Theorem mplvrpmlem 33842

Description: Lemma for mplvrpmga 33844 and others. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmlem.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
mplvrpmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmlem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Distinct variable groups:   𝐷,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑆(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5105	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0))
2		nn0ex 12489	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
4		mplvrpmlem.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4035	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
6		mplvrpmlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
7	5, 6	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
8	4, 3, 7	elmaprd 32884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
9		mplvrpmlem.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		mplvrpmlem.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
11		mplvrpmlem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
12	10, 11	symgbasf1o 19417	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
14		f1of 6808	. . . . 5 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
16	8, 15	fcod 6719	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
17	3, 4, 16	elmapdd 8824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
18		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
19	18	elrab 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0))
20	19	simprbi 501	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑋 finSupp 0)
21	6, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
22		f1of1 6807	. . . 4 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
23	13, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
24		0nn0 12498	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
26	21, 23, 25, 6	fsuppco 9350	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0)
27	1, 17, 26	elrabd 3654	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416  Vcvv 3456   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5653  ⟶wf 6519  –1-1→wf1 6520  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ↑_m cmap 8810   finSupp cfsupp 9309  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12483  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-tset 17307  df-efmnd 18905  df-symg 19412

This theorem is referenced by:  mplvrpmrhm  33846  esplysply  33870