Theorem elrgspnsubrun 33310

Description: Membership in the ring span of the union of two subrings of a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspnsubrun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspnsubrun.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrgspnsubrun.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrgspnsubrun.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspnsubrun.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elrgspnsubrun.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
elrgspnsubrun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elrgspnsubrun	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑝   · ,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓   𝑓,𝐸,𝑝   𝑓,𝐹,𝑝   𝑓,𝑁,𝑝   𝑅,𝑓,𝑝   𝑓,𝑋,𝑝   𝜑,𝑓,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem elrgspnsubrun

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspnsubrun.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		elrgspnsubrun.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		elrgspnsubrun.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		elrgspnsubrun.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
5		elrgspnsubrun.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑅 ∈ CRing)
7		elrgspnsubrun.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		elrgspnsubrun.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	5	crngringd 20227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
13	1	subrgss 20549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ 𝐵)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1	subrgss 20549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
17	14, 16	unssd 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ 𝐵)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
19		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
20	11, 12, 17, 18, 19	rgspncl 20590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	1	subrgss 20549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	7, 9	unexd 7708	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
26		wrdexg 14486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
28	27	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
29		zex 12533	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ℤ ∈ V)
31		elrabi 3630	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
32	31	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
33	28, 30, 32	elmaprd 32753	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔:Word (𝐸 ∪ 𝐹)⟶ℤ)
34		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
35	34	elrab 3634	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∧ 𝑔 finSupp 0))
36	35	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 finSupp 0)
37	36	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 finSupp 0)
38		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑔‘𝑣) = (𝑔‘𝑤))
39		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣) = ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)) = ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
41	40	cbvmptv 5189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣))) = (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
42	41	oveq2i 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
44	43	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
45	44	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))))
46	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 24, 33, 37, 45	elrgspnsubrunlem2 33309	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
47		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
48		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
49		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑖 finSupp 0))
50	49	cbvrabv 3399	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ 𝑖 finSupp 0}
51	1, 47, 48, 4, 50, 11, 17	elrgspn 33307	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
52	51	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
53	46, 52	r19.29a 3145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
54	5	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑅 ∈ CRing)
55	7	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
56	9	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
57	7, 9	elmapd 8787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹) ↔ 𝑝:𝐹⟶𝐸))
58	57	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
59	58	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
60		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝 finSupp 0 )
61		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘ℎ))
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → 𝑓 = ℎ)
63	61, 62	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑝‘𝑓) · 𝑓) = ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
64	63	cbvmptv 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)) = (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
65	64	oveq2i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
67	66	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))))
68	67	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
69		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘𝑔))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
71	69, 70	s2eqd 14825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩ = ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
72	71	cbvmptv 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
73	72	rneqi 5892	. . . . 5 ⊢ ran (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = ran (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
74	1, 2, 3, 4, 54, 55, 56, 59, 60, 68, 73	elrgspnsubrunlem1 33308	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
75	74	anasss 466	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ (𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
76	75	r19.29an 3141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
77	53, 76	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   supp csupp 8110   ↑_m cmap 8773   finSupp cfsupp 9274  0cc0 11038  ℤcz 12524  Word cword 14475  ⟨“cs2 14803  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  ._gcmg 19043  mulGrpcmgp 20121  CRingccrg 20215  SubRingcsubrg 20546  RingSpancrgspn 20587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-r1 9688  df-rank 9689  df-card 9863  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-s2 14810  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rgspn 20588  df-cnfld 21353  df-zring 21427

This theorem is referenced by:  fldextrspunlsp  33818