Theorem elmaprd 32965

Description: Deduction associated with elmapd 8836. Reverse direction of elmapdd 8837. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmaprd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmaprd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmaprd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
elmaprd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem elmaprd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmaprd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
2		elmaprd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmaprd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4	2, 3	elmapd 8836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
5	1, 4	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825

This theorem is referenced by:  elrgspn  33506  elrgspnsubrun  33509  selvply1rhmlema  33852  selvply1rhmlemb  33853  selvply1rhmlem1  33854  selvply1rhmlem2  33855  selvply1rhmlem4  33857  selvply1rhm0  33860  extvfvvcl  33869  extvfvcl  33870  mplmulmvr  33873  evlvarval  33875  evlextv  33876  mplvrpmlem  33877  mplvrpmga  33879  mplvrpmmhm  33880  mplvrpmrhm  33881  psrmonprod  33886  esplymhp  33902  esplyfv1  33903  esplysply  33905  esplyfval3  33906  esplyfval1  33907  esplyfvaln  33908  esplyind  33909  vieta  33914  fldextrspunlsplem  34007  fldextrspunlsp  34008  extdgfialg  34028