Theorem esplyfv1 33925

Description: Coefficient for the 𝐾-th elementary symmetric polynomial and a bag of variables 𝐹 where variables are not raised to a power. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
esplyfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
esplyfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
esplyfv.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
esplyfv1.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
esplyfv1	⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   1 (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem esplyfv1

Dummy variables 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfv.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfv.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		esplyfv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		esplyfv.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
5		elfznn0 13647	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 6	esplyfval 33919	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
8	7	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹))
9		ovex 7443	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
10	1	ssrab3 4035	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
11	9, 10	ssexi 5292	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
13		nfv 1942	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑑𝜑
14		indf1o 33150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
15		f1of 6820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
16	2, 14, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
17	16	ffund 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
18		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0))
19		nn0ex 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ℕ0 ∈ V)
21	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝐼 ∈ Fin)
22		ssrab2 4033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
24	23	sselda 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ 𝒫 𝐼)
25	24	elpwid 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ⊆ 𝐼)
26		indf 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
27	21, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
28		0nn0 12518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 0 ∈ ℕ0)
30		1nn0 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 1 ∈ ℕ0)
32	29, 31	prssd 4787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
33	27, 32	fssd 6723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶ℕ0)
34	20, 21, 33	elmapdd 8837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
35	27, 21, 29	fidmfisupp 9331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0)
36	18, 34, 35	elrabd 3651	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
37	36, 1	eleqtrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ 𝐷)
38	13, 17, 37	funimassd 6947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
39		indf 12223	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
40	12, 38, 39	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
41		esplyfv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
42	40, 41	fvco3d 6982	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)))
43		indfval 12224	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
44	11, 38, 41, 43	mp3an2i 1493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
45	44	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)))
46		fvif 6897	. . . 4 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)))
48		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
49	48	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = (𝐹 supp 0))
50		indsupp 33153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
51	21, 25, 50	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
52	51	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
53	49, 52	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (𝐹 supp 0) = 𝑑)
54	53	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = (♯‘𝑑))
55		fveqeq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘𝑑) = 𝐾))
56		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
57	55, 56	elrabrd 3652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
58	57	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
59	54, 58	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
60	59	adantllr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
61	16	ffnd 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
62	61, 23	fvelimabd 6954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹))
63	62	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
64	60, 63	r19.29a 3171	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
65		fveqeq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐹 supp 0) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹))
66		fveqeq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝐹 supp 0) → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
67	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐼 ∈ Fin)
68		suppssdm 8172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ dom 𝐹
69	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
70	10, 41	sselid 3934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
71	2, 69, 70	elmaprd 32991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
72	68, 71	fssdm 6725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
73	72	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
74	67, 73	sselpwd 5298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ 𝒫 𝐼)
75		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
76	66, 74, 75	elrabd 3651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
77	71	ffnd 6706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
78		esplyfv1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
79		df-f 6540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐼⟶{0, 1} ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}))
80	77, 78, 79	sylanbrc 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶{0, 1})
81	2, 80	indfsid 33155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
82	81	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
83	82	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹)
84	65, 76, 83	rspcedvdw 3583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
85	62	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
86	84, 85	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
87	64, 86	impbida 812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
88		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
89		esplyfv.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
90	88, 89	zrh1 21641	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
91	3, 90	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
92		esplyfv.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
93	88, 92	zrh0 21642	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
94	3, 93	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
95	87, 91, 94	ifbieq12d 4515	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
96	45, 47, 95	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
97	8, 42, 96	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ifcif 4486  𝒫 cpw 4561  {cpr 4590   class class class wbr 5108  ran crn 5662   “ cima 5664   ∘ ccom 5665   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8155   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9320  0cc0 11099  1c1 11100  𝟭cind 12217  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  ♯chash 14365  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  ℤRHomczrh 21628  eSymPolycesply 33912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-ind 12218  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-cnfld 21502  df-zring 21576  df-zrh 21632  df-esply 33914

This theorem is referenced by:  esplyfv  33926  esplyfval3  33928