Theorem mplvrpmmhm 33727

Description: The action of permuting variables in a multivariate polynomial is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmga.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmga.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmga.3	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
mplvrpmga.4	⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
mplvrpmga.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝐷𝐴𝑓))
mplvrpmmhm.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvrpmmhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplvrpmmhm.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑓,𝑥   𝐼,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑀,𝑑,𝑓,𝑥   𝑃,𝑑,𝑓,𝑥   𝑥,𝑅   𝜑,𝑑,𝑓,𝑥   𝐷,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑥,𝐹   𝑊,𝑑,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑑)   𝑆(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑑)   𝑀(ℎ)   𝑉(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmmhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvrpmga.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
2		mplvrpmmhm.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3	2	fveq2i 6845	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4	1, 3	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7		mplvrpmga.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mplvrpmmhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	2, 7, 8	mplringd 21993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
10	9	ringgrpd 20192	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
11	10	grpmndd 18891	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
12		mplvrpmmhm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		mplvrpmga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
14		mplvrpmga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
15		mplvrpmga.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
16	13, 14, 1, 15, 7	mplvrpmga 33726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
17	14	gaf 19239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀) → 𝐴:(𝑃 × 𝑀)⟶𝑀)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(𝑃 × 𝑀)⟶𝑀)
19	18	fovcld 7495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
20	19	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
21	20	an32s 653	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝐷 ∈ 𝑃) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
22	12, 21	mpidan 690	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
23		mplvrpmmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝐷𝐴𝑓))
24	22, 23	fmptd 7068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑀⟶𝑀)
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
27	26	psrbasfsupp 33709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
28		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
29	2, 25, 4, 27, 28	mplelf 21968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑖:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑖:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffnd 6671	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑖 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑗 ∈ 𝑀)
33	2, 25, 4, 27, 32	mplelf 21968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑗:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑗:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
35	34	ffnd 6671	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑗 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
36		ovex 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
37	36	rabex 5286	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
39		breq1 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0))
40		nn0ex 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
42	7	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
45		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
46	45	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
47	46	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
49	48	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
50	43, 44, 49	elmaprd 32774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
51	50	ad4ant14 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
52	13, 14	symgbasf1o 19319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
54		f1of 6782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
56	55	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
57	51, 56	fcod 6695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
58	41, 42, 57	elmapdd 8790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
59	48	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 finSupp 0)
60	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
61		f1of1 6781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
63		0nn0 12428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℕ0)
65		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
66	59, 62, 64, 65	fsuppco 9317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0)
67	66	ad4ant14 753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0)
68	39, 58, 67	elrabd 3650	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
69		fnfvof 7649	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∧ 𝑗 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
70	31, 35, 38, 68, 69	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
71		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑖 → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴𝑖))
72	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
73		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → 𝑓 = 𝑖)
74		coeq2 5815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
76	73, 75	fveq12d 6849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
77	76	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
79	12	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ 𝑃)
80	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
81	80	mptexd 7180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
82	72, 78, 79, 28, 81	ovmpod 7520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑖) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
83	71, 82	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
84	23, 83, 28, 81	fvmptd2 6958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
85		fvexd 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)) ∈ V)
86	84, 85	fvmpt2d 6963	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
87		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴𝑗))
88		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → 𝑓 = 𝑗)
89	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
90	88, 89	fveq12d 6849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
91	90	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
93	80	mptexd 7180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
94	72, 92, 79, 32, 93	ovmpod 7520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑗) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
95	87, 94	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
96	23, 95, 32, 93	fvmptd2 6958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
97		fvexd 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)) ∈ V)
98	96, 97	fvmpt2d 6963	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑥) = (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
99	86, 98	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
100	70, 99	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥)))
101	100	mpteq2dva 5193	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥))))
102	24	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐹:𝑀⟶𝑀)
103	102, 28	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑀)
104	2, 25, 4, 27, 103	mplelf 21968	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
105	104	ffnd 6671	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
106	102, 32	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑀)
107	2, 25, 4, 27, 106	mplelf 21968	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
108	107	ffnd 6671	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
109	80, 105, 108	offvalfv 7654	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥))))
110	101, 109	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
111		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)))
112		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗))
113	74	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
114	112, 113	fveq12d 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
115	114	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
116	115	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
117	10	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ Grp)
118	4, 5, 117, 28, 32	grpcld 18892	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) ∈ 𝑀)
119	80	mptexd 7180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
120	72, 116, 79, 118, 119	ovmpod 7520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
121	111, 120	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
122	23, 121, 118, 119	fvmptd2 6958	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
123		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
124	2, 4, 123, 5, 28, 32	mpladd 21979	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) = (𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗))
125	124	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
126	125	mpteq2dv 5194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
127	122, 126	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
128	2, 4, 123, 5, 103, 106	mpladd 21979	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
129	110, 127, 128	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)))
130	129	anasss 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)))
131		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → 𝑓 = (0g‘𝑊))
132	131	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴(0g‘𝑊)))
133	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
134		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑓 = (0g‘𝑊))
135		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
136	8	ringgrpd 20192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
137	2, 27, 135, 6, 7, 136	mpl0 21976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
138	137	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (0g‘𝑊) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
139	134, 138	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑓 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
140	74	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
141	140	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
142	139, 141	fveq12d 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
143	142	mpteq2dva 5193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
144	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
145	50, 144	fcod 6695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
146	44, 43, 145	elmapdd 8790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
147	39, 146, 66	elrabd 3650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
148		fvex 6855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
149	148	fvconst2 7160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (0g‘𝑅))
150	147, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (0g‘𝑅))
151	150	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
152		fconstmpt 5694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅))
153	137, 152	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
154	151, 153	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (0g‘𝑊))
155	154	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (0g‘𝑊))
156	143, 155	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (0g‘𝑊))
157	4, 6	grpidcl 18910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑀)
158	10, 157	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑀)
159	133, 156, 12, 158, 158	ovmpod 7520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐴(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
160	159	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
161	132, 160	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴𝑓) = (0g‘𝑊))
162	23, 161, 158, 158	fvmptd2 6958	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
163	4, 4, 5, 5, 6, 6, 11, 11, 24, 130, 162	ismhmd 18723	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630   ∘ ccom 5636   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ∘_f cof 7630   ↑_m cmap 8775   finSupp cfsupp 9276  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371   MndHom cmhm 18718  Grpcgrp 18878   GrpAct cga 19233  SymGrpcsymg 19313  Ringcrg 20183   mPoly cmpl 21877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-efmnd 18806  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-ghm 19157  df-ga 19234  df-cntz 19261  df-symg 19314  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-psr 21880  df-mpl 21882

This theorem is referenced by:  mplvrpmrhm  33728