Theorem mplvrpmlem 33903

Description: Lemma for mplvrpmga 33905 and others. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmlem.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
mplvrpmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmlem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Distinct variable groups:   𝐷,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑆(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5117	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0))
2		nn0ex 12513	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
4		mplvrpmlem.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4042	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
6		mplvrpmlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
7	5, 6	sselid 3943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
8	4, 3, 7	elmaprd 32995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
9		mplvrpmlem.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		mplvrpmlem.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
11		mplvrpmlem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
12	10, 11	symgbasf1o 19448	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
13	9, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
14		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
16	8, 15	fcod 6735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
17	3, 4, 16	elmapdd 8841	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
18		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
19	18	elrab 3658	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0))
20	19	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑋 finSupp 0)
21	6, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
22		f1of1 6823	. . . 4 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
23	13, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
24		0nn0 12522	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
26	21, 23, 25, 6	fsuppco 9365	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0)
27	1, 17, 26	elrabd 3660	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  {crab 3423  Vcvv 3462   class class class wbr 5114   ∘ ccom 5669  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827   finSupp cfsupp 9324  0cc0 11103  ℕ₀cn0 12507  Basecbs 17272  SymGrpcsymg 19442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-tset 17332  df-efmnd 18931  df-symg 19443

This theorem is referenced by:  mplvrpmrhm  33907  esplysply  33931