Theorem mplmulmvr 33704

Description: Multiply a polynomial 𝐹 with a variable 𝑋 (i.e. with a monic monomial). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmulmvr.1	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmulmvr.2	⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
mplmulmvr.3	⊢ 𝑀 = (Base‘𝑃)
mplmulmvr.4	⊢ · = (.r‘𝑃)
mplmulmvr.5	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmulmvr.6	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplmulmvr.7	⊢ 𝐴 = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
mplmulmvr.8	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmulmvr.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
mplmulmvr.10	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmulmvr.11	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mplmulmvr	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝐷,𝑏   𝐹,𝑏   𝐼,𝑏,ℎ   𝑀,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏   ℎ,𝑌   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ,𝑏)   𝑅(ℎ)   · (ℎ,𝑏)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ,𝑏)   𝑋(ℎ)   𝑌(𝑏)   0 (ℎ,𝑏)

Proof of Theorem mplmulmvr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmulmvr.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplmulmvr.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mplmulmvr.4	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
5		mplmulmvr.6	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6	5	psrbasfsupp 33693	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mplmulmvr.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mVar 𝑅) = (𝐼 mVar 𝑅)
9		mplmulmvr.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		mplmulmvr.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		mplmulmvr.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
12	1, 8, 2, 9, 10, 11	mvrcl 21947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑀)
13	7, 12	eqeltrid 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑀)
14		mplmulmvr.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
15	1, 2, 3, 4, 6, 13, 14	mplmul 21966	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))))
16		eqeq2 2748	. . . 4 ⊢ ( 0 = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = 0 ↔ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
17		eqeq2 2748	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) ↔ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
18		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝜑)
19		ssrab2 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷)
21	20	sselda 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
22	7	fveq1i 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋‘𝑥) = (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)‘𝑥)
23		mplmulmvr.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
26	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
27	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐼)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
29		mplmulmvr.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
30	8, 6, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	mvrvalind 33703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
31	22, 30	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
32	18, 21, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
33	32	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
35	34	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
36		0ne1 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≠ 1
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 0 ≠ 1)
38	18, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
39		nn0ex 12407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ℕ0 ∈ V)
41	5	ssrab3 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
42	20, 41	sstrdi 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
43	42	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
44	38, 40, 43	elmaprd 32759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
46	11	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐼)
47	45, 46	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0)
48	44	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 Fn 𝐼)
49	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
50	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
51	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
52	51	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
53	49, 50, 52	elmaprd 32759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
54	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
55	54	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 Fn 𝐼)
56		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑏 ↔ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏))
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
58	56, 57	elrabrd 32573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑏)
59	18, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑌 ∈ 𝐼)
60	48, 55, 38, 58, 59	fnfvor 32687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑥‘𝑌) ≤ (𝑏‘𝑌))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≤ (𝑏‘𝑌))
62		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑏‘𝑌) = 0)
63	61, 62	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≤ 0)
64		nn0le0eq0 12429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥‘𝑌) ≤ 0 ↔ (𝑥‘𝑌) = 0))
65	64	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑌) ≤ 0) → (𝑥‘𝑌) = 0)
66	47, 63, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) = 0)
67	29	fveq1i 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴‘𝑌) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)
68	11	snssd 4765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
69		snidg 4617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ {𝑌})
70	11, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
71		ind1 32936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
72	9, 68, 70, 71	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
73	67, 72	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) = 1)
74	73	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴‘𝑌) = 1)
75	37, 66, 74	3netr4d 3009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≠ (𝐴‘𝑌))
76	75	neneqd 2937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ¬ (𝑥‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
77	35, 76	pm2.65da 816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
78	77	iffalsed 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ) = 0 )
79	78	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
80		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81	18, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
82	1, 80, 2, 6, 14	mplelf 21953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
83	18, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
84		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
85	6	psrbagcon 21881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏) → ((𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑏 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑏))
86	85	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
87	84, 44, 58, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
88	83, 87	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
89	80, 3, 23, 81, 88	ringlzd 20230	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
90	33, 79, 89	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
91	90	mpteq2dva 5191	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 ))
92	91	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )))
93	10	ringgrpd 20177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
94	93	grpmndd 18876	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
95	94	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Mnd)
96		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
97	5, 96	rab2ex 5287	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V
98	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V)
99	23	gsumz 18761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )) = 0 )
100	95, 98, 99	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )) = 0 )
101	92, 100	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = 0 )
102		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝜑)
