Theorem lssel 21205

Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssel	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lssel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 21204	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	3	sselda 3931	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  LSubSpclss 21199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7421  df-lss 21200

This theorem is used by:  lssvacl  21211  lssvsubcl  21212  lssvancl1  21213  lssvancl2  21214  lss0cl  21215  lssvscl  21223  lssvnegcl  21224  ellspsn6  21262  ellspsn5  21264  lssats2  21268  lsmcl  21351  lsmelval2  21353  lsmcv  21412  ocvin  21973  lsatel  40042  lsmsat  40045  lssatomic  40048  lssats  40049  lsat0cv  40070  lshpkrlem1  40147  lshpkrlem5  40151  lshpkr  40154  dihjat1lem  42465  dochsatshpb  42489  lcfrvalsnN  42578  lcfrlem4  42582  lcfrlem6  42584  lcfrlem16  42595  lcfrlem29  42608  lcfrlem35  42614  mapdval4N  42669  mapdpglem2a  42711  mapdpglem23  42731