Theorem esplyfv1 33558

Description: Coefficient for the 𝐾-th elementary symmetric polynomial and a bag of variables 𝐹 where variables are not raised to a power. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
esplyfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
esplyfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
esplyfv.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
esplyfv1.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
esplyfv1	⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   1 (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem esplyfv1

Dummy variables 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfv.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfv.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		esplyfv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		esplyfv.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
5		elfznn0 13511	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 6	esplyfval 33554	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
8	7	fveq1d 6818	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹))
9		ovex 7373	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
10	1	ssrab3 4029	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
11	9, 10	ssexi 5257	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
13		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑑𝜑
14		indf1o 32800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
15		f1of 6758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
16	2, 14, 15	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
17	16	ffund 6650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
18		breq1 5091	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0))
19		nn0ex 12378	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ℕ0 ∈ V)
21	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝐼 ∈ Fin)
22		ssrab2 4027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
24	23	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ 𝒫 𝐼)
25	24	elpwid 4556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ⊆ 𝐼)
26		indf 32791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
27	21, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
28		0nn0 12387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 0 ∈ ℕ0)
30		1nn0 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 1 ∈ ℕ0)
32	29, 31	prssd 4771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
33	27, 32	fssd 6663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶ℕ0)
34	20, 21, 33	elmapdd 8759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
35	27, 21, 29	fidmfisupp 9250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0)
36	18, 34, 35	elrabd 3646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
37	36, 1	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ 𝐷)
38	13, 17, 37	funimassd 6882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
39		indf 32791	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
40	12, 38, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
41		esplyfv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
42	40, 41	fvco3d 6916	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)))
43		indfval 32792	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
44	11, 38, 41, 43	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
45	44	fveq2d 6820	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)))
46		fvif 6832	. . . 4 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)))
48		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
49	48	oveq1d 7355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = (𝐹 supp 0))
50		indsupp 32803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
51	21, 25, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
53	49, 52	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (𝐹 supp 0) = 𝑑)
54	53	fveq2d 6820	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = (♯‘𝑑))
55		fveqeq2 6825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘𝑑) = 𝐾))
56		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
57	55, 56	elrabrd 32430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
59	54, 58	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
60	59	adantllr 719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
61	16	ffnd 6647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
62	61, 23	fvelimabd 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹))
63	62	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
64	60, 63	r19.29a 3137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
65		fveqeq2 6825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐹 supp 0) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹))
66		fveqeq2 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝐹 supp 0) → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
67	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐼 ∈ Fin)
68		suppssdm 8101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ dom 𝐹
69	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
70	10, 41	sselid 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
71	2, 69, 70	elmaprd 32613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
72	68, 71	fssdm 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
73	72	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
74	67, 73	sselpwd 5263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ 𝒫 𝐼)
75		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
76	66, 74, 75	elrabd 3646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
77	71	ffnd 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
78		esplyfv1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
79		df-f 6480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐼⟶{0, 1} ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}))
80	77, 78, 79	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶{0, 1})
81	2, 80	indfsid 32805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
82	81	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
83	82	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹)
84	65, 76, 83	rspcedvdw 3577	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
85	62	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
86	84, 85	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
87	64, 86	impbida 800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
88		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
89		esplyfv.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
90	88, 89	zrh1 21403	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
91	3, 90	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
92		esplyfv.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
93	88, 92	zrh0 21404	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
94	3, 93	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
95	87, 91, 94	ifbieq12d 4501	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
96	45, 47, 95	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
97	8, 42, 96	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3392  Vcvv 3433   ⊆ wss 3899  ifcif 4472  𝒫 cpw 4547  {cpr 4575   class class class wbr 5088  ran crn 5614   “ cima 5616   ∘ ccom 5617   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   supp csupp 8084   ↑_m cmap 8744  Fincfn 8863   finSupp cfsupp 9239  0cc0 10997  1c1 10998  ℕ₀cn0 12372  ...cfz 13398  ♯chash 14225  0_gc0g 17330  1_rcur 20053  Ringcrg 20105  ℤRHomczrh 21390  𝟭cind 32786  eSymPolycesply 33547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-addf 11076  ax-mulf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-fz 13399  df-seq 13897  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-0g 17332  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mhm 18644  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-mulg 18934  df-subg 18989  df-ghm 19079  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-cring 20108  df-rhm 20344  df-subrng 20415  df-subrg 20439  df-cnfld 21246  df-zring 21338  df-zrh 21394  df-ind 32787  df-esply 33549

This theorem is referenced by:  esplyfv  33559