Theorem extvfvvcl 33906

Description: Closure for the "variable extension" function evaluated for converting a given polynomial 𝐹 by adding a variable with index 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
extvfvvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
extvfvvcl	⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
7		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
8		extvfvvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
9		extvfvvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	extvfvv 33905	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) = if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ))
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
12		extvfvvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
14	13	psrbasfsupp 33882	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
15	11, 12, 7, 14, 8	mplelf 22128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}⟶𝐵)
16		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (ℎ = (𝑋 ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0))
17		nn0ex 12511	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
19	3	difexd 5303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ∈ V)
20	6, 19	eqeltrid 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
21	1	ssrab3 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
22	21, 9	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
23	3, 18, 22	elmaprd 33006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
24		difssd 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ⊆ 𝐼)
25	6, 24	eqsstrid 3976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
26	23, 25	fssresd 6747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
27	18, 20, 26	elmapdd 8839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
28		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
29	9, 1	eleqtrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
30	28, 29	elrabrd 3654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
31		c0ex 11201	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
33	30, 32	fsuppres 9354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0)
34	16, 27, 33	elrabd 3653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
35	15, 34	ffvelcdmd 7082	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
36	12, 2	ring0cl 20351	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
37	4, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
38	35, 37	ifcld 4535	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ) ∈ 𝐵)
39	10, 38	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903  ifcif 4488  {csn 4590   class class class wbr 5110   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825   finSupp cfsupp 9322  0cc0 11101  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  Ringcrg 20316   mPoly cmpl 22037  extendVarscextv 33900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-ring 20318  df-psr 22040  df-mpl 22042  df-extv 33901

This theorem is referenced by:  extvfvcl  33907