Theorem lssel 20934

Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssel	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lssel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20933	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	3	sselda 3922	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  LSubSpclss 20928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-lss 20929

This theorem is referenced by:  lssvacl  20940  lssvsubcl  20941  lssvancl1  20942  lssvancl2  20943  lss0cl  20944  lssvscl  20952  lssvnegcl  20953  ellspsn6  20991  ellspsn5  20993  lssats2  20997  lsmcl  21080  lsmelval2  21082  lsmcv  21141  ocvin  21656  lsatel  39504  lsmsat  39507  lssatomic  39510  lssats  39511  lsat0cv  39532  lshpkrlem1  39609  lshpkrlem5  39613  lshpkr  39616  dihjat1lem  41927  dochsatshpb  41951  lcfrvalsnN  42040  lcfrlem4  42044  lcfrlem6  42046  lcfrlem16  42057  lcfrlem29  42070  lcfrlem35  42076  mapdval4N  42131  mapdpglem2a  42173  mapdpglem23  42193