Theorem esplysply 34273

Description: The 𝐾-th elementary symmetric polynomial is symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
esplysply	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplysply

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (SymGrp‘𝐼) = (SymGrp‘𝐼)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) = (Base‘(SymGrp‘𝐼))
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		esplyfv.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5		esplyfv.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
6		esplyfv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		esplyfv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
8		elfznn0 13781	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	4, 5, 6, 9, 3	esplympl 34269	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
11	4	ssrab3 4010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
13	12	sselda 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
14	13	elmaprd 8898	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
15	14	fdmd 6742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = 𝐼)
16		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
17	1, 2	symgbasf1o 19619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) → 𝑝:𝐼⟶1-1onto𝐼)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼⟶1-1onto𝐼)
19		f1ofo 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼⟶1-1onto𝐼 → 𝑝:𝐼⟶onto𝐼)
20		forn 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼⟶onto𝐼 → ran 𝑝 = 𝐼)
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran 𝑝 = 𝐼)
22	15, 21	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = ran 𝑝)
23		rncoeq 5972	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑥 = ran 𝑝 → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
24	22, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
25	24	sseq1d 3944	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑥 ⊆ {0, 1}))
26		f1ocnv 6859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼⟶1-1onto𝐼 → ◡𝑝:𝐼⟶1-1onto𝐼)
27		f1of1 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑝:𝐼⟶1-1onto𝐼 → ◡𝑝:𝐼⟶1-1𝐼)
28	18, 26, 27	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ◡𝑝:𝐼⟶1-1𝐼)
29		cnvimass 6211	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ dom 𝑥
30	29, 14	fssdm 6751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ 𝐼)
31	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
32	28, 30, 31	hashimaf1 33472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
33		c0ex 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
36		f1of 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝:𝐼⟶1-1onto𝐼 → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
37	35, 17, 36	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
39	14, 38	fcod 6757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0)
40		fsuppeq 8220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0 → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0}))))
41	40	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
42	31, 34, 39, 41	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
43		cnvco 5874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑥 ∘ 𝑝) = (◡𝑝 ∘ ◡𝑥)
44	43	imaeq1i 6061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0}))
45		imaco 6265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
46	44, 45	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
47	42, 46	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
48	47	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))))
49		fsuppeq 8220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → (𝑥:𝐼⟶ℕ0 → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
50	49	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
51	31, 34, 14, 50	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
52	51	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑥 supp 0)) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
53	32, 48, 52	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(𝑥 supp 0)))
54	53	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾))
55	25, 54	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾)))
56	55	ifbid 4509	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
57	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
58	7	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
59		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
60	59, 4	eleqtrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
61	1, 2, 31, 16, 60	mplvrpmlem 34245	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
62	61, 4	eleqtrrdi 2875	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ 𝐷)
63		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
64		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	4, 31, 57, 58, 62, 63, 64	esplyfv 34272	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
66	4, 31, 57, 58, 59, 63, 64	esplyfv 34272	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
67	56, 65, 66	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 67	issply 34263	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ⟶1-1wf1 6555  ⟶ontowfo 6556  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   supp csupp 8204   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001   finSupp cfsupp 9381  0cc0 11227  1c1 11228  ℕ₀cn0 12633  ...cfz 13666  ♯chash 14501  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  SymGrpcsymg 19613  1_rcur 20437  Ringcrg 20489   mPoly cmpl 22244  SymPolycsply 34257  eSymPolycesply 34258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-ind 12348  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-seq 14172  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-efmnd 19094  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-ga 19534  df-symg 19614  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-cnfld 21709  df-zring 21783  df-zrh 21839  df-psr 22247  df-mpl 22249  df-fxp 33795  df-sply 34259  df-esply 34260

This theorem is used by: (None)