Theorem extvfvvcl 33700

Description: Closure for the "variable extension" function evaluated for converting a given polynomial 𝐹 by adding a variable with index 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
extvfvvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
extvfvvcl	⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
7		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
8		extvfvvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
9		extvfvvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	extvfvv 33699	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) = if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ))
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
12		extvfvvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
14	13	psrbasfsupp 33693	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
15	11, 12, 7, 14, 8	mplelf 21953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}⟶𝐵)
16		breq1 5101	. . . . 5 ⊢ (ℎ = (𝑋 ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0))
17		nn0ex 12407	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
19	3	difexd 5276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ∈ V)
20	6, 19	eqeltrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
21	1	ssrab3 4034	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
22	21, 9	sselid 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
23	3, 18, 22	elmaprd 32759	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
24		difssd 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ⊆ 𝐼)
25	6, 24	eqsstrid 3972	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
26	23, 25	fssresd 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
27	18, 20, 26	elmapdd 8778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
28		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
29	9, 1	eleqtrdi 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
30	28, 29	elrabrd 32573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
31		c0ex 11126	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
33	30, 32	fsuppres 9296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0)
34	16, 27, 33	elrabd 3648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
35	15, 34	ffvelcdmd 7030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
36	12, 2	ring0cl 20202	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
37	4, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
38	35, 37	ifcld 4526	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ) ∈ 𝐵)
39	10, 38	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ifcif 4479  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168   mPoly cmpl 21862  extendVarscextv 33694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-tset 17196  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-ring 20170  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-extv 33695

This theorem is referenced by:  extvfvcl  33701