Theorem ellspsn5b 20946

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn5b.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5b.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn5b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5b	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem ellspsn5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5b.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		ellspsn5b.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5b.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		ellspsn5b.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		ellspsn5b.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ellspsn5b.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	ellspsn6 20945	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 707	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923

This theorem is referenced by:  ellspsn5  20947  lspprid1  20948  lspsnss2  20956  lsmelpr  21043  lspsncmp  21071  lspsnne1  21072  lspsnne2  21073  lspsneq  21077  lspindpi  21087  islbs2  21109  lindsadd  37814  lindsenlbs  37816  lsatelbN  39266  lsmsat  39268  lsatfixedN  39269  l1cvpat  39314  dia2dimlem5  41328  dochsncom  41642  dihjat1lem  41688  dvh4dimlem  41703  lclkrlem2a  41767  lcfrlem6  41807  lcfrlem20  41822  lcfrlem26  41828  lcfrlem36  41838  mapdval2N  41890  mapdrvallem2  41905  mapdindp  41931  mapdh6aN  41995  lspindp5  42030  mapdh8ab  42037  mapdh8e  42044  hdmap1l6a  42069  hdmaprnlem3eN  42118  hdmapoc  42191