Theorem extvfvvcl 34213

Description: Closure for the "variable extension" function evaluated for converting a given polynomial 𝐹 by adding a variable with index 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
extvfvvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
extvfvvcl	⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
7		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
8		extvfvvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
9		extvfvvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	extvfvv 34212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) = if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ))
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
12		extvfvvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
14	13	psrbasfsupp 34189	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
15	11, 12, 7, 14, 8	mplelf 22310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}⟶𝐵)
16		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (ℎ = (𝑋 ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0))
17	1	ssrab3 4007	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
18	17, 9	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
19		difssd 4073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ⊆ 𝐼)
20	6, 19	eqsstrid 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
21	18, 20	elmapssresd 8898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
22		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
23	9, 1	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
24	22, 23	elrabrd 3647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
25		c0ex 11303	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
27	24, 26	fsuppres 9388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0)
28	16, 21, 27	elrabd 3646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
29	15, 28	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
30	12, 2	ring0cl 20501	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
31	4, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
32	29, 31	ifcld 4528	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ) ∈ 𝐵)
33	10, 32	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  ifcif 4481  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850   finSupp cfsupp 9356  0cc0 11203  ℕ₀cn0 12609  Basecbs 17392  0_gc0g 17615  Ringcrg 20464   mPoly cmpl 22219  extendVarscextv 34207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-tset 17452  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-ring 20466  df-psr 22222  df-mpl 22224  df-extv 34208

This theorem is used by:  extvfvcl  34214