Theorem esplymhp 33705

Description: The 𝐾-th elementary symmetric polynomial is homogeneous of degree 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplymhp.1	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
esplymhp	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplymhp

Dummy variables 𝑑 𝑐 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplympl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
4	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝐼 ∈ Fin)
5		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
7	6	sselda 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐼)
8	7	elpwid 4562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑏 ⊆ 𝐼)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑏 ⊆ 𝐼)
10		indf 32913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑏 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏):𝐼⟶{0, 1})
11	4, 9, 10	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏):𝐼⟶{0, 1})
12	3, 11	feq1dd 6644	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑑:𝐼⟶{0, 1})
13		indf1o 32925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
14		f1of 6773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
15	1, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
16	15	ffund 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → Fun (𝟭‘𝐼))
18		ovex 7391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19		esplympl.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
20	19	ssrab3 4033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
21	18, 20	ssexi 5266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐷 ∈ V)
23		esplympl.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
25		esplympl.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
27	19, 2, 24, 26	esplylem 33703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
28		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ 𝐷)
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅))
30	29	neneqd 2936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (0g‘𝑅))
31		indf 32913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
32	22, 27, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
34	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → 𝑑 ∈ 𝐷)
35	33, 34	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ∈ {0, 1})
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1)
37		elprn2 4608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ∈ {0, 1} ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 0)
38	35, 36, 37	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 0)
39	38	fveq2d 6837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
40		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
41		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	40, 41	zrh0 21470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
43	23, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
44	43	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
45	39, 44	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) = (0g‘𝑅))
46	19, 1, 23, 25	esplyfval 33700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
47	46	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
48	47	fveq1d 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝑑))
49	32, 28	fvco3d 6933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝑑) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)))
50	48, 49	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)))
51	50, 29	eqnetrrd 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) ≠ (0g‘𝑅))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) ≠ (0g‘𝑅))
53	45, 52	pm2.21ddne 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (0g‘𝑅))
54	30, 53	mtand 816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1)
55		nne 2935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1 ↔ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1)
56	54, 55	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1)
57		ind1a 32917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → ((((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1 ↔ 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))
58	57	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1) → 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
59	22, 27, 28, 56, 58	syl31anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
60		fvelima 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝟭‘𝐼) ∧ 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
61	17, 59, 60	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
62	12, 61	r19.29a 3143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑:𝐼⟶{0, 1})
63	2, 62	indfsid 32930	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0)))
64	63	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg 𝑑) = (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))))
65		nn0subm 21379	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
68	67	sselda 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
69	68	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
70	2, 66, 69	elmaprd 32738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
71		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
72	2, 66, 70, 71	gsumsubm 18762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑))
73		suppssdm 8119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 supp 0) ⊆ dom 𝑑
74	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
75		nn0ex 12409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
77	74, 76, 68	elmaprd 32738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
78	77	fdmd 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → dom 𝑑 = 𝐼)
79	78	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → dom 𝑑 = 𝐼)
80	73, 79	sseqtrid 3975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑑 supp 0) ⊆ 𝐼)
81	2, 80	ssfid 9171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑑 supp 0) ∈ Fin)
82	2, 80, 81	gsumind 33405	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))) = (♯‘(𝑑 supp 0)))
83	3	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = (𝑑 supp 0))
84		indsupp 32928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑏 ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = 𝑏)
85	4, 9, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = 𝑏)
86	83, 85	eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (𝑑 supp 0) = 𝑏)
87	86	fveq2d 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = (♯‘𝑏))
88		fveqeq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘𝑏) = 𝐾))
89		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
90	88, 89	elrabrd 32553	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘𝑏) = 𝐾)
91	87, 90	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = 𝐾)
92	91, 61	r19.29a 3143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = 𝐾)
93	82, 92	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))) = 𝐾)
94	64, 72, 93	3eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾)
95	94	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾))
96	95	ralrimiva 3127	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾))
97		esplymhp.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
98		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
99		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
100	19	psrbasfsupp 33672	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
101	19, 1, 23, 25, 99	esplympl 33704	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
102	97, 98, 99, 41, 100, 25, 101	ismhp3 22087	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾)))
103	96, 102	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3398  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4553  {cpr 4581   class class class wbr 5097  dom cdm 5623   “ cima 5626   ∘ ccom 5627  Fun wfun 6485  ⟶wf 6487  –1-1-onto→wf1o 6490  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8885   finSupp cfsupp 9266  0cc0 11028  1c1 11029  ℕ₀cn0 12403  ♯chash 14255  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  SubMndcsubmnd 18709  Ringcrg 20170  ℂ_fldccnfld 21311  ℤRHomczrh 21456   mPoly cmpl 21864   mHomP cmhp 22074  𝟭cind 32908  eSymPolycesply 33693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-field 20667  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-mhp 22081  df-ind 32909  df-esply 33695

This theorem is referenced by: (None)