103	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷)
104	103	sselda 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
105	102, 104, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
106	105	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
107		ovif 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))
109	102, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
110	102, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
111		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
112	102, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
113	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ℕ0 ∈ V)
114	41, 104	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
115	112, 113, 114	elmaprd 32759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
116		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
117	56, 116	elrabrd 32573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑏)
118	111, 115, 117, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
119	110, 118	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
120	80, 3, 24, 109, 119	ringlidmd 20207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))
122		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑏 ∘f − 𝑥) = (𝑏 ∘f − 𝐴))
123	122	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑏 ∘f − 𝑥) = (𝑏 ∘f − 𝐴))
124	123	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
125	121, 124	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
126	80, 3, 23, 109, 119	ringlzd 20230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
127	126	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
128	125, 127	ifeq12da 4513	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
129	106, 108, 128	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
130	129	mpteq2dva 5191	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 )))
131	130	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))))
132	94	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Mnd)
133	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V)
134		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏))
135		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝐴 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0))
136	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
137		indf 32934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
138	9, 68, 137	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
139	29	feq1i 6653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴:𝐼⟶{0, 1} ↔ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
140	138, 139	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶{0, 1})
141		0nn0 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
143		1nn0 12417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
145	142, 144	prssd 4778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ0)
146	140, 145	fssd 6679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶ℕ0)
147	136, 9, 146	elmapdd 8778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
148	146	ffund 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
149	29	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 supp 0) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0)
150		indsupp 32949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0) = {𝑌})
151	9, 68, 150	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0) = {𝑌})
152	149, 151	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 supp 0) = {𝑌})
153		snfi 8980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑌} ∈ Fin
154	152, 153	eqeltrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 supp 0) ∈ Fin)
155	147, 142, 148, 154	isfsuppd 9269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 finSupp 0)
156	135, 147, 155	elrabd 3648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
157	156, 5	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
158	157	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∈ 𝐷)
159		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) → (1 ≤ (𝑏‘𝑢) ↔ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
160		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) → (0 ≤ (𝑏‘𝑢) ↔ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
161	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
162	161	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0)
163	162	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0)
164		elsni 4597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑌} → 𝑢 = 𝑌)
165	164	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 𝑢 = 𝑌)
166	165	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) = (𝑏‘𝑌))
167		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → ¬ (𝑏‘𝑌) = 0)
168	167	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑌) ≠ 0)
169	166, 168	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ≠ 0)
170		elnnne0 12415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑢) ∈ ℕ ↔ ((𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (𝑏‘𝑢) ≠ 0))
171	163, 169, 170	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ)
172	171	nnge1d 12193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 1 ≤ (𝑏‘𝑢))
173	162	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (𝑏‘𝑢))
174	173	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 0 ≤ (𝑏‘𝑢))
175	159, 160, 172, 174	ifbothda 4518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢))
176	175	ralrimiva 3128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → ∀𝑢 ∈ 𝐼 if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢))
177	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ 𝑉)
178	143	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℕ0)
179	141	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
180	178, 179	ifexd 4528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ∈ V)
181		fvexd 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑢) ∈ V)
182		indval 32932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
183	9, 68, 182	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
184	29, 183	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
185	184	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
186	53	feqmptd 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑢)))
187	186	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑢)))
188	177, 180, 181, 185, 187	ofrfval2 7643	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝐴 ∘r ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐼 if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
189	176, 188	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∘r ≤ 𝑏)
190	134, 158, 189	elrabd 3648	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
191		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 )) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
192	82	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
193		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏 ∈ 𝐷)
194	146	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴:𝐼⟶ℕ0)
195	6	psrbagcon 21881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏) → ((𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝑏 ∘f − 𝐴) ∘r ≤ 𝑏))
196	195	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏) → (𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷)
197	193, 194, 189, 196	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷)
198	192, 197	ffvelcdmd 7030	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
199	23, 132, 133, 190, 191, 198	gsummptif1n0 19895	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
200	131, 199	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
201	16, 17, 101, 200	ifbothda 4518	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))))
202	201	mpteq2dva 5191	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
203	15, 202	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {csn 4580  {cpr 4582   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ∘_r cofr 7621   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  1c1 11027   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  1_rcur 20116  Ringcrg 20168   mVar cmvr 21861   mPoly cmpl 21862  𝟭cind 32929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-tset 17196  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-ind 32930

This theorem is referenced by:  esplyind  33731