Theorem mplvrpmlem 33692

Description: Lemma for mplvrpmga 33694 and others. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmlem.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
mplvrpmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmlem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Distinct variable groups:   𝐷,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑆(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5089	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0))
2		nn0ex 12408	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
4		mplvrpmlem.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4021	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
6		mplvrpmlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
7	5, 6	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
8	4, 3, 7	elmaprd 32742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
9		mplvrpmlem.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		mplvrpmlem.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
11		mplvrpmlem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
12	10, 11	symgbasf1o 19308	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
14		f1of 6772	. . . . 5 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
16	8, 15	fcod 6685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
17	3, 4, 16	elmapdd 8779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
18		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
19	18	elrab 3635	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0))
20	19	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑋 finSupp 0)
21	6, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
22		f1of1 6771	. . . 4 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
23	13, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
24		0nn0 12417	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
26	21, 23, 25, 6	fsuppco 9306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0)
27	1, 17, 26	elrabd 3637	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  –1-1→wf1 6487  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764   finSupp cfsupp 9265  0cc0 11027  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137  SymGrpcsymg 19302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-tset 17197  df-efmnd 18795  df-symg 19303

This theorem is referenced by:  mplvrpmrhm  33696  esplysply  33720