Theorem mplvrpmmhm 33936

Description: The action of permuting variables in a multivariate polynomial is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvrpmga.1	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
mplvrpmga.2	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
mplvrpmga.3	⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
mplvrpmga.4	⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
mplvrpmga.5	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplvrpmmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝐷𝐴𝑓))
mplvrpmmhm.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvrpmmhm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplvrpmmhm.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplvrpmmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑓,𝑥   𝐼,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑀,𝑑,𝑓,𝑥   𝑃,𝑑,𝑓,𝑥   𝑥,𝑅   𝜑,𝑑,𝑓,𝑥   𝐷,𝑑,𝑓,ℎ,𝑥   𝑥,𝐹   𝑊,𝑑,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑑)   𝑆(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   𝐹(𝑓,ℎ,𝑑)   𝑀(ℎ)   𝑉(𝑥,𝑓,ℎ,𝑑)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem mplvrpmmhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvrpmga.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
2		mplvrpmmhm.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3	2	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
4	1, 3	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7		mplvrpmga.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mplvrpmmhm.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	2, 7, 8	mplringd 22172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
10	9	ringgrpd 20319	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
11	10	grpmndd 19008	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
12		mplvrpmmhm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		mplvrpmga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐼)
14		mplvrpmga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
15		mplvrpmga.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))))
16	13, 14, 1, 15, 7	mplvrpmga 33935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀))
17	14	gaf 19360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 GrpAct 𝑀) → 𝐴:(𝑃 × 𝑀)⟶𝑀)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(𝑃 × 𝑀)⟶𝑀)
19	18	fovcld 7537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
20	19	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
21	20	an32s 664	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝐷 ∈ 𝑃) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
22	12, 21	mpidan 701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑓) ∈ 𝑀)
23		mplvrpmmhm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝐷𝐴𝑓))
24	22, 23	fmptd 7109	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑀⟶𝑀)
25		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
27	26	psrbasfsupp 33901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
28		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
29	2, 25, 4, 27, 28	mplelf 22147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑖:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
30	29	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑖:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
31	30	ffnd 6706	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑖 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
32		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑗 ∈ 𝑀)
33	2, 25, 4, 27, 32	mplelf 22147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑗:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
34	33	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑗:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
35	34	ffnd 6706	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑗 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
36		ovex 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
37	36	rabex 5309	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
39		breq1 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝐷) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0))
40		nn0ex 12505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
42	7	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
45		breq1 5112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑥 finSupp 0))
46	45	elrab 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↔ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
47	46	bilani 509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∧ 𝑥 finSupp 0))
48	47	simpld 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
49	43, 44, 48	elmaprd 33025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
50	49	ad4ant14 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
51	13, 14	symgbasf1o 19440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
52	12, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
53		f1of 6820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
55	54	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
56	50, 55	fcod 6731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
57	41, 42, 56	elmapdd 8834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
58	47	simprd 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 finSupp 0)
59	52	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼)
60		f1of1 6819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:𝐼–1-1-onto→𝐼 → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
61	59, 60	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼–1-1→𝐼)
62		0nn0 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ ℕ0)
64		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
65	58, 61, 63, 64	fsuppco 9358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0)
66	65	ad4ant14 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) finSupp 0)
67	39, 57, 66	elrabd 3652	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
68		fnfvof 7691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∧ 𝑗 Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V ∧ (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
69	31, 35, 38, 67, 68	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
70		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑖 → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴𝑖))
71	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
72		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → 𝑓 = 𝑖)
73		coeq2 5844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
74	73	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
75	72, 74	fveq12d 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
76	75	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
77	76	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
78	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐷 ∈ 𝑃)
79	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ∈ V)
80	79	mptexd 7222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
81	71, 77, 78, 28, 80	ovmpod 7562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑖) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
82	70, 81	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = 𝑖) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
83	23, 82, 28, 80	fvmptd2 6998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
84		fvexd 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)) ∈ V)
85	83, 84	fvmpt2d 7003	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐹‘𝑖)‘𝑥) = (𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
86		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑗 → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴𝑗))
87		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → 𝑓 = 𝑗)
