Theorem esplymhp 34065

Description: The 𝐾-th elementary symmetric polynomial is homogeneous of degree 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplymhp.1	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
esplymhp	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplymhp

Dummy variables 𝑑 𝑐 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplympl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
4	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝐼 ∈ Fin)
5		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
7	6	sselda 3934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐼)
8	7	elpwid 4569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑏 ⊆ 𝐼)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑏 ⊆ 𝐼)
10		indf 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑏 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏):𝐼⟶{0, 1})
11	4, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏):𝐼⟶{0, 1})
12	3, 11	feq1dd 6689	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑑:𝐼⟶{0, 1})
13		indf1o 33297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
14		f1of 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
15	1, 13, 14	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
16	15	ffund 6711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → Fun (𝟭‘𝐼))
18		ovex 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19		esplympl.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
20	19	ssrab3 4033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
21	18, 20	ssexi 5291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐷 ∈ V)
23		esplympl.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
25		esplympl.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
27	19, 2, 24, 26	esplylem 34063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
28		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ 𝐷)
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅))
30	29	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (0g‘𝑅))
31		indf 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
32	22, 27, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
34	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → 𝑑 ∈ 𝐷)
35	33, 34	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ∈ {0, 1})
36		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1)
37		elprn2 4616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ∈ {0, 1} ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 0)
38	35, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 0)
39	38	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
40		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
41		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	40, 41	zrh0 21727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
43	23, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
44	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
45	39, 44	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) = (0g‘𝑅))
46	19, 1, 23, 25	esplyfval 34060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
48	47	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝑑))
49	32, 28	fvco3d 6983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝑑) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)))
50	48, 49	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)))
51	50, 29	eqnetrrd 3025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) ≠ (0g‘𝑅))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) ≠ (0g‘𝑅))
53	45, 52	pm2.21ddne 3041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (0g‘𝑅))
54	30, 53	mtand 828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1)
55		nne 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1 ↔ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1)
56	54, 55	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1)
57		ind1a 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → ((((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1 ↔ 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))
58	57	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1) → 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
59	22, 27, 28, 56, 58	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
60		fvelima 6947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝟭‘𝐼) ∧ 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
61	17, 59, 60	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
62	12, 61	r19.29a 3172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑:𝐼⟶{0, 1})
63	2, 62	indfsid 33302	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0)))
64	63	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg 𝑑) = (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))))
65		nn0subm 21636	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
68	67	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
69	68	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
70	69	elmaprd 8852	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
71		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
72	2, 66, 70, 71	gsumsubm 18945	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑))
73		suppssdm 8178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 supp 0) ⊆ dom 𝑑
74	68	elmaprd 8852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
75	74	fdmd 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → dom 𝑑 = 𝐼)
76	75	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → dom 𝑑 = 𝐼)
77	73, 76	sseqtrid 3976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑑 supp 0) ⊆ 𝐼)
78	2, 77	ssfid 9242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑑 supp 0) ∈ Fin)
79	2, 77, 78	gsumind 33772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))) = (♯‘(𝑑 supp 0)))
80	3	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = (𝑑 supp 0))
81		indsupp 33300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑏 ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = 𝑏)
82	4, 9, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = 𝑏)
83	80, 82	eqtr3d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (𝑑 supp 0) = 𝑏)
84	83	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = (♯‘𝑏))
85		fveqeq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘𝑏) = 𝐾))
86		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
87	85, 86	elrabrd 3651	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘𝑏) = 𝐾)
88	84, 87	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = 𝐾)
89	88, 61	r19.29a 3172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = 𝐾)
90	79, 89	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))) = 𝐾)
91	64, 72, 90	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾)
92	91	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾))
93	92	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾))
94		esplymhp.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
95		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
96		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
97	19	psrbasfsupp 34008	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
98	19, 1, 23, 25, 96	esplympl 34064	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
99	94, 95, 96, 41, 97, 25, 98	ismhp3 22371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾)))
100	93, 99	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {cpr 4589   class class class wbr 5107  dom cdm 5659   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11127  1c1 11128  𝟭cind 12245  ℕ₀cn0 12531  ♯chash 14396  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  SubMndcsubmnd 18891  Ringcrg 20373  ℂ_fldccnfld 21586  ℤRHomczrh 21713   mPoly cmpl 22122   mHomP cmhp 22362  eSymPolycesply 34053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-ind 12246  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-field 20894  df-cnfld 21587  df-zring 21661  df-zrh 21717  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-mhp 22365  df-esply 34055

This theorem is used by: (None)