Theorem extvfvvcl 33956

Description: Closure for the "variable extension" function evaluated for converting a given polynomial 𝐹 by adding a variable with index 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
extvfvvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
extvfvvcl	⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
7		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
8		extvfvvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
9		extvfvvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	extvfvv 33955	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) = if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ))
11		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
12		extvfvvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
14	13	psrbasfsupp 33932	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
15	11, 12, 7, 14, 8	mplelf 22184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}⟶𝐵)
16		breq1 5117	. . . . 5 ⊢ (ℎ = (𝑋 ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0))
17		nn0ex 12528	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
19	3	difexd 5307	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ∈ V)
20	6, 19	eqeltrid 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
21	1	ssrab3 4039	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
22	21, 9	sselid 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
23	3, 18, 22	elmaprd 33062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
24		difssd 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ⊆ 𝐼)
25	6, 24	eqsstrid 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
26	23, 25	fssresd 6752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
27	18, 20, 26	elmapdd 8847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
28		breq1 5117	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
29	9, 1	eleqtrdi 2876	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
30	28, 29	elrabrd 3656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
31		c0ex 11218	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
33	30, 32	fsuppres 9363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0)
34	16, 27, 33	elrabd 3655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
35	15, 34	ffvelcdmd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
36	12, 2	ring0cl 20382	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
37	4, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
38	35, 37	ifcld 4539	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ) ∈ 𝐵)
39	10, 38	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5114   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11118  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Ringcrg 20346   mPoly cmpl 22093  extendVarscextv 33950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-tset 17354  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-ring 20348  df-psr 22096  df-mpl 22098  df-extv 33951

This theorem is used by:  extvfvcl  33957