Theorem mplvrpmlem 33687

Description: Lemma for mplvrpmga 33689 and others. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmlem.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
mplvrpmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmlem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Distinct variable groups:   𝐷,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑆(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5100	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0))
2		nn0ex 12409	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
4		mplvrpmlem.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4031	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
6		mplvrpmlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
7	5, 6	sselid 3930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
8	4, 3, 7	elmaprd 32738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
9		mplvrpmlem.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		mplvrpmlem.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
11		mplvrpmlem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
12	10, 11	symgbasf1o 19306	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
14		f1of 6773	. . . . 5 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
16	8, 15	fcod 6686	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
17	3, 4, 16	elmapdd 8780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
18		breq1 5100	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
19	18	elrab 3645	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0))
20	19	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑋 finSupp 0)
21	6, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
22		f1of1 6772	. . . 4 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
23	13, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
24		0nn0 12418	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
26	21, 23, 25, 6	fsuppco 9307	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0)
27	1, 17, 26	elrabd 3647	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3398  Vcvv 3439   class class class wbr 5097   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6487  –1-1→wf1 6488  –1-1-onto→wf1o 6490  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8765   finSupp cfsupp 9266  0cc0 11028  ℕ₀cn0 12403  Basecbs 17138  SymGrpcsymg 19300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-efmnd 18796  df-symg 19301

This theorem is referenced by:  mplvrpmrhm  33691  esplysply  33708