Theorem elmaprd 8875

Description: Deduction associated with elmapd 8865. Reverse direction of elmapdd 8866. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.) Removed redundant hypotheses. (Revised by SN, 30-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmaprd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
elmaprd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem elmaprd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmaprd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
2		elmapi 8874	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6537  (class class class)co 7422   ↑_m cmap 8852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-map 8854

This theorem is used by:  elcgrabasi  29382  elrgspn  33855  elrgspnsubrun  33858  selvply1rhmlema  34198  selvply1rhmlemb  34199  selvply1rhmlem1  34200  selvply1rhmlem2  34201  selvply1rhmlem4  34203  selvply1rhm0  34206  extvfvcl  34216  mplmulmvr  34219  evlvarval  34221  evlextv  34222  mplvrpmlem  34223  mplvrpmga  34225  mplvrpmmhm  34226  mplvrpmrhm  34227  psrmonprod  34232  esplymhp  34248  esplyfv1  34249  esplysply  34251  esplyfval3  34252  esplyfval1  34253  esplyfvaln  34254  esplyind  34255  vieta  34260  fedgmul  34311  fldextrspunlsplem  34353  fldextrspunlsp  34354  extdgfialg  34374  prelrrx2bd  49933  ixpovf  50304