Theorem mplmulmvr 33846

Description: Multiply a polynomial 𝐹 with a variable 𝑋 (i.e. with a monic monomial). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmulmvr.1	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmulmvr.2	⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
mplmulmvr.3	⊢ 𝑀 = (Base‘𝑃)
mplmulmvr.4	⊢ · = (.r‘𝑃)
mplmulmvr.5	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmulmvr.6	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplmulmvr.7	⊢ 𝐴 = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
mplmulmvr.8	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmulmvr.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
mplmulmvr.10	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmulmvr.11	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mplmulmvr	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝐷,𝑏   𝐹,𝑏   𝐼,𝑏,ℎ   𝑀,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏   ℎ,𝑌   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ,𝑏)   𝑅(ℎ)   · (ℎ,𝑏)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ,𝑏)   𝑋(ℎ)   𝑌(𝑏)   0 (ℎ,𝑏)

Proof of Theorem mplmulmvr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmulmvr.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplmulmvr.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mplmulmvr.4	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
5		mplmulmvr.6	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6	5	psrbasfsupp 33818	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mplmulmvr.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mVar 𝑅) = (𝐼 mVar 𝑅)
9		mplmulmvr.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		mplmulmvr.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		mplmulmvr.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
12	1, 8, 2, 9, 10, 11	mvrcl 22101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑀)
13	7, 12	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑀)
14		mplmulmvr.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
15	1, 2, 3, 4, 6, 13, 14	mplmul 22120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))))
16		eqeq2 2777	. . . 4 ⊢ ( 0 = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = 0 ↔ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
17		eqeq2 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) ↔ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
18		simplll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝜑)
19		ssrab2 4036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷)
21	20	sselda 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
22	7	fveq1i 6872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋‘𝑥) = (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)‘𝑥)
23		mplmulmvr.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
26	10	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
27	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐼)
28		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
29		mplmulmvr.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
30	8, 6, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	mvrvalind 33845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
31	22, 30	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
32	18, 21, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
33	32	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
34		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
35	34	fveq1d 6873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
36		0ne1 12303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≠ 1
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 0 ≠ 1)
38	18, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
39		nn0ex 12501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ℕ0 ∈ V)
41	5	ssrab3 4038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
42	20, 41	sstrdi 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
43	42	sselda 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
44	38, 40, 43	elmaprd 32937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
45	44	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
46	11	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐼)
47	45, 46	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0)
48	44	ffnd 6696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 Fn 𝐼)
49	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
50	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
51	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
52	51	sselda 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
53	49, 50, 52	elmaprd 32937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
54	53	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
55	54	ffnd 6696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 Fn 𝐼)
56		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑏 ↔ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏))
57		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
58	56, 57	elrabrd 3656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑏)
59	18, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑌 ∈ 𝐼)
60	48, 55, 38, 58, 59	fnfvor 32866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑥‘𝑌) ≤ (𝑏‘𝑌))
61	60	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≤ (𝑏‘𝑌))
62		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑏‘𝑌) = 0)
63	61, 62	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≤ 0)
64		nn0le0eq0 12523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥‘𝑌) ≤ 0 ↔ (𝑥‘𝑌) = 0))
65	64	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑌) ≤ 0) → (𝑥‘𝑌) = 0)
66	47, 63, 65	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) = 0)
67	29	fveq1i 6872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴‘𝑌) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)
68	11	snssd 4748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
69		snidg 4622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ {𝑌})
70	11, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
71		ind1 12218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
72	9, 68, 70, 71	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
73	67, 72	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) = 1)
74	73	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴‘𝑌) = 1)
75	37, 66, 74	3netr4d 3037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≠ (𝐴‘𝑌))
76	75	neneqd 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ¬ (𝑥‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
77	35, 76	pm2.65da 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
78	77	iffalsed 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ) = 0 )
79	78	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
80		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81	18, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
82	1, 80, 2, 6, 14	mplelf 22107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
83	18, 82	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
84		simpllr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
85	6	psrbagcon 22035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏) → ((𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑏 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑏))
86	85	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
87	84, 44, 58, 86	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
88	83, 87	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
89	80, 3, 23, 81, 88	ringlzd 20369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
90	33, 79, 89	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
91	90	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 ))
92	91	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )))
93	10	ringgrpd 20315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
94	93	grpmndd 19003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
95	94	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Mnd)
96		ovex 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
97	5, 96	rab2ex 5303	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V
98	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V)
99	23	gsumz 18885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )) = 0 )
100	95, 98, 99	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )) = 0 )
101	92, 100	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = 0 )
102		simplll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝜑)
103	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷)
104	103	sselda 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
