Theorem esplysply 34245

Description: The 𝐾-th elementary symmetric polynomial is symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
esplysply	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplysply

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (SymGrp‘𝐼) = (SymGrp‘𝐼)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) = (Base‘(SymGrp‘𝐼))
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		esplyfv.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5		esplyfv.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
6		esplyfv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		esplyfv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
8		elfznn0 13754	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	4, 5, 6, 9, 3	esplympl 34241	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
11	4	ssrab3 4007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
13	12	sselda 3908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
14	13	elmaprd 8870	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
15	14	fdmd 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = 𝐼)
16		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
17	1, 2	symgbasf1o 19589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) → 𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
19		f1ofo 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑝:𝐼–onto→𝐼)
20		forn 6799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–onto→𝐼 → ran 𝑝 = 𝐼)
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran 𝑝 = 𝐼)
22	15, 21	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = ran 𝑝)
23		rncoeq 5962	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑥 = ran 𝑝 → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
24	22, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
25	24	sseq1d 3939	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑥 ⊆ {0, 1}))
26		f1ocnv 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → ◡𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
27		f1of1 6823	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → ◡𝑝:𝐼–1-1→𝐼)
28	18, 26, 27	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ◡𝑝:𝐼–1-1→𝐼)
29		cnvimass 6198	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ dom 𝑥
30	29, 14	fssdm 6729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ 𝐼)
31	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
32	28, 30, 31	hashimaf1 33444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
33		c0ex 11300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
36		f1of 6824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
37	35, 17, 36	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
39	14, 38	fcod 6735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0)
40		fsuppeq 8192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0 → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0}))))
41	40	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
42	31, 34, 39, 41	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
43		cnvco 5866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑥 ∘ 𝑝) = (◡𝑝 ∘ ◡𝑥)
44	43	imaeq1i 6048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0}))
45		imaco 6252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
46	44, 45	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
47	42, 46	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
48	47	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))))
49		fsuppeq 8192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → (𝑥:𝐼⟶ℕ0 → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
50	49	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
51	31, 34, 14, 50	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
52	51	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑥 supp 0)) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
53	32, 48, 52	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(𝑥 supp 0)))
54	53	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾))
55	25, 54	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾)))
56	55	ifbid 4505	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
57	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
58	7	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
59		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
60	59, 4	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61	1, 2, 31, 16, 60	mplvrpmlem 34217	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
62	61, 4	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ 𝐷)
63		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
64		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	4, 31, 57, 58, 62, 63, 64	esplyfv 34244	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
66	4, 31, 57, 58, 59, 63, 64	esplyfv 34244	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
67	56, 65, 66	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 67	issply 34235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ifcif 4481  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  1c1 11201  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  ♯chash 14474  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  SymGrpcsymg 19583  1_rcur 20407  Ringcrg 20459   mPoly cmpl 22214  SymPolycsply 34229  eSymPolycesply 34230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-ind 12321  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-seq 14145  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-ga 19504  df-symg 19584  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-fxp 33767  df-sply 34231  df-esply 34232

This theorem is used by: (None)