Theorem ellspsn5b 21127

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5b.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ellspsn5b.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5b.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5b.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5b.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn5b.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5b	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem ellspsn5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5b.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		ellspsn5b.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5b.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		ellspsn5b.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		ellspsn5b.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ellspsn5b.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	ellspsn6 21126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
8	1, 7	mpbirand 719	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  LModclmod 20992  LSubSpclss 21063  LSpanclspn 21103

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104

This theorem is used by:  ellspsn5  21128  lspprid1  21129  lspsnss2  21137  lsmelpr  21223  lspsncmp  21251  lspsnne1  21252  lspsnne2  21253  lspsneq  21257  lspindpi  21267  islbs2  21289  lindsadd  38292  lindsenlbs  38294  lsatelbN  39808  lsmsat  39810  lsatfixedN  39811  l1cvpat  39856  dia2dimlem5  41870  dochsncom  42184  dihjat1lem  42230  dvh4dimlem  42245  lclkrlem2a  42309  lcfrlem6  42349  lcfrlem20  42364  lcfrlem26  42370  lcfrlem36  42380  mapdval2N  42432  mapdrvallem2  42447  mapdindp  42473  mapdh6aN  42537  lspindp5  42572  mapdh8ab  42579  mapdh8e  42586  hdmap1l6a  42611  hdmaprnlem3eN  42660  hdmapoc  42733