Theorem elrgspnsubrun 33506

Description: Membership in the ring span of the union of two subrings of a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspnsubrun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspnsubrun.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrgspnsubrun.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrgspnsubrun.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspnsubrun.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elrgspnsubrun.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
elrgspnsubrun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elrgspnsubrun	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑝   · ,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓   𝑓,𝐸,𝑝   𝑓,𝐹,𝑝   𝑓,𝑁,𝑝   𝑅,𝑓,𝑝   𝑓,𝑋,𝑝   𝜑,𝑓,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem elrgspnsubrun

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspnsubrun.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		elrgspnsubrun.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		elrgspnsubrun.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		elrgspnsubrun.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
5		elrgspnsubrun.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑅 ∈ CRing)
7		elrgspnsubrun.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		elrgspnsubrun.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	5	crngringd 20324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
13	1	subrgss 20653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ 𝐵)
14	7, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1	subrgss 20653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
16	9, 15	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
17	14, 16	unssd 4153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ 𝐵)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
19		eqidd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
20	11, 12, 17, 18, 19	rgspncl 20694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	1	subrgss 20653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	7, 9	unexd 7749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
26		wrdexg 14557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
27	25, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
28	27	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
29		zex 12596	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ℤ ∈ V)
31		elrabi 3655	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
32	31	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
33	28, 30, 32	elmaprd 32962	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔:Word (𝐸 ∪ 𝐹)⟶ℤ)
34		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
35	34	elrab 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∧ 𝑔 finSupp 0))
36	35	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 finSupp 0)
37	36	ad2antlr 739	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 finSupp 0)
38		fveq2 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑔‘𝑣) = (𝑔‘𝑤))
39		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣) = ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)) = ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
41	40	cbvmptv 5216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣))) = (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
42	41	oveq2i 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
44	43	eqeq2d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
45	44	biimpar 482	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))))
46	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 24, 33, 37, 45	elrgspnsubrunlem2 33505	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
47		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
48		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
49		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑖 finSupp 0))
50	49	cbvrabv 3433	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ 𝑖 finSupp 0}
51	1, 47, 48, 4, 50, 11, 17	elrgspn 33503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
52	51	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
53	46, 52	r19.29a 3179	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
54	5	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑅 ∈ CRing)
55	7	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
56	9	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
57	7, 9	elmapd 8833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹) ↔ 𝑝:𝐹⟶𝐸))
58	57	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
59	58	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
60		simplr 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝 finSupp 0 )
61		fveq2 6879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘ℎ))
62		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → 𝑓 = ℎ)
63	61, 62	oveq12d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑝‘𝑓) · 𝑓) = ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
64	63	cbvmptv 5216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)) = (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
65	64	oveq2i 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
67	66	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))))
68	67	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
69		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘𝑔))
70		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
71	69, 70	s2eqd 14896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩ = ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
72	71	cbvmptv 5216	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
73	72	rneqi 5925	. . . . 5 ⊢ ran (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = ran (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
74	1, 2, 3, 4, 54, 55, 56, 59, 60, 68, 73	elrgspnsubrunlem1 33504	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
75	74	anasss 471	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ (𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
76	75	r19.29an 3175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
77	53, 76	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {crab 3423  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5660  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   supp csupp 8152   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317  0cc0 11096  ℤcz 12587  Word cword 14546  ⟨“cs2 14874  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  0_gc0g 17488   Σ_g cgsu 17489  ._gcmg 19129  mulGrpcmgp 20212  CRingccrg 20312  SubRingcsubrg 20650  RingSpancrgspn 20691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-reg 9550  ax-inf2 9606  ax-ac2 10443  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-r1 9732  df-rank 9733  df-card 9921  df-ac 10096  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-ind 12215  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-s2 14881  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-rgspn 20692  df-cnfld 21488  df-zring 21562

This theorem is referenced by:  fldextrspunlsp  34005