Theorem mplmulmvr 33730

Description: Multiply a polynomial 𝐹 with a variable 𝑋 (i.e. with a monic monomial). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmulmvr.1	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmulmvr.2	⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
mplmulmvr.3	⊢ 𝑀 = (Base‘𝑃)
mplmulmvr.4	⊢ · = (.r‘𝑃)
mplmulmvr.5	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmulmvr.6	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplmulmvr.7	⊢ 𝐴 = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
mplmulmvr.8	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmulmvr.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
mplmulmvr.10	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmulmvr.11	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mplmulmvr	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝐷,𝑏   𝐹,𝑏   𝐼,𝑏,ℎ   𝑀,𝑏   𝑅,𝑏   𝑋,𝑏   ℎ,𝑌   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑏)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ,𝑏)   𝑅(ℎ)   · (ℎ,𝑏)   𝐹(ℎ)   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ,𝑏)   𝑋(ℎ)   𝑌(𝑏)   0 (ℎ,𝑏)

Proof of Theorem mplmulmvr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmulmvr.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplmulmvr.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mplmulmvr.4	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
5		mplmulmvr.6	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
6	5	psrbasfsupp 33702	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mplmulmvr.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mVar 𝑅) = (𝐼 mVar 𝑅)
9		mplmulmvr.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		mplmulmvr.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		mplmulmvr.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
12	1, 8, 2, 9, 10, 11	mvrcl 21973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌) ∈ 𝑀)
13	7, 12	eqeltrid 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑀)
14		mplmulmvr.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑀)
15	1, 2, 3, 4, 6, 13, 14	mplmul 21992	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))))
16		eqeq2 2752	. . . 4 ⊢ ( 0 = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = 0 ↔ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
17		eqeq2 2752	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))) → ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) ↔ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
18		simplll 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝜑)
19		ssrab2 4018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷)
21	20	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
22	7	fveq1i 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋‘𝑥) = (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)‘𝑥)
23		mplmulmvr.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
26	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
27	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐼)
28		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
29		mplmulmvr.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})
30	8, 6, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29	mvrvalind 33729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
31	22, 30	eqtrid 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
32	18, 21, 31	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
33	32	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
34		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
35	34	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
36		0ne1 12250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≠ 1
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 0 ≠ 1)
38	18, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
39		nn0ex 12441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ℕ0 ∈ V)
41	5	ssrab3 4020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
42	20, 41	sstrdi 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
43	42	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
44	38, 40, 43	elmaprd 32779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
46	11	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐼)
47	45, 46	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0)
48	44	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 Fn 𝐼)
49	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
50	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
51	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
52	51	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
53	49, 50, 52	elmaprd 32779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
54	53	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
55	54	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 Fn 𝐼)
56		breq1 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑏 ↔ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏))
57		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
58	56, 57	elrabrd 32593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑏)
59	18, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑌 ∈ 𝐼)
60	48, 55, 38, 58, 59	fnfvor 32708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑥‘𝑌) ≤ (𝑏‘𝑌))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≤ (𝑏‘𝑌))
62		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑏‘𝑌) = 0)
63	61, 62	breqtrd 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≤ 0)
64		nn0le0eq0 12463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥‘𝑌) ≤ 0 ↔ (𝑥‘𝑌) = 0))
65	64	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥‘𝑌) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥‘𝑌) ≤ 0) → (𝑥‘𝑌) = 0)
66	47, 63, 65	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) = 0)
67	29	fveq1i 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴‘𝑌) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌)
68	11	snssd 4725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
69		snidg 4599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ {𝑌})
70	11, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ {𝑌})
71		ind1 12166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ {𝑌}) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
72	9, 68, 70, 71	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌})‘𝑌) = 1)
73	67, 72	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) = 1)
74	73	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐴‘𝑌) = 1)
75	37, 66, 74	3netr4d 3012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥‘𝑌) ≠ (𝐴‘𝑌))
76	75	neneqd 2940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ¬ (𝑥‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
77	35, 76	pm2.65da 822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
78	77	iffalsed 4472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ) = 0 )
79	78	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
80		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81	18, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
82	1, 80, 2, 6, 14	mplelf 21979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
83	18, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
84		simpllr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
85	6	psrbagcon 21907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏) → ((𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑏 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑏))
86	85	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑏) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
87	84, 44, 58, 86	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
88	83, 87	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
89	80, 3, 23, 81, 88	ringlzd 20274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
90	33, 79, 89	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
91	90	mpteq2dva 5172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 ))
92	91	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )))
93	10	ringgrpd 20221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
94	93	grpmndd 18920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
95	94	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Mnd)
96		ovex 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
97	5, 96	rab2ex 5277	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V
98	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V)
99	23	gsumz 18802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )) = 0 )
100	95, 98, 99	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ 0 )) = 0 )
101	92, 100	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = 0 )
102		simplll 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝜑)
103	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ⊆ 𝐷)
104	103	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
105	102, 104, 31	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑋‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 ))
106	105	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
