Theorem elmaprd 32759

Description: Deduction associated with elmapd 8777. Reverse direction of elmapdd 8778. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmaprd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmaprd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmaprd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
elmaprd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem elmaprd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmaprd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
2		elmaprd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmaprd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4	2, 3	elmapd 8777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
5	1, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765

This theorem is referenced by:  elrgspn  33328  elrgspnsubrun  33331  extvfvvcl  33700  extvfvcl  33701  mplmulmvr  33704  evlvarval  33706  evlextv  33707  mplvrpmlem  33708  mplvrpmga  33710  mplvrpmmhm  33711  mplvrpmrhm  33712  esplymhp  33726  esplyfv1  33727  esplysply  33729  esplyfval3  33730  esplyind  33731  vieta  33736  fldextrspunlsplem  33830  fldextrspunlsp  33831  extdgfialg  33851