl  21140  ellspsn6  21178  ellspsn5  21180  lssats2  21184  lsmcl  21267  lsmelval2  21269  lsmcv  21328  ocvin  21887  lsatel  39878  lsmsat  39881  lssatomic  39884  lssats  39885  lsat0cv  39906  lshpkrlem1  39983  lshpkrlem5  39987  lshpkr  39990  dihjat1lem  42301  dochsatshpb  42325  lcfrvalsnN  42414  lcfrlem4  42418  lcfrlem6  42420  lcfrlem16  42431  lcfrlem29  42444  lcfrlem35  42450  mapdval4N  42505  mapdpglem2a  42547  mapdpglem23  42567