Theorem esplysply 33870

Description: The 𝐾-th elementary symmetric polynomial is symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
esplysply	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplysply

Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. 2 ⊢ (SymGrp‘𝐼) = (SymGrp‘𝐼)
2		eqid 2764	. 2 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) = (Base‘(SymGrp‘𝐼))
3		eqid 2764	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4		esplyfv.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5		esplyfv.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
6		esplyfv.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		esplyfv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
8		elfznn0 13627	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	4, 5, 6, 9, 3	esplympl 33866	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
11	5	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
12		nn0ex 12489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
14	4	ssrab3 4037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
16	15	sselda 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
17	11, 13, 16	elmaprd 32884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
18	17	fdmd 6704	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = 𝐼)
19		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
20	1, 2	symgbasf1o 19417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)) → 𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
22		f1ofo 6816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑝:𝐼–onto→𝐼)
23		forn 6783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–onto→𝐼 → ran 𝑝 = 𝐼)
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran 𝑝 = 𝐼)
25	18, 24	eqtr4d 2802	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom 𝑥 = ran 𝑝)
26		rncoeq 5960	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑥 = ran 𝑝 → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ran (𝑥 ∘ 𝑝) = ran 𝑥)
28	27	sseq1d 3969	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ↔ ran 𝑥 ⊆ {0, 1}))
29		f1ocnv 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → ◡𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼)
30		f1of1 6807	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → ◡𝑝:𝐼–1-1→𝐼)
31	21, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ◡𝑝:𝐼–1-1→𝐼)
32		cnvimass 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ dom 𝑥
33	32, 17	fssdm 6713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})) ⊆ 𝐼)
34	31, 33, 11	hashimaf1 33015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
35		c0ex 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
37		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼)))
38		f1of 6808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
39	37, 20, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑝:𝐼⟶𝐼)
41	17, 40	fcod 6719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0)
42		fsuppeq 8157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0 → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0}))))
43	42	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑥 ∘ 𝑝):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
44	11, 36, 41, 43	syl21anc 848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})))
45		cnvco 5863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑥 ∘ 𝑝) = (◡𝑝 ∘ ◡𝑥)
46	45	imaeq1i 6048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0}))
47		imaco 6240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝑝 ∘ ◡𝑥) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
48	46, 47	eqtri 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∘ 𝑝) “ (ℕ0 ∖ {0})) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
49	44, 48	eqtrdi 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0) = (◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
50	49	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(◡𝑝 “ (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))))
51		fsuppeq 8157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → (𝑥:𝐼⟶ℕ0 → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
52	51	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
53	11, 36, 17, 52	syl21anc 848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 supp 0) = (◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0})))
54	53	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑥 supp 0)) = (♯‘(◡𝑥 “ (ℕ0 ∖ {0}))))
55	34, 50, 54	3eqtr4d 2809	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = (♯‘(𝑥 supp 0)))
56	55	eqeq1d 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾))
57	28, 56	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾) ↔ (ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾)))
58	57	ifbid 4506	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
59	6	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
60	7	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
61		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
62	61, 4	eleqtrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
63	1, 2, 11, 19, 62	mplvrpmlem 33842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
64	63, 4	eleqtrrdi 2875	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∘ 𝑝) ∈ 𝐷)
65		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
66		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
67	4, 11, 59, 60, 64, 65, 66	esplyfv 33869	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = if((ran (𝑥 ∘ 𝑝) ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘((𝑥 ∘ 𝑝) supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
68	4, 11, 59, 60, 61, 65, 66	esplyfv 33869	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥) = if((ran 𝑥 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑥 supp 0)) = 𝐾), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
69	58, 67, 68	3eqtr4d 2809	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘(𝑥 ∘ 𝑝)) = (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑥))
70	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 69	issply 33860	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐼SymPoly𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649  ran crn 5650   “ cima 5652   ∘ ccom 5653  ⟶wf 6519  –1-1→wf1 6520  –onto→wfo 6521  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   supp csupp 8142   ↑_m cmap 8810  Fincfn 8929   finSupp cfsupp 9309  0cc0 11075  1c1 11076  ℕ₀cn0 12483  ...cfz 13514  ♯chash 14345  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  SymGrpcsymg 19411  1_rcur 20233  Ringcrg 20285   mPoly cmpl 21960  SymPolycsply 33854  eSymPolycesply 33855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-ind 12198  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-seq 14017  df-fac 14289  df-bc 14318  df-hash 14346  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-efmnd 18905  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-ga 19332  df-symg 19412  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-rhm 20523  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-cnfld 21427  df-zring 21501  df-zrh 21557  df-psr 21963  df-mpl 21965  df-fxp 33346  df-sply 33856  df-esply 33857

This theorem is referenced by: (None)