Theorem ellspsn5b 20994

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn5b.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5b.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn5b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5b	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem ellspsn5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5b.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		ellspsn5b.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5b.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		ellspsn5b.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		ellspsn5b.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ellspsn5b.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	ellspsn6 20993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 707	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971

This theorem is referenced by:  ellspsn5  20995  lspprid1  20996  lspsnss2  21004  lsmelpr  21091  lspsncmp  21119  lspsnne1  21120  lspsnne2  21121  lspsneq  21125  lspindpi  21135  islbs2  21157  lindsadd  37621  lindsenlbs  37623  lsatelbN  39008  lsmsat  39010  lsatfixedN  39011  l1cvpat  39056  dia2dimlem5  41071  dochsncom  41385  dihjat1lem  41431  dvh4dimlem  41446  lclkrlem2a  41510  lcfrlem6  41550  lcfrlem20  41565  lcfrlem26  41571  lcfrlem36  41581  mapdval2N  41633  mapdrvallem2  41648  mapdindp  41674  mapdh6aN  41738  lspindp5  41773  mapdh8ab  41780  mapdh8e  41787  hdmap1l6a  41812  hdmaprnlem3eN  41861  hdmapoc  41934