Theorem elrgspnsubrun 33197

Description: Membership in the ring span of the union of two subrings of a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspnsubrun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspnsubrun.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrgspnsubrun.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrgspnsubrun.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspnsubrun.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elrgspnsubrun.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
elrgspnsubrun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elrgspnsubrun	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑝   · ,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓   𝑓,𝐸,𝑝   𝑓,𝐹,𝑝   𝑓,𝑁,𝑝   𝑅,𝑓,𝑝   𝑓,𝑋,𝑝   𝜑,𝑓,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem elrgspnsubrun

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspnsubrun.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		elrgspnsubrun.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		elrgspnsubrun.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		elrgspnsubrun.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
5		elrgspnsubrun.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑅 ∈ CRing)
7		elrgspnsubrun.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		elrgspnsubrun.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	5	crngringd 20212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
13	1	subrgss 20541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ 𝐵)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1	subrgss 20541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
17	14, 16	unssd 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ 𝐵)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
19		eqidd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
20	11, 12, 17, 18, 19	rgspncl 20582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	1	subrgss 20541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	7, 9	unexd 7756	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
26		wrdexg 14545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
28	27	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
29		zex 12605	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ℤ ∈ V)
31		elrabi 3670	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
32	31	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
33	28, 30, 32	elmaprd 32625	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔:Word (𝐸 ∪ 𝐹)⟶ℤ)
34		breq1 5126	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
35	34	elrab 3675	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∧ 𝑔 finSupp 0))
36	35	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 finSupp 0)
37	36	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 finSupp 0)
38		fveq2 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑔‘𝑣) = (𝑔‘𝑤))
39		oveq2 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣) = ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)) = ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
41	40	cbvmptv 5235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣))) = (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
42	41	oveq2i 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
44	43	eqeq2d 2745	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
45	44	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))))
46	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 24, 33, 37, 45	elrgspnsubrunlem2 33196	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
47		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
48		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
49		breq1 5126	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑖 finSupp 0))
50	49	cbvrabv 3430	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ 𝑖 finSupp 0}
51	1, 47, 48, 4, 50, 11, 17	elrgspn 33194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
52	51	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
53	46, 52	r19.29a 3149	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
54	5	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑅 ∈ CRing)
55	7	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
56	9	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
57	7, 9	elmapd 8862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹) ↔ 𝑝:𝐹⟶𝐸))
58	57	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
59	58	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
60		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝 finSupp 0 )
61		fveq2 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘ℎ))
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → 𝑓 = ℎ)
63	61, 62	oveq12d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑝‘𝑓) · 𝑓) = ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
64	63	cbvmptv 5235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)) = (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
65	64	oveq2i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
67	66	eqeq2d 2745	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))))
68	67	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
69		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘𝑔))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
71	69, 70	s2eqd 14885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩ = ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
72	71	cbvmptv 5235	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
73	72	rneqi 5928	. . . . 5 ⊢ ran (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = ran (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
74	1, 2, 3, 4, 54, 55, 56, 59, 60, 68, 73	elrgspnsubrunlem1 33195	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
75	74	anasss 466	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ (𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
76	75	r19.29an 3145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
77	53, 76	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {crab 3419  Vcvv 3463   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  ran crn 5666  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   supp csupp 8167   ↑_m cmap 8848   finSupp cfsupp 9383  0cc0 11137  ℤcz 12596  Word cword 14535  ⟨“cs2 14863  Basecbs 17230  ._rcmulr 17275  0_gc0g 17456   Σ_g cgsu 17457  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20106  CRingccrg 20200  SubRingcsubrg 20538  RingSpancrgspn 20579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-reg 9614  ax-inf2 9663  ax-ac2 10485  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-oi 9532  df-r1 9786  df-rank 9787  df-card 9961  df-ac 10138  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14353  df-word 14536  df-lsw 14584  df-concat 14592  df-s1 14617  df-substr 14662  df-pfx 14692  df-s2 14870  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-sum 15706  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-starv 17289  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-unif 17297  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-ur 20148  df-ring 20201  df-cring 20202  df-oppr 20303  df-subrng 20515  df-subrg 20539  df-rgspn 20580  df-cnfld 21328  df-zring 21421  df-ind 32781

This theorem is referenced by:  fldextrspunlsp  33666