Theorem mplvrpmmhm 33576

Description: The action of permuting variables in a multivariate polynomial is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmga.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmga.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmga.3	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
mplvrpmga.4	⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
mplvrpmga.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝐷𝐴𝑓))
mplvrpmmhm.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvrpmmhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplvrpmmhm.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑓,𝑥   𝐼,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑀,𝑑,𝑓,𝑥   𝑃,𝑑,𝑓,𝑥   𝑥,𝑅   𝜑,𝑑,𝑓,𝑥   𝐷,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑥,𝐹   𝑊,𝑑,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑑)   𝑆(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑑)   𝑀(ℎ)   𝑉(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmmhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvrpmga.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
2		mplvrpmmhm.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3	2	fveq2i 6825	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4	1, 3	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2731	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		eqid 2731	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7		mplvrpmga.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mplvrpmmhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	2, 7, 8	mplringd 21960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
10	9	ringgrpd 20160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
11	10	grpmndd 18859	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
12		mplvrpmmhm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		mplvrpmga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
14		mplvrpmga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
15		mplvrpmga.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
16	13, 14, 1, 15, 7	mplvrpmga 33575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
17	14	gaf 19207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀) → 𝐴:(𝑃 × 𝑀)⟶𝑀)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(𝑃 × 𝑀)⟶𝑀)
19	18	fovcld 7473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
20	19	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
21	20	an32s 652	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝐷 ∈ 𝑃) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
22	12, 21	mpidan 689	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
23		mplvrpmmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝐷𝐴𝑓))
24	22, 23	fmptd 7047	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑀⟶𝑀)
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
27	26	psrbasfsupp 33572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
28		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
29	2, 25, 4, 27, 28	mplelf 21935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑖:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑖:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffnd 6652	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑖 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑗 ∈ 𝑀)
33	2, 25, 4, 27, 32	mplelf 21935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑗:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑗:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
35	34	ffnd 6652	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑗 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
36		ovex 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
37	36	rabex 5275	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
39		breq1 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0))
40		nn0ex 12387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
42	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
45		breq1 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
46	45	elrab 3642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
47	46	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
49	48	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
50	43, 44, 49	elmaprd 32661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
51	50	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
52	13, 14	symgbasf1o 19287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
54		f1of 6763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
56	55	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
57	51, 56	fcod 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
58	41, 42, 57	elmapdd 8765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
59	48	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 finSupp 0)
60	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
61		f1of1 6762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
63		0nn0 12396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℕ0)
65		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
66	59, 62, 64, 65	fsuppco 9286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0)
67	66	ad4ant14 752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0)
68	39, 58, 67	elrabd 3644	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
69		fnfvof 7627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∧ 𝑗 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
70	31, 35, 38, 68, 69	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
71		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑖 → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴𝑖))
72	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
73		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → 𝑓 = 𝑖)
74		coeq2 5797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
76	73, 75	fveq12d 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
77	76	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
79	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ 𝑃)
80	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
81	80	mptexd 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
82	72, 78, 79, 28, 81	ovmpod 7498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑖) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
83	71, 82	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
84	23, 83, 28, 81	fvmptd2 6937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
85		fvexd 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)) ∈ V)
86	84, 85	fvmpt2d 6942	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
87		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴𝑗))
88		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → 𝑓 = 𝑗)
89	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
90	88, 89	fveq12d 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
91	90	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
93	80	mptexd 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
94	72, 92, 79, 32, 93	ovmpod 7498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑗) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
95	87, 94	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
96	23, 95, 32, 93	fvmptd2 6937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
97		fvexd 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)) ∈ V)
98	96, 97	fvmpt2d 6942	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑥) = (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
99	86, 98	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
100	70, 99	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥)))
101	100	mpteq2dva 5182	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥))))
102	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐹:𝑀⟶𝑀)
103	102, 28	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑀)
104	2, 25, 4, 27, 103	mplelf 21935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
105	104	ffnd 6652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
106	102, 32	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑀)
107	2, 25, 4, 27, 106	mplelf 21935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
108	107	ffnd 6652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
109	80, 105, 108	offvalfv 7632	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥))))
110	101, 109	eqtr4d 2769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
111		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)))
112		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗))
113	74	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
114	112, 113	fveq12d 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
115	114	mpteq2dv 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
116	115	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
117	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ Grp)
118	4, 5, 117, 28, 32	grpcld 18860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) ∈ 𝑀)
119	80	mptexd 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
120	72, 116, 79, 118, 119	ovmpod 7498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
121	111, 120	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
122	23, 121, 118, 119	fvmptd2 6937	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
123		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
124	2, 4, 123, 5, 28, 32	mpladd 21946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) = (𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗))
125	124	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
126	125	mpteq2dv 5183	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
127	122, 126	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
128	2, 4, 123, 5, 103, 106	mpladd 21946	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
129	110, 127, 128	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)))
130	129	anasss 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)))
131		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → 𝑓 = (0g‘𝑊))
132	131	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴(0g‘𝑊)))
133	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
134		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑓 = (0g‘𝑊))
135		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
136	8	ringgrpd 20160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
137	2, 27, 135, 6, 7, 136	mpl0 21943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
138	137	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (0g‘𝑊) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
139	134, 138	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑓 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
140	74	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
141	140	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
142	139, 141	fveq12d 6829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
143	142	mpteq2dva 5182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
144	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
145	50, 144	fcod 6676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
146	44, 43, 145	elmapdd 8765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
147	39, 146, 66	elrabd 3644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
148		fvex 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
149	148	fvconst2 7138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (0g‘𝑅))
150	147, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (0g‘𝑅))
151	150	mpteq2dva 5182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
152		fconstmpt 5676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅))
153	137, 152	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
154	151, 153	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (0g‘𝑊))
155	154	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (0g‘𝑊))
156	143, 155	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (0g‘𝑊))
157	4, 6	grpidcl 18878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑀)
158	10, 157	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑀)
159	133, 156, 12, 158, 158	ovmpod 7498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐴(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
160	159	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
161	132, 160	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴𝑓) = (0g‘𝑊))
162	23, 161, 158, 158	fvmptd2 6937	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
163	4, 4, 5, 5, 6, 6, 11, 11, 24, 130, 162	ismhmd 18694	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  {csn 4573   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  –1-1→wf1 6478  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750   finSupp cfsupp 9245  0cc0 11006  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343   MndHom cmhm 18689  Grpcgrp 18846   GrpAct cga 19201  SymGrpcsymg 19281  Ringcrg 20151   mPoly cmpl 21843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-efmnd 18777  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-ga 19202  df-cntz 19229  df-symg 19282  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-psr 21846  df-mpl 21848

This theorem is referenced by:  mplvrpmrhm  33577