Theorem esplyfv1 33968

Description: Coefficient for the 𝐾-th elementary symmetric polynomial and a bag of variables 𝐹 where variables are not raised to a power. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfv.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
esplyfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
esplyfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
esplyfv.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
esplyfv1.1	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})

Assertion

Ref	Expression
esplyfv1	⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   1 (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem esplyfv1

Dummy variables 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfv.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		esplyfv.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		esplyfv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		esplyfv.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
5		elfznn0 13653	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	1, 2, 3, 6	esplyfval 33962	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
8	7	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹))
9		ovex 7443	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
10	1	ssrab3 4036	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
11	9, 10	ssexi 5293	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
13		nfv 1944	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑑𝜑
14		indf1o 33193	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
15		f1of 6820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
16	2, 14, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
17	16	ffund 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
18		breq1 5112	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0))
19		nn0ex 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ℕ0 ∈ V)
21	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝐼 ∈ Fin)
22		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
24	23	sselda 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ 𝒫 𝐼)
25	24	elpwid 4571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ⊆ 𝐼)
26		indf 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
27	21, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
28		0nn0 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 0 ∈ ℕ0)
30		1nn0 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 1 ∈ ℕ0)
32	29, 31	prssd 4788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
33	27, 32	fssd 6723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶ℕ0)
34	20, 21, 33	elmapdd 8834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
35	27, 21, 29	fidmfisupp 9328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0)
36	18, 34, 35	elrabd 3652	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
37	36, 1	eleqtrrdi 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ 𝐷)
38	13, 17, 37	funimassd 6947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
39		indf 12228	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
40	12, 38, 39	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
41		esplyfv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
42	40, 41	fvco3d 6982	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝐹) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)))
43		indfval 12229	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
44	11, 38, 41, 43	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0))
45	44	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)))
46		fvif 6897	. . . 4 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), 1, 0)) = if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)))
48		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
49	48	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = (𝐹 supp 0))
50		indsupp 33196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
51	21, 25, 50	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
52	51	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) supp 0) = 𝑑)
53	49, 52	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (𝐹 supp 0) = 𝑑)
54	53	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = (♯‘𝑑))
55		fveqeq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘𝑑) = 𝐾))
56		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
57	55, 56	elrabrd 3653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
58	57	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘𝑑) = 𝐾)
59	54, 58	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
60	59	adantllr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
61	16	ffnd 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
62	61, 23	fvelimabd 6954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹))
63	62	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
64	60, 63	r19.29a 3173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
65		fveqeq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐹 supp 0) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹))
66		fveqeq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝐹 supp 0) → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
67	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐼 ∈ Fin)
68		suppssdm 8169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 supp 0) ⊆ dom 𝐹
69	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
70	10, 41	sselid 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
71	2, 69, 70	elmaprd 33034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
72	68, 71	fssdm 6725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
73	72	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
74	67, 73	sselpwd 5299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ 𝒫 𝐼)
75		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾)
76	66, 74, 75	elrabd 3652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → (𝐹 supp 0) ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
77	71	ffnd 6706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
78		esplyfv1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
79		df-f 6540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐼⟶{0, 1} ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ran 𝐹 ⊆ {0, 1}))
80	77, 78, 79	sylanbrc 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶{0, 1})
81	2, 80	indfsid 33198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
82	81	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)))
83	82	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐹 supp 0)) = 𝐹)
84	65, 76, 83	rspcedvdw 3584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹)
85	62	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝐹) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
86	84, 85	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
87	64, 86	impbida 812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ (♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾))
88		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
89		esplyfv.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
90	88, 89	zrh1 21671	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
91	3, 90	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘1) = 1 )
92		esplyfv.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
93	88, 92	zrh0 21672	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
94	3, 93	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
95	87, 91, 94	ifbieq12d 4516	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}), ((ℤRHom‘𝑅)‘1), ((ℤRHom‘𝑅)‘0)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
96	45, 47, 95	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝐹)) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
97	8, 42, 96	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝐹) = if((♯‘(𝐹 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ifcif 4487  𝒫 cpw 4562  {cpr 4591   class class class wbr 5109  ran crn 5662   “ cima 5664   ∘ ccom 5665   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8152   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317  0cc0 11104  1c1 11105  𝟭cind 12222  ℕ₀cn0 12508  ...cfz 13539  ♯chash 14371  0_gc0g 17496  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  ℤRHomczrh 21658  eSymPolycesply 33955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-ind 12223  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-seq 14043  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-rhm 20559  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-cnfld 21532  df-zring 21606  df-zrh 21662  df-esply 33957

This theorem is used by:  esplyfv  33969  esplyfval3  33971