Theorem esplyfv1 34243

Description: Coefficient for the 𝐾-th elementary symmetric polynomial and a bag of variables 𝐹 where variables are not raised to a power. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
esplyfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
esplyfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
esplyfv.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
esplyfv1.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
esplyfv1	⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   1 (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem esplyfv1

Dummy variables 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfv.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfv.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		esplyfv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		esplyfv.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
5		elfznn0 13754	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 6	esplyfval 34237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
8	7	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹))
9		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
10	1	ssrab3 4007	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
11	9, 10	ssexi 5283	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
13		nfv 1946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑑𝜑
14		indf1o 33473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
15		f1of 6824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
16	2, 14, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
17	16	ffund 6714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
18		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0))
19		nn0ex 12612	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ℕ0 ∈ V)
21	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝐼 ∈ Fin)
22		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
24	23	sselda 3908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ 𝒫 𝐼)
25	24	elpwid 4565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ⊆ 𝐼)
26		indf 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
27	21, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
28		0nn0 12621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 0 ∈ ℕ0)
30		1nn0 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 1 ∈ ℕ0)
32	29, 31	prssd 4782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
33	27, 32	fssd 6727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶ℕ0)
34	20, 21, 33	elmapdd 8861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
35	27, 21, 29	fidmfisupp 9364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0)
36	18, 34, 35	elrabd 3646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
37	36, 1	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ 𝐷)
38	13, 17, 37	funimassd 6951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
39		indf 12326	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
40	12, 38, 39	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
41		esplyfv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
42	40, 41	fvco3d 6986	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)))
43		indfval 12327	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
44	11, 38, 41, 43	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
45	44	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)))
46		fvif 6901	. . . 4 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)))
48		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
49	48	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = (𝐹 supp 0))
50		indsupp 33476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
51	21, 25, 50	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
53	49, 52	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (𝐹 supp 0) = 𝑑)
54	53	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = (♯‘𝑑))
55		fveqeq2 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘𝑑) = 𝐾))
56		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
57	55, 56	elrabrd 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
58	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
59	54, 58	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
60	59	adantllr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
61	16	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
62	61, 23	fvelimabd 6958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹))
63	62	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
64	60, 63	r19.29a 3170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
65		fveqeq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐹 supp 0) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹))
66		fveqeq2 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝐹 supp 0) → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
67	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐼 ∈ Fin)
68		suppssdm 8194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ dom 𝐹
69	10, 41	sselid 3906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
70	69	elmaprd 8870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
71	68, 70	fssdm 6729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
72	71	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
73	67, 72	sselpwd 5289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ 𝒫 𝐼)
74		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
75	66, 73, 74	elrabd 3646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
76	70	ffnd 6710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
77		esplyfv1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
78		df-f 6542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐼⟶{0, 1} ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}))
79	76, 77, 78	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶{0, 1})
80	2, 79	indfsid 33478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
81	80	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
82	81	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹)
83	65, 75, 82	rspcedvdw 3579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
84	62	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
85	83, 84	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
86	64, 85	impbida 813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
87		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
88		esplyfv.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
89	87, 88	zrh1 21818	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
90	3, 89	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
91		esplyfv.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
92	87, 91	zrh0 21819	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
93	3, 92	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
94	86, 90, 93	ifbieq12d 4510	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
95	45, 47, 94	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
96	8, 42, 95	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ran crn 5651   “ cima 5653   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  1c1 11201  𝟭cind 12320  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  ♯chash 14474  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  ℤRHomczrh 21805  eSymPolycesply 34230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-ind 12321  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-esply 34232

This theorem is used by:  esplyfv  34244  esplyfval3  34246