Theorem ellspsn5b 20877

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn5b.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5b.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn5b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5b	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem ellspsn5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5b.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		ellspsn5b.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5b.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		ellspsn5b.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		ellspsn5b.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ellspsn5b.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	ellspsn6 20876	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 707	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  LModclmod 20742  LSubSpclss 20813  LSpanclspn 20853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854

This theorem is referenced by:  ellspsn5  20878  lspprid1  20879  lspsnss2  20887  lsmelpr  20974  lspsncmp  21002  lspsnne1  21003  lspsnne2  21004  lspsneq  21008  lspindpi  21018  islbs2  21040  lindsadd  37580  lindsenlbs  37582  lsatelbN  38972  lsmsat  38974  lsatfixedN  38975  l1cvpat  39020  dia2dimlem5  41035  dochsncom  41349  dihjat1lem  41395  dvh4dimlem  41410  lclkrlem2a  41474  lcfrlem6  41514  lcfrlem20  41529  lcfrlem26  41535  lcfrlem36  41545  mapdval2N  41597  mapdrvallem2  41612  mapdindp  41638  mapdh6aN  41702  lspindp5  41737  mapdh8ab  41744  mapdh8e  41751  hdmap1l6a  41776  hdmaprnlem3eN  41825  hdmapoc  41898