Theorem lssel 20692

Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssel	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lssel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20691	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	3	sselda 3982	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  Basecbs 17148  LSubSpclss 20686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-lss 20687

This theorem is referenced by:  lssvsubcl  20698  lssvancl1  20699  lssvancl2  20700  lss0cl  20701  lssvacl  20709  lssvscl  20710  lssvnegcl  20711  lspsnel6  20749  lspsnel5a  20751  lssats2  20755  lsmcl  20838  lsmelval2  20840  lsmcv  20899  ocvin  21446  lsatel  38178  lsmsat  38181  lssatomic  38184  lssats  38185  lsat0cv  38206  lshpkrlem1  38283  lshpkrlem5  38287  lshpkr  38290  dihjat1lem  40602  dochsatshpb  40626  lcfrvalsnN  40715  lcfrlem4  40719  lcfrlem6  40721  lcfrlem16  40732  lcfrlem29  40745  lcfrlem35  40751  mapdval4N  40806  mapdpglem2a  40848  mapdpglem23  40868