88	73	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
89	87, 88	fveq12d 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
90	89	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
91	90	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = 𝑗)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
92	79	mptexd 7222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
93	71, 91, 78, 32, 92	ovmpod 7562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴𝑗) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
94	86, 93	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = 𝑗) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
95	23, 94, 32, 92	fvmptd2 6998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
96		fvexd 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)) ∈ V)
97	95, 96	fvmpt2d 7003	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑥) = (𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
98	85, 97	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥)) = ((𝑖‘(𝑥 ∘ 𝐷))(+g‘𝑅)(𝑗‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
99	69, 98	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥)))
100	99	mpteq2dva 5204	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥))))
101	24	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐹:𝑀⟶𝑀)
102	101, 28	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑀)
103	2, 25, 4, 27, 102	mplelf 22147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
104	103	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑖) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
105	101, 32	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑀)
106	2, 25, 4, 27, 105	mplelf 22147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
107	106	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘𝑗) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
108	79, 104, 107	offvalfv 7696	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (((𝐹‘𝑖)‘𝑥)(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑗)‘𝑥))))
109	100, 108	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
110		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)))
111		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗))
112	73	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
113	111, 112	fveq12d 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
114	113	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
115	114	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
116	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ Grp)
117	4, 5, 116, 28, 32	grpcld 19009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) ∈ 𝑀)
118	79	mptexd 7222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) ∈ V)
119	71, 115, 78, 117, 118	ovmpod 7562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐷𝐴(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
120	110, 119	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑓 = (𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
121	23, 120, 117, 118	fvmptd2 6998	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
122		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
123	2, 4, 122, 5, 28, 32	mpladd 22158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑖(+g‘𝑊)𝑗) = (𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗))
124	123	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
125	124	mpteq2dv 5205	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖(+g‘𝑊)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
126	121, 125	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ ((𝑖 ∘f (+g‘𝑅)𝑗)‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
127	2, 4, 122, 5, 102, 105	mpladd 22158	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑖) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑗)))
128	109, 126, 127	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)))
129	128	anasss 471	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → (𝐹‘(𝑖(+g‘𝑊)𝑗)) = ((𝐹‘𝑖)(+g‘𝑊)(𝐹‘𝑗)))
130		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → 𝑓 = (0g‘𝑊))
131	130	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴𝑓) = (𝐷𝐴(0g‘𝑊)))
132	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑑 ∈ 𝑃, 𝑓 ∈ 𝑀 ↦ (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)))))
133		simplrr 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑓 = (0g‘𝑊))
134		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
135	8	ringgrpd 20319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
136	2, 27, 134, 6, 7, 135	mpl0 22155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
137	136	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (0g‘𝑊) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
138	133, 137	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑓 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
139	73	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
140	139	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝑑) = (𝑥 ∘ 𝐷))
141	138, 140	fveq12d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑)) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)))
142	141	mpteq2dva 5204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))))
143	54	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐷:𝐼⟶𝐼)
144	49, 143	fcod 6731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷):𝐼⟶ℕ0)
145	44, 43, 144	elmapdd 8834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
146	39, 145, 65	elrabd 3652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
147		fvex 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
148	147	fvconst2 7202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝐷) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (0g‘𝑅))
149	146, 148	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷)) = (0g‘𝑅))
150	149	mpteq2dva 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
151		fconstmpt 5723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅))
152	136, 151	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) = (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
153	150, 152	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (0g‘𝑊))
154	153	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑥 ∘ 𝐷))) = (0g‘𝑊))
155	142, 154	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊))) → (𝑥 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝑓‘(𝑥 ∘ 𝑑))) = (0g‘𝑊))
156	4, 6	grpidcl 19027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑀)
157	10, 156	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑀)
158	132, 155, 12, 157, 157	ovmpod 7562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷𝐴(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
159	158	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
160	131, 159	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (0g‘𝑊)) → (𝐷𝐴𝑓) = (0g‘𝑊))
161	23, 160, 157, 157	fvmptd2 6998	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
162	4, 4, 5, 5, 6, 6, 11, 11, 24, 129, 161	ismhmd 18839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ∘ ccom 5665   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ∘_f cof 7672   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317  0cc0 11095  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487   MndHom cmhm 18834  Grpcgrp 18995   GrpAct cga 19354  SymGrpcsymg 19434  Ringcrg 20310   mPoly cmpl 22056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-efmnd 18923  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-ga 19355  df-cntz 19382  df-symg 19435  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-psr 22059  df-mpl 22061

This theorem is referenced by:  mplvrpmrhm  33937