Theorem elrgspnsubrun 33858

Description: Membership in the ring span of the union of two subrings of a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspnsubrun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspnsubrun.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrgspnsubrun.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrgspnsubrun.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspnsubrun.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elrgspnsubrun.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
elrgspnsubrun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elrgspnsubrun	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑝   · ,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓   𝑓,𝐸,𝑝   𝑓,𝐹,𝑝   𝑓,𝑁,𝑝   𝑅,𝑓,𝑝   𝑓,𝑋,𝑝   𝜑,𝑓,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem elrgspnsubrun

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspnsubrun.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		elrgspnsubrun.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		elrgspnsubrun.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		elrgspnsubrun.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
5		elrgspnsubrun.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑅 ∈ CRing)
7		elrgspnsubrun.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		elrgspnsubrun.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	5	crngringd 20480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
13	1	subrgss 20831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ 𝐵)
14	7, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1	subrgss 20831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
16	9, 15	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
17	14, 16	unssd 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ 𝐵)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
19		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
20	11, 12, 17, 18, 19	rgspncl 20872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	1	subrgss 20831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25		elrabi 3640	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
26	25	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
27	26	elmaprd 8875	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔:Word (𝐸 ∪ 𝐹)⟶ℤ)
28		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
29	28	elrab 3644	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∧ 𝑔 finSupp 0))
30	29	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 finSupp 0)
31	30	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 finSupp 0)
32		fveq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑔‘𝑣) = (𝑔‘𝑤))
33		oveq2 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣) = ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))
34	32, 33	oveq12d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)) = ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
35	34	cbvmptv 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣))) = (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
36	35	oveq2i 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
38	37	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
39	38	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))))
40	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 24, 27, 31, 39	elrgspnsubrunlem2 33857	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
41		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
42		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
43		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑖 finSupp 0))
44	43	cbvrabv 3422	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ 𝑖 finSupp 0}
45	1, 41, 42, 4, 44, 11, 17	elrgspn 33855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
46	45	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
47	40, 46	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
48	5	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑅 ∈ CRing)
49	7	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
50	9	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
51	7, 9	elmapd 8865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹) ↔ 𝑝:𝐹⟶𝐸))
52	51	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
53	52	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
54		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝 finSupp 0 )
55		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘ℎ))
56		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → 𝑓 = ℎ)
57	55, 56	oveq12d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑝‘𝑓) · 𝑓) = ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
58	57	cbvmptv 5208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)) = (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
59	58	oveq2i 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
61	60	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))))
62	61	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
63		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘𝑔))
64		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
65	63, 64	s2eqd 15020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩ = ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
66	65	cbvmptv 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
67	66	rneqi 5919	. . . . 5 ⊢ ran (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = ran (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
68	1, 2, 3, 4, 48, 49, 50, 53, 54, 62, 67	elrgspnsubrunlem1 33856	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
69	68	anasss 472	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ (𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
70	69	r19.29an 3166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
71	47, 70	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3896   ∪ cun 4148   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   supp csupp 8181   ↑_m cmap 8852   finSupp cfsupp 9358  0cc0 11205  ℤcz 12698  Word cword 14663  ⟨“cs2 14998  Basecbs 17394  ._rcmulr 17436  0_gc0g 17617   Σ_g cgsu 17618  ._gcmg 19284  mulGrpcmgp 20367  CRingccrg 20467  SubRingcsubrg 20828  RingSpancrgspn 20869

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-ac2 10546  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-sup 9439  df-oi 9509  df-card 10025  df-ac 10200  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-ind 12326  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-word 14664  df-lsw 14713  df-concat 14721  df-s1 14748  df-substr 14795  df-pfx 14827  df-s2 15005  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-clim 15662  df-sum 15861  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-mhm 18985  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-mulg 19285  df-subg 19340  df-ghm 19435  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-cring 20469  df-oppr 20574  df-subrng 20805  df-subrg 20829  df-rgspn 20870  df-cnfld 21686  df-zring 21760

This theorem is used by:  fldextrspunlsp  34354