Theorem elrgspnsubrun 33325

Description: Membership in the ring span of the union of two subrings of a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspnsubrun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspnsubrun.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrgspnsubrun.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrgspnsubrun.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspnsubrun.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elrgspnsubrun.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
elrgspnsubrun.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elrgspnsubrun	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓,𝑝   · ,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓   𝑓,𝐸,𝑝   𝑓,𝐹,𝑝   𝑓,𝑁,𝑝   𝑅,𝑓,𝑝   𝑓,𝑋,𝑝   𝜑,𝑓,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑝)

Proof of Theorem elrgspnsubrun

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑣 𝑤 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspnsubrun.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		elrgspnsubrun.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		elrgspnsubrun.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		elrgspnsubrun.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
5		elrgspnsubrun.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	5	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑅 ∈ CRing)
7		elrgspnsubrun.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		elrgspnsubrun.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	5	crngringd 20218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
13	1	subrgss 20540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ 𝐵)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
15	1	subrgss 20540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
17	14, 16	unssd 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ⊆ 𝐵)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
19		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
20	11, 12, 17, 18, 19	rgspncl 20581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	1	subrgss 20540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	7, 9	unexd 7701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
26		wrdexg 14477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
28	27	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → Word (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ V)
29		zex 12524	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ℤ ∈ V)
31		elrabi 3631	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
32	31	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)))
33	28, 30, 32	elmaprd 32768	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔:Word (𝐸 ∪ 𝐹)⟶ℤ)
34		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
35	34	elrab 3635	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∧ 𝑔 finSupp 0))
36	35	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} → 𝑔 finSupp 0)
37	36	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑔 finSupp 0)
38		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑔‘𝑣) = (𝑔‘𝑤))
39		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣) = ((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)) = ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
41	40	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣))) = (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))
42	41	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
44	43	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
45	44	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑣)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑣)))))
46	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 24, 33, 37, 45	elrgspnsubrunlem2 33324	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) ∧ 𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
47		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
48		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
49		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑖 finSupp 0))
50	49	cbvrabv 3400	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0} = {𝑖 ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ 𝑖 finSupp 0}
51	1, 47, 48, 4, 50, 11, 17	elrgspn 33322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤))))))
52	51	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℤ ↑m Word (𝐸 ∪ 𝐹)) ∣ ℎ finSupp 0}𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word (𝐸 ∪ 𝐹) ↦ ((𝑔‘𝑤)(.g‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg 𝑤)))))
53	46, 52	r19.29a 3146	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹))) → ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))))
54	5	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑅 ∈ CRing)
55	7	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐸 ∈ (SubRing‘𝑅))
56	9	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑅))
57	7, 9	elmapd 8780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹) ↔ 𝑝:𝐹⟶𝐸))
58	57	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
59	58	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝:𝐹⟶𝐸)
60		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑝 finSupp 0 )
61		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘ℎ))
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ℎ → 𝑓 = ℎ)
63	61, 62	oveq12d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ℎ → ((𝑝‘𝑓) · 𝑓) = ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
64	63	cbvmptv 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)) = (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))
65	64	oveq2i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
67	66	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ)))))
68	67	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (ℎ ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘ℎ) · ℎ))))
69		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝‘𝑓) = (𝑝‘𝑔))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔)
71	69, 70	s2eqd 14816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩ = ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
72	71	cbvmptv 5190	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
73	72	rneqi 5886	. . . . 5 ⊢ ran (𝑓 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑓)𝑓”⟩) = ran (𝑔 ∈ (𝑝 supp 0 ) ↦ ⟨“(𝑝‘𝑔)𝑔”⟩)
74	1, 2, 3, 4, 54, 55, 56, 59, 60, 68, 73	elrgspnsubrunlem1 33323	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ 𝑝 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
75	74	anasss 466	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)) ∧ (𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
76	75	r19.29an 3142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)))
77	53, 76	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐸 ∪ 𝐹)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝐸 ↑m 𝐹)(𝑝 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑓 ∈ 𝐹 ↦ ((𝑝‘𝑓) · 𝑓))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   supp csupp 8103   ↑_m cmap 8766   finSupp cfsupp 9267  0cc0 11029  ℤcz 12515  Word cword 14466  ⟨“cs2 14794  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  ._gcmg 19034  mulGrpcmgp 20112  CRingccrg 20206  SubRingcsubrg 20537  RingSpancrgspn 20578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-reg 9500  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-ind 12151  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-s2 14801  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-rgspn 20579  df-cnfld 21345  df-zring 21437

This theorem is referenced by:  fldextrspunlsp  33834