Theorem esplysply 33560

Description: The 𝐾-th elementary symmetric polynomial is symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
esplysply	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplysply

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (SymGrp‘𝐼) = (SymGrp‘𝐼)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) = (Base‘(SymGrp‘𝐼))
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		esplyfv.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5		esplyfv.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
6		esplyfv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		esplyfv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
8		elfznn0 13511	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	4, 5, 6, 9, 3	esplympl 33556	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
11	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
12		nn0ex 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
14	4	ssrab3 4029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
16	15	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
17	11, 13, 16	elmaprd 32613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
18	17	fdmd 6656	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = 𝐼)
19		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
20	1, 2	symgbasf1o 19241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) → 𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
22		f1ofo 6765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑝:𝐼–onto→𝐼)
23		forn 6733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–onto→𝐼 → ran 𝑝 = 𝐼)
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran 𝑝 = 𝐼)
25	18, 24	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = ran 𝑝)
26		rncoeq 5917	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑥 = ran 𝑝 → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
28	27	sseq1d 3963	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑥 ⊆ {0, 1}))
29		f1ocnv 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → ◡𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
30		f1of1 6757	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → ◡𝑝:𝐼–1-1→𝐼)
31	21, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ◡𝑝:𝐼–1-1→𝐼)
32		cnvimass 6027	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ dom 𝑥
33	32, 17	fssdm 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ 𝐼)
34	31, 33, 11	hashimaf1 32748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
35		c0ex 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
38		f1of 6758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
39	37, 20, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
41	17, 40	fcod 6671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0)
42		fsuppeq 8099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0 → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0}))))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
44	11, 36, 41, 43	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
45		cnvco 5822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑥 ∘ 𝑝) = (◡𝑝 ∘ ◡𝑥)
46	45	imaeq1i 6002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0}))
47		imaco 6194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
48	46, 47	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
49	44, 48	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
50	49	fveq2d 6820	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))))
51		fsuppeq 8099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → (𝑥:𝐼⟶ℕ0 → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
52	51	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
53	11, 36, 17, 52	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
54	53	fveq2d 6820	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑥 supp 0)) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
55	34, 50, 54	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(𝑥 supp 0)))
56	55	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾))
57	28, 56	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾)))
58	57	ifbid 4496	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
59	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
60	7	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
61		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
62	61, 4	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
63	1, 2, 11, 19, 62	mplvrpmlem 33541	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
64	63, 4	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ 𝐷)
65		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
66		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
67	4, 11, 59, 60, 64, 65, 66	esplyfv 33559	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
68	4, 11, 59, 60, 61, 65, 66	esplyfv 33559	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
69	58, 67, 68	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥))
70	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 69	issply 33552	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3392  Vcvv 3433   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4472  {csn 4573  {cpr 4575   class class class wbr 5088  ^◡ccnv 5612  dom cdm 5613  ran crn 5614   “ cima 5616   ∘ ccom 5617  ⟶wf 6472  –1-1→wf1 6473  –onto→wfo 6474  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   supp csupp 8084   ↑_m cmap 8744  Fincfn 8863   finSupp cfsupp 9239  0cc0 10997  1c1 10998  ℕ₀cn0 12372  ...cfz 13398  ♯chash 14225  Basecbs 17107  0_gc0g 17330  SymGrpcsymg 19235  1_rcur 20053  Ringcrg 20105   mPoly cmpl 21797  SymPolycsply 33546  eSymPolycesply 33547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-addf 11076  ax-mulf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-oadd 8383  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-rp 12882  df-fz 13399  df-seq 13897  df-fac 14169  df-bc 14198  df-hash 14226  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-0g 17332  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mhm 18644  df-submnd 18645  df-efmnd 18730  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-mulg 18934  df-subg 18989  df-ghm 19079  df-ga 19156  df-symg 19236  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-cring 20108  df-rhm 20344  df-subrng 20415  df-subrg 20439  df-cnfld 21246  df-zring 21338  df-zrh 21394  df-psr 21800  df-mpl 21802  df-ind 32787  df-fxp 33101  df-sply 33548  df-esply 33549

This theorem is referenced by: (None)