Theorem elmaprd 8908

Description: Deduction associated with elmapd 8898. Reverse direction of elmapdd 8899. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.) Removed redundant hypotheses. (Revised by SN, 30-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmaprd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
elmaprd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem elmaprd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmaprd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
2		elmapi 8907	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-map 8887

This theorem is used by:  elcgrabasi  29432  elrgspn  33906  elrgspnsubrun  33909  selvply1rhmlema  34261  selvply1rhmlemb  34262  selvply1rhmlem1  34263  selvply1rhmlem2  34264  selvply1rhmlem4  34266  selvply1rhm0  34269  extvfvcl  34279  mplmulmvr  34282  evlvarval  34284  evlextv  34285  mplvrpmlem  34286  mplvrpmga  34288  mplvrpmmhm  34289  mplvrpmrhm  34290  psrmonprod  34295  esplymhp  34311  esplyfv1  34312  esplysply  34314  esplyfval3  34315  esplyfval1  34316  esplyfvaln  34317  esplyind  34318  vieta  34323  fedgmul  34374  fldextrspunlsplem  34416  fldextrspunlsp  34417  extdgfialg  34437  linplyfv  49711  prelrrx2bd  50157  ixpovf  50528