Theorem elmaprd 32770

Description: Deduction associated with elmapd 8789. Reverse direction of elmapdd 8790. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmaprd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmaprd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmaprd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
elmaprd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem elmaprd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmaprd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
2		elmaprd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmaprd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4	2, 3	elmapd 8789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777

This theorem is referenced by:  elrgspn  33340  elrgspnsubrun  33343  extvfvvcl  33712  extvfvcl  33713  mplmulmvr  33716  evlvarval  33718  evlextv  33719  mplvrpmlem  33720  mplvrpmga  33722  mplvrpmmhm  33723  mplvrpmrhm  33724  psrmonprod  33729  esplymhp  33745  esplyfv1  33746  esplysply  33748  esplyfval3  33749  esplyfval1  33750  esplyfvaln  33751  esplyind  33752  vieta  33757  fldextrspunlsplem  33851  fldextrspunlsp  33852  extdgfialg  33872