Theorem mplvrpmlem 33706

Description: Lemma for mplvrpmga 33708 and others. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmlem.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
mplvrpmlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmlem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Distinct variable groups:   𝐷,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑆(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5089	. 2 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0))
2		nn0ex 12438	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
4		mplvrpmlem.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4021	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
6		mplvrpmlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
7	5, 6	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
8	4, 3, 7	elmaprd 32772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
9		mplvrpmlem.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		mplvrpmlem.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
11		mplvrpmlem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
12	10, 11	symgbasf1o 19345	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
14		f1of 6776	. . . . 5 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
16	8, 15	fcod 6689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
17	3, 4, 16	elmapdd 8783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
18		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
19	18	elrab 3635	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp 0))
20	19	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑋 finSupp 0)
21	6, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
22		f1of1 6775	. . . 4 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
23	13, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
24		0nn0 12447	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
26	21, 23, 25, 6	fsuppco 9310	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) finSupp 0)
27	1, 17, 26	elrabd 3637	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ∘ ccom 5630  ⟶wf 6490  –1-1→wf1 6491  –1-1-onto→wf1o 6493  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ↑_m cmap 8768   finSupp cfsupp 9269  0cc0 11033  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  SymGrpcsymg 19339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-tset 17234  df-efmnd 18832  df-symg 19340

This theorem is referenced by:  mplvrpmrhm  33710  esplysply  33734