Theorem ellspsn5b 20958

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn5b.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5b.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn5b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5b	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem ellspsn5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5b.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		ellspsn5b.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5b.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		ellspsn5b.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		ellspsn5b.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ellspsn5b.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	ellspsn6 20957	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 708	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894  LSpanclspn 20934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935

This theorem is referenced by:  ellspsn5  20959  lspprid1  20960  lspsnss2  20968  lsmelpr  21055  lspsncmp  21083  lspsnne1  21084  lspsnne2  21085  lspsneq  21089  lspindpi  21099  islbs2  21121  lindsadd  37864  lindsenlbs  37866  lsatelbN  39382  lsmsat  39384  lsatfixedN  39385  l1cvpat  39430  dia2dimlem5  41444  dochsncom  41758  dihjat1lem  41804  dvh4dimlem  41819  lclkrlem2a  41883  lcfrlem6  41923  lcfrlem20  41938  lcfrlem26  41944  lcfrlem36  41954  mapdval2N  42006  mapdrvallem2  42021  mapdindp  42047  mapdh6aN  42111  lspindp5  42146  mapdh8ab  42153  mapdh8e  42160  hdmap1l6a  42185  hdmaprnlem3eN  42234  hdmapoc  42307