Theorem elmaprd 32962

Description: Deduction associated with elmapd 8833. Reverse direction of elmapdd 8834. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmaprd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmaprd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elmaprd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
elmaprd	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem elmaprd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmaprd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴))
2		elmaprd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmaprd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4	2, 3	elmapd 8833	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
5	1, 4	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ⟶wf 6530  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8822

This theorem is referenced by:  elrgspn  33503  elrgspnsubrun  33506  selvply1rhmlema  33849  selvply1rhmlemb  33850  selvply1rhmlem1  33851  selvply1rhmlem2  33852  selvply1rhmlem4  33854  selvply1rhm0  33857  extvfvvcl  33866  extvfvcl  33867  mplmulmvr  33870  evlvarval  33872  evlextv  33873  mplvrpmlem  33874  mplvrpmga  33876  mplvrpmmhm  33877  mplvrpmrhm  33878  psrmonprod  33883  esplymhp  33899  esplyfv1  33900  esplysply  33902  esplyfval3  33903  esplyfval1  33904  esplyfvaln  33905  esplyind  33906  vieta  33911  fldextrspunlsplem  34004  fldextrspunlsp  34005  extdgfialg  34025