MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssel 20413
Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssel ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)

Proof of Theorem lssel
StepHypRef Expression
1 lssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lssss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 20412 . 2 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
43sselda 3945 1 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  Basecbs 17088  LSubSpclss 20407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-lss 20408
This theorem is referenced by:  lssvsubcl  20419  lssvancl1  20420  lssvancl2  20421  lss0cl  20422  lssvacl  20430  lssvscl  20431  lssvnegcl  20432  lspsnel6  20470  lspsnel5a  20472  lssats2  20476  lsmcl  20559  lsmelval2  20561  lsmcv  20618  ocvin  21094  lsatel  37513  lsmsat  37516  lssatomic  37519  lssats  37520  lsat0cv  37541  lshpkrlem1  37618  lshpkrlem5  37622  lshpkr  37625  dihjat1lem  39937  dochsatshpb  39961  lcfrvalsnN  40050  lcfrlem4  40054  lcfrlem6  40056  lcfrlem16  40067  lcfrlem29  40080  lcfrlem35  40086  mapdval4N  40141  mapdpglem2a  40183  mapdpglem23  40203
  Copyright terms: Public domain W3C validator