Theorem mplvrpmmhm 34178

Description: The action of permuting variables in a multivariate polynomial is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmga.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmga.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmga.3	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
mplvrpmga.4	⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
mplvrpmga.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝐷𝐴𝑓))
mplvrpmmhm.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvrpmmhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplvrpmmhm.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑓,𝑥   𝐼,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑀,𝑑,𝑓,𝑥   𝑃,𝑑,𝑓,𝑥   𝑥,𝑅   𝜑,𝑑,𝑓,𝑥   𝐷,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑥,𝐹   𝑊,𝑑,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(𝑓, ℎ, 𝑑)   𝑆(𝑥, 𝑓, ℎ, 𝑑)   𝐹(𝑓, ℎ, 𝑑)   𝑀(ℎ)   𝑉(𝑥, 𝑓, ℎ, 𝑑)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmmhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvrpmga.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
2		mplvrpmmhm.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3	2	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4	1, 3	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2761	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		eqid 2761	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7		mplvrpmga.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mplvrpmmhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	2, 7, 8	mplringd 22330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
10	9	ringgrpd 20469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
11	10	grpmndd 19157	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
12		mplvrpmmhm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		mplvrpmga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
14		mplvrpmga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
15		mplvrpmga.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
16	13, 14, 1, 15, 7	mplvrpmga 34177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
17	14	gaf 19509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀) → 𝐴:(𝑃 × 𝑀)⟶𝑀)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(𝑃 × 𝑀)⟶𝑀)
19	18	fovcld 7547	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
20	19	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
21	20	an32s 665	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝐷 ∈ 𝑃) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
22	12, 21	mpidan 702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
23		mplvrpmmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝐷𝐴𝑓))
24	22, 23	fmptd 7114	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑀⟶𝑀)
25		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
27	26	psrbasfsupp 34143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
28		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
29	2, 25, 4, 27, 28	mplelf 22305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑖:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑖:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑖 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
32		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑗 ∈ 𝑀)
33	2, 25, 4, 27, 32	mplelf 22305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑗:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑗:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
35	34	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑗 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
36		ovex 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
37	36	rabex 5300	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
39		breq1 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0))
40		nn0ex 12612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
42	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
44	43	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
45	44	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
46	45	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
47	46	elmaprd 8870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
48	47	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
49	13, 14	symgbasf1o 19589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
50	12, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
51		f1of 6824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
53	52	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
54	48, 53	fcod 6735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
55	41, 42, 54	elmapdd 8861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
56	45	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 finSupp 0)
57	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
58		f1of1 6823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
60		0nn0 12621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℕ0)
62		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
63	56, 59, 61, 62	fsuppco 9394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0)
64	63	ad4ant14 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0)
65	39, 55, 64	elrabd 3647	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
66		fnfvof 7710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∧ 𝑗 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
67	31, 35, 38, 65, 66	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
68		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑖 → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴𝑖))
69	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
70		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → 𝑓 = 𝑖)
71		coeq2 5836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
72	71	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
73	70, 72	fveq12d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
74	73	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
75	74	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
76	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ 𝑃)
77	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
78	77	mptexd 7230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
79	69, 75, 76, 28, 78	ovmpod 7572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑖) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
80	68, 79	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
81	23, 80, 28, 78	fvmptd2 7002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
82		fvexd 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)) ∈ V)
83	81, 82	fvmpt2d 7007	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
84		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴𝑗))
85		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → 𝑓 = 𝑗)
86	71	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
87	85, 86	fveq12d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
88	87	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
89	88	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
90	77	mptexd 7230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
91	69, 89, 76, 32, 90	ovmpod 7572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑗) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
92	84, 91	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
93	23, 92, 32, 90	fvmptd2 7002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
94		fvexd 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)) ∈ V)
95	93, 94	fvmpt2d 7007	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑥) = (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
96	83, 95	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
97	67, 96	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥)))
98	97	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥))))
99	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐹:𝑀⟶𝑀)
100	99, 28	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑀)
101	2, 25, 4, 27, 100	mplelf 22305	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
102	101	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
103	99, 32	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑀)
104	2, 25, 4, 27, 103	mplelf 22305	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
105	104	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
106	77, 102, 105	offvalfv 7715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥))))
107	98, 106	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
108		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)))
109		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗))
110	71	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
111	109, 110	fveq12d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
112	111	mpteq2dv 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
113	112	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
114	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ Grp)
115	4, 5, 114, 28, 32	grpcld 19158	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) ∈ 𝑀)
116	77	mptexd 7230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
117	69, 113, 76, 115, 116	ovmpod 7572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
118	108, 117	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
119	23, 118, 115, 116	fvmptd2 7002	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
120		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
121	2, 4, 120, 5, 28, 32	mpladd 22316	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) = (𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗))
122	121	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
123	122	mpteq2dv 5199	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
124	119, 123	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
125	2, 4, 120, 5, 100, 103	mpladd 22316	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
126	107, 124, 125	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)))
127	126	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)))
128		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → 𝑓 = (0g‘𝑊))
129	128	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴(0g‘𝑊)))
130	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
131		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑓 = (0g‘𝑊))
132		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
133	8	ringgrpd 20469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
134	2, 27, 132, 6, 7, 133	mpl0 22313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
135	134	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (0g‘𝑊) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
136	131, 135	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑓 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
137	71	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
138	137	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
139	136, 138	fveq12d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
140	139	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
141	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
142	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
143	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
144	47, 143	fcod 6735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
145	141, 142, 144	elmapdd 8861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
146	39, 145, 63	elrabd 3647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
147		fvex 6898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
148	147	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (0g‘𝑅))
149	146, 148	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (0g‘𝑅))
150	149	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
151		fconstmpt 5713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅))
152	134, 151	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
153	150, 152	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (0g‘𝑊))
154	153	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (0g‘𝑊))
155	140, 154	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (0g‘𝑊))
156	4, 6, 10	grpidcld 33600	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑀)
157	130, 155, 12, 156, 156	ovmpod 7572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐴(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
158	157	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
159	129, 158	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴𝑓) = (0g‘𝑊))
160	23, 159, 156, 156	fvmptd2 7002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
161	4, 4, 5, 5, 6, 6, 11, 11, 24, 127, 160	ismhmd 18981	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8847   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610   MndHom cmhm 18976  Grpcgrp 19144   GrpAct cga 19503  SymGrpcsymg 19583  Ringcrg 20459   mPoly cmpl 22214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-ga 19504  df-cntz 19531  df-symg 19584  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-psr 22217  df-mpl 22219

This theorem is used by:  mplvrpmrhm  34179