107		ovif 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (if(𝑥 = 𝐴, (1r‘𝑅), 0 )(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))
109	102, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
110	102, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
111		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
112	102, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
113	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ℕ0 ∈ V)
114	41, 104	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
115	112, 113, 114	elmaprd 32779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
116		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
117	56, 116	elrabrd 32593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑏)
118	111, 115, 117, 86	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝑏 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
119	110, 118	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
120	80, 3, 24, 109, 119	ringlidmd 20251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))
122		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑏 ∘f − 𝑥) = (𝑏 ∘f − 𝐴))
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑏 ∘f − 𝑥) = (𝑏 ∘f − 𝐴))
124	123	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
125	121, 124	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
126	80, 3, 23, 109, 119	ringlzd 20274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = 0 )
128	125, 127	ifeq12da 4495	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → if(𝑥 = 𝐴, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))), ( 0 (.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
129	106, 108, 128	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
130	129	mpteq2dva 5172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 )))
131	130	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))))
132	94	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑅 ∈ Mnd)
133	97	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ∈ V)
134		breq1 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏))
135		breq1 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝐴 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0))
136	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
137		indf 12163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
138	9, 68, 137	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
139	29	feq1i 6653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴:𝐼⟶{0, 1} ↔ ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}):𝐼⟶{0, 1})
140	138, 139	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶{0, 1})
141		0nn0 12450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
143		1nn0 12451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
145	142, 144	prssd 4760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ ℕ0)
146	140, 145	fssd 6679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶ℕ0)
147	136, 9, 146	elmapdd 8785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
148	146	ffund 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
149	29	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 supp 0) = (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0)
150		indsupp 32953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0) = {𝑌})
151	9, 68, 150	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) supp 0) = {𝑌})
152	149, 151	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 supp 0) = {𝑌})
153		snfi 8987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑌} ∈ Fin
154	152, 153	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 supp 0) ∈ Fin)
155	147, 142, 148, 154	isfsuppd 9276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 finSupp 0)
156	135, 147, 155	elrabd 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
157	156, 5	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
158	157	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∈ 𝐷)
159		breq1 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) → (1 ≤ (𝑏‘𝑢) ↔ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
160		breq1 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) → (0 ≤ (𝑏‘𝑢) ↔ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
161	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
162	161	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0)
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0)
164		elsni 4579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑌} → 𝑢 = 𝑌)
165	164	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 𝑢 = 𝑌)
166	165	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) = (𝑏‘𝑌))
167		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → ¬ (𝑏‘𝑌) = 0)
168	167	neqned 2942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑌) ≠ 0)
169	166, 168	eqnetrd 3002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ≠ 0)
170		elnnne0 12449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑢) ∈ ℕ ↔ ((𝑏‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (𝑏‘𝑢) ≠ 0))
171	163, 169, 170	sylanbrc 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → (𝑏‘𝑢) ∈ ℕ)
172	171	nnge1d 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 1 ≤ (𝑏‘𝑢))
173	162	nn0ge0d 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (𝑏‘𝑢))
174	173	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑢 ∈ {𝑌}) → 0 ≤ (𝑏‘𝑢))
175	159, 160, 172, 174	ifbothda 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢))
176	175	ralrimiva 3132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → ∀𝑢 ∈ 𝐼 if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢))
177	9	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐼 ∈ 𝑉)
178	143	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 1 ∈ ℕ0)
179	141	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
180	178, 179	ifexd 4510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ∈ V)
181		fvexd 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑢) ∈ V)
182		indval 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
183	9, 68, 182	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼)‘{𝑌}) = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
184	29, 183	eqtrid 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
185	184	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0)))
186	53	feqmptd 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑢)))
187	186	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏 = (𝑢 ∈ 𝐼 ↦ (𝑏‘𝑢)))
188	177, 180, 181, 185, 187	ofrfval2 7648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝐴 ∘r ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐼 if(𝑢 ∈ {𝑌}, 1, 0) ≤ (𝑏‘𝑢)))
189	176, 188	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∘r ≤ 𝑏)
190	134, 158, 189	elrabd 3638	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏})
191		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 )) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))
192	82	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
193		simplr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝑏 ∈ 𝐷)
194	146	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → 𝐴:𝐼⟶ℕ0)
195	6	psrbagcon 21907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏) → ((𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝑏 ∘f − 𝐴) ∘r ≤ 𝑏))
196	195	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝐴 ∘r ≤ 𝑏) → (𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷)
197	193, 194, 189, 196	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑏 ∘f − 𝐴) ∈ 𝐷)
198	192, 197	ffvelcdmd 7033	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
199	23, 132, 133, 190, 191, 198	gsummptif1n0 19939	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ if(𝑥 = 𝐴, (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)), 0 ))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
200	131, 199	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (𝑏‘𝑌) = 0) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))
201	16, 17, 101, 200	ifbothda 4500	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥))))) = if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴))))
202	201	mpteq2dva 5172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑏} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))
203	15, 202	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ if((𝑏‘𝑌) = 0, 0 , (𝐹‘(𝑏 ∘f − 𝐴)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  {crab 3392  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ifcif 4461  {csn 4562  {cpr 4564   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625   ∘_r cofr 7626   supp csupp 8107   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  0cc0 11036  1c1 11037   ≤ cle 11178   − cmin 11375  𝟭cind 12157  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  1_rcur 20160  Ringcrg 20212   mVar cmvr 21887   mPoly cmpl 21888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-ind 12158  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893

This theorem is referenced by:  esplyind  33766