Theorem esplyfv1 33718

Description: Coefficient for the 𝐾-th elementary symmetric polynomial and a bag of variables 𝐹 where variables are not raised to a power. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
esplyfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
esplyfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
esplyfv.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
esplyfv1.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
esplyfv1	⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   1 (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem esplyfv1

Dummy variables 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfv.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfv.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		esplyfv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		esplyfv.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
5		elfznn0 13537	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 6	esplyfval 33712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
8	7	fveq1d 6834	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹))
9		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
10	1	ssrab3 4023	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
11	9, 10	ssexi 5257	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
13		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑑𝜑
14		indf1o 32929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
15		f1of 6772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
16	2, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
17	16	ffund 6664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
18		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0))
19		nn0ex 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ℕ0 ∈ V)
21	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝐼 ∈ Fin)
22		ssrab2 4021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
24	23	sselda 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ 𝒫 𝐼)
25	24	elpwid 4551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ⊆ 𝐼)
26		indf 32917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
27	21, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
28		0nn0 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 0 ∈ ℕ0)
30		1nn0 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 1 ∈ ℕ0)
32	29, 31	prssd 4766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
33	27, 32	fssd 6677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶ℕ0)
34	20, 21, 33	elmapdd 8779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
35	27, 21, 29	fidmfisupp 9276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0)
36	18, 34, 35	elrabd 3637	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
37	36, 1	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ 𝐷)
38	13, 17, 37	funimassd 6898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
39		indf 32917	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
40	12, 38, 39	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
41		esplyfv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
42	40, 41	fvco3d 6932	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)))
43		indfval 32918	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
44	11, 38, 41, 43	mp3an2i 1469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
45	44	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)))
46		fvif 6848	. . . 4 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)))
48		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
49	48	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = (𝐹 supp 0))
50		indsupp 32932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
51	21, 25, 50	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
53	49, 52	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (𝐹 supp 0) = 𝑑)
54	53	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = (♯‘𝑑))
55		fveqeq2 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘𝑑) = 𝐾))
56		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
57	55, 56	elrabrd 32557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
59	54, 58	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
60	59	adantllr 720	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
61	16	ffnd 6661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
62	61, 23	fvelimabd 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹))
63	62	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
64	60, 63	r19.29a 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
65		fveqeq2 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐹 supp 0) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹))
66		fveqeq2 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝐹 supp 0) → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
67	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐼 ∈ Fin)
68		suppssdm 8118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ dom 𝐹
69	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
70	10, 41	sselid 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
71	2, 69, 70	elmaprd 32742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
72	68, 71	fssdm 6679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
73	72	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
74	67, 73	sselpwd 5263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ 𝒫 𝐼)
75		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
76	66, 74, 75	elrabd 3637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
77	71	ffnd 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
78		esplyfv1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
79		df-f 6494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐼⟶{0, 1} ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}))
80	77, 78, 79	sylanbrc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶{0, 1})
81	2, 80	indfsid 32934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
82	81	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
83	82	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹)
84	65, 76, 83	rspcedvdw 3568	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
85	62	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
86	84, 85	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
87	64, 86	impbida 801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
88		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
89		esplyfv.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
90	88, 89	zrh1 21469	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
91	3, 90	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
92		esplyfv.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
93	88, 92	zrh0 21470	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
94	3, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
95	87, 91, 94	ifbieq12d 4496	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
96	45, 47, 95	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
97	8, 42, 96	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ran crn 5623   “ cima 5625   ∘ ccom 5626   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   supp csupp 8101   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9265  0cc0 11027  1c1 11028  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13424  ♯chash 14254  0_gc0g 17360  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  ℤRHomczrh 21456  𝟭cind 32912  eSymPolycesply 33705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-seq 13926  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-ind 32913  df-esply 33707

This theorem is referenced by:  esplyfv  33719  esplyfval3  33721