Theorem esplysply 33765

Description: The 𝐾-th elementary symmetric polynomial is symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
esplysply	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplysply

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. 2 ⊢ (SymGrp‘𝐼) = (SymGrp‘𝐼)
2		eqid 2741	. 2 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) = (Base‘(SymGrp‘𝐼))
3		eqid 2741	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		esplyfv.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5		esplyfv.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
6		esplyfv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		esplyfv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
8		elfznn0 13569	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	4, 5, 6, 9, 3	esplympl 33761	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
11	5	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
12		nn0ex 12438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
14	4	ssrab3 4015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
16	15	sselda 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
17	11, 13, 16	elmaprd 32774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
18	17	fdmd 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = 𝐼)
19		simplr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
20	1, 2	symgbasf1o 19344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) → 𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
22		f1ofo 6777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑝:𝐼–onto→𝐼)
23		forn 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–onto→𝐼 → ran 𝑝 = 𝐼)
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran 𝑝 = 𝐼)
25	18, 24	eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = ran 𝑝)
26		rncoeq 5930	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑥 = ran 𝑝 → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
28	27	sseq1d 3947	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑥 ⊆ {0, 1}))
29		f1ocnv 6782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → ◡𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
30		f1of1 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → ◡𝑝:𝐼–1-1→𝐼)
31	21, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ◡𝑝:𝐼–1-1→𝐼)
32		cnvimass 6040	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ dom 𝑥
33	32, 17	fssdm 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ 𝐼)
34	31, 33, 11	hashimaf1 32905	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
35		c0ex 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
37		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
38		f1of 6770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
39	37, 20, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
40	39	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
41	17, 40	fcod 6683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0)
42		fsuppeq 8117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0 → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0}))))
43	42	imp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
44	11, 36, 41, 43	syl21anc 844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
45		cnvco 5833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑥 ∘ 𝑝) = (◡𝑝 ∘ ◡𝑥)
46	45	imaeq1i 6015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0}))
47		imaco 6205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
48	46, 47	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
49	44, 48	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
50	49	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))))
51		fsuppeq 8117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → (𝑥:𝐼⟶ℕ0 → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
52	51	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
53	11, 36, 17, 52	syl21anc 844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
54	53	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑥 supp 0)) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
55	34, 50, 54	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(𝑥 supp 0)))
56	55	eqeq1d 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾))
57	28, 56	anbi12d 639	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾)))
58	57	ifbid 4480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
59	6	ad2antrr 733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
60	7	ad2antrr 733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
61		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
62	61, 4	eleqtrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
63	1, 2, 11, 19, 62	mplvrpmlem 33737	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
64	63, 4	eleqtrrdi 2852	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ 𝐷)
65		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
66		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
67	4, 11, 59, 60, 64, 65, 66	esplyfv 33764	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
68	4, 11, 59, 60, 61, 65, 66	esplyfv 33764	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
69	58, 67, 68	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥))
70	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 69	issply 33755	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  Vcvv 3433   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  ifcif 4456  {csn 4557  {cpr 4559   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5619  dom cdm 5620  ran crn 5621   “ cima 5623   ∘ ccom 5624  ⟶wf 6484  –1-1→wf1 6485  –onto→wfo 6486  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  0cc0 11034  1c1 11035  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ♯chash 14287  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  SymGrpcsymg 19338  1_rcur 20156  Ringcrg 20208   mPoly cmpl 21884  SymPolycsply 33749  eSymPolycesply 33750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-addf 11113  ax-mulf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-ind 12155  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-efmnd 18832  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-ga 19259  df-symg 19339  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-cnfld 21351  df-zring 21425  df-zrh 21481  df-psr 21887  df-mpl 21889  df-fxp 33247  df-sply 33751  df-esply 33752

This theorem is referenced by: (None)