Theorem elmaprd 32609

Description: Deduction associated with elmapd 8815. Reverse direction of elmapdd 8816. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmaprd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmaprd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmaprd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
elmaprd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem elmaprd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmaprd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
2		elmaprd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmaprd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4	2, 3	elmapd 8815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6509  (class class class)co 7389   ↑_m cmap 8801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-map 8803

This theorem is referenced by:  elrgspn  33203  elrgspnsubrun  33206  fldextrspunlsplem  33674  fldextrspunlsp  33675