Theorem extvfvvcl 33793

Description: Closure for the "variable extension" function evaluated for converting a given polynomial 𝐹 by adding a variable with index 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extvfvvcl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
extvfvvcl.3	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
extvfvvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
extvfvvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
extvfvvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
extvfvvcl.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
extvfvvcl.m	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
extvfvvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
extvfvvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
extvfvvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
extvfvvcl	⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem extvfvvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extvfvvcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		extvfvvcl.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		extvfvvcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		extvfvvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		extvfvvcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
6		extvfvvcl.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝐴})
7		extvfvvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
8		extvfvvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
9		extvfvvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	extvfvv 33792	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) = if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ))
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐽 mPoly 𝑅) = (𝐽 mPoly 𝑅)
12		extvfvvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
14	13	psrbasfsupp 33769	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
15	11, 12, 7, 14, 8	mplelf 22029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}⟶𝐵)
16		breq1 5102	. . . . 5 ⊢ (ℎ = (𝑋 ↾ 𝐽) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0))
17		nn0ex 12484	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
19	3	difexd 5286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ∈ V)
20	6, 19	eqeltrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
21	1	ssrab3 4035	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
22	21, 9	sselid 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
23	3, 18, 22	elmaprd 32832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
24		difssd 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝐴}) ⊆ 𝐼)
25	6, 24	eqsstrid 3974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
26	23, 25	fssresd 6727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽):𝐽⟶ℕ0)
27	18, 20, 26	elmapdd 8818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽))
28		breq1 5102	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑋 finSupp 0))
29	9, 1	eleqtrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
30	28, 29	elrabrd 32646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0)
31		c0ex 11170	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
33	30, 32	fsuppres 9336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) finSupp 0)
34	16, 27, 33	elrabd 3652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝐽) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0})
35	15, 34	ffvelcdmd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐵)
36	12, 2	ring0cl 20296	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
37	4, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
38	35, 37	ifcld 4526	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘𝐴) = 0, (𝐹‘(𝑋 ↾ 𝐽)), 0 ) ∈ 𝐵)
39	10, 38	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝐴)‘𝐹)‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901  ifcif 4479  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803   finSupp cfsupp 9304  0cc0 11070  ℕ₀cn0 12478  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  Ringcrg 20262   mPoly cmpl 21938  extendVarscextv 33787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-tset 17288  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-ring 20264  df-psr 21941  df-mpl 21943  df-extv 33788

This theorem is referenced by:  extvfvcl  33794