105	102, 104, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
106	105	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
107		ovif 7498	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))
109	102, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
110	102, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
111		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
112	102, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
113	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ℕ0 ∈ V)
114	41, 104	sselid 3937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
115	112, 113, 114	elmaprd 32937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
116		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
117	56, 116	elrabrd 3656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑏)
118	111, 115, 117, 86	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
119	110, 118	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
120	80, 3, 24, 109, 119	ringlidmd 20346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))
121	120	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))
122		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑏 ∘f − 𝑥) = (𝑏 ∘f − 𝐴))
123	122	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑏 ∘f − 𝑥) = (𝑏 ∘f − 𝐴))
124	123	fveq2d 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
125	121, 124	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
126	80, 3, 23, 109, 119	ringlzd 20369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
127	126	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
128	125, 127	ifeq12da 4517	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
129	106, 108, 128	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
130	129	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 )))
131	130	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))))
132	94	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Mnd)
133	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V)
134		breq1 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏))
135		breq1 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝐴 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0))
136	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
137		indf 12215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
138	9, 68, 137	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
139	29	feq1i 6686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴:𝐼⟶{0, 1} ↔ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
140	138, 139	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶{0, 1})
141		0nn0 12510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
143		1nn0 12511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
145	142, 144	prssd 4783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ0)
146	140, 145	fssd 6713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶ℕ0)
147	136, 9, 146	elmapdd 8826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
148	146	ffund 6700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
149	29	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 supp 0) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0)
150		indsupp 33100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0) = {𝑌})
151	9, 68, 150	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0) = {𝑌})
152	149, 151	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 supp 0) = {𝑌})
153		snfi 9028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑌} ∈ Fin
154	152, 153	eqeltrdi 2873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 supp 0) ∈ Fin)
155	147, 142, 148, 154	isfsuppd 9314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 finSupp 0)
156	135, 147, 155	elrabd 3655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
157	156, 5	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
158	157	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∈ 𝐷)
159		breq1 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) → (1 ≤ (𝑏‘𝑢) ↔ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
160		breq1 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) → (0 ≤ (𝑏‘𝑢) ↔ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
161	53	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
162	161	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0)
163	162	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0)
164		elsni 4602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑌} → 𝑢 = 𝑌)
165	164	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 𝑢 = 𝑌)
166	165	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) = (𝑏‘𝑌))
167		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → ¬ (𝑏‘𝑌) = 0)
168	167	neqned 2967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑌) ≠ 0)
169	166, 168	eqnetrd 3027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ≠ 0)
170		elnnne0 12509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑢) ∈ ℕ ↔ ((𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (𝑏‘𝑢) ≠ 0))
171	163, 169, 170	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ)
172	171	nnge1d 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 1 ≤ (𝑏‘𝑢))
173	162	nn0ge0d 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (𝑏‘𝑢))
174	173	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 0 ≤ (𝑏‘𝑢))
175	159, 160, 172, 174	ifbothda 4522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢))
176	175	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → ∀𝑢 ∈ 𝐼 if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢))
177	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ 𝑉)
178	143	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℕ0)
179	141	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
180	178, 179	ifexd 4532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ∈ V)
181		fvexd 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑢) ∈ V)
182		indval 12212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
183	9, 68, 182	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
184	29, 183	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
185	184	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
186	53	feqmptd 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑢)))
187	186	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑢)))
188	177, 180, 181, 185, 187	ofrfval2 7685	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝐴 ∘r ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐼 if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
189	176, 188	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∘r ≤ 𝑏)
190	134, 158, 189	elrabd 3655	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
191		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 )) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
192	82	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
193		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏 ∈ 𝐷)
194	146	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴:𝐼⟶ℕ0)
195	6	psrbagcon 22035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏) → ((𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝑏 ∘f − 𝐴) ∘r ≤ 𝑏))
196	195	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏) → (𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷)
197	193, 194, 189, 196	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷)
198	192, 197	ffvelcdmd 7070	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
199	23, 132, 133, 190, 191, 198	gsummptif1n0 20027	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
200	131, 199	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
201	16, 17, 101, 200	ifbothda 4522	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))))
202	201	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
203	15, 202	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  {crab 3417  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ifcif 4483  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662   ∘_r cofr 7663   supp csupp 8144   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309  0cc0 11088  1c1 11089   ≤ cle 11232   − cmin 11429  𝟭cind 12209  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482   Σ_g cgsu 17483  Mndcmnd 18782  1_rcur 20254  Ringcrg 20306   mVar cmvr 22015   mPoly cmpl 22016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-ind 12210  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-tset 17319  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-psr 22019  df-mvr 22020  df-mpl 22021

This theorem is referenced by:  esplyind  33882