Theorem elmaprd 8863

Description: Deduction associated with elmapd 8853. Reverse direction of elmapdd 8854. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.) Removed redundant hypotheses. (Revised by SN, 30-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmaprd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
elmaprd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem elmaprd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmaprd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
2		elmapi 8862	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6533  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8842

This theorem is used by:  elcgrabasi  29368  elrgspn  33800  elrgspnsubrun  33803  selvply1rhmlema  34143  selvply1rhmlemb  34144  selvply1rhmlem1  34145  selvply1rhmlem2  34146  selvply1rhmlem4  34148  selvply1rhm0  34151  extvfvcl  34161  mplmulmvr  34164  evlvarval  34166  evlextv  34167  mplvrpmlem  34168  mplvrpmga  34170  mplvrpmmhm  34171  mplvrpmrhm  34172  psrmonprod  34177  esplymhp  34193  esplyfv1  34194  esplysply  34196  esplyfval3  34197  esplyfval1  34198  esplyfvaln  34199  esplyind  34200  vieta  34205  fldextrspunlsplem  34298  fldextrspunlsp  34299  extdgfialg  34319