Theorem esplymhp 34200

Description: The 𝐾-th elementary symmetric polynomial is homogeneous of degree 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplymhp.1	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
esplymhp	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplymhp

Dummy variables 𝑑 𝑐 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplympl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
4	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝐼 ∈ Fin)
5		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
7	6	sselda 3908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐼)
8	7	elpwid 4565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑏 ⊆ 𝐼)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑏 ⊆ 𝐼)
10		indf 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑏 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏):𝐼⟶{0, 1})
11	4, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑏):𝐼⟶{0, 1})
12	3, 11	feq1dd 6692	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑑:𝐼⟶{0, 1})
13		indf1o 33431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
14		f1of 6824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
15	1, 13, 14	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
16	15	ffund 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → Fun (𝟭‘𝐼))
18		ovex 7453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19		esplympl.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
20	19	ssrab3 4007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
21	18, 20	ssexi 5283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐷 ∈ V)
23		esplympl.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
25		esplympl.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
27	19, 2, 24, 26	esplylem 34198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
28		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ 𝐷)
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅))
30	29	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (0g‘𝑅))
31		indf 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
32	22, 27, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
34	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → 𝑑 ∈ 𝐷)
35	33, 34	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ∈ {0, 1})
36		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1)
37		elprn2 4612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ∈ {0, 1} ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 0)
38	35, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 0)
39	38	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
40		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
41		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	40, 41	zrh0 21819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
43	23, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
44	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
45	39, 44	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) = (0g‘𝑅))
46	19, 1, 23, 25	esplyfval 34195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
48	47	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝑑))
49	32, 28	fvco3d 6986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝑑) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)))
50	48, 49	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)))
51	50, 29	eqnetrrd 3023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) ≠ (0g‘𝑅))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑)) ≠ (0g‘𝑅))
53	45, 52	pm2.21ddne 3039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) = (0g‘𝑅))
54	30, 53	mtand 828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ¬ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1)
55		nne 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) ≠ 1 ↔ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1)
56	54, 55	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1)
57		ind1a 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → ((((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1 ↔ 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))
58	57	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑑) = 1) → 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
59	22, 27, 28, 56, 58	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
60		fvelima 6950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝟭‘𝐼) ∧ 𝑑 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
61	17, 59, 60	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑)
62	12, 61	r19.29a 3170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑:𝐼⟶{0, 1})
63	2, 62	indfsid 33436	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 = ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0)))
64	63	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg 𝑑) = (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))))
65		nn0subm 21728	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
66	65	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
67	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
68	67	sselda 3908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
69	68	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
70	69	elmaprd 8870	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
71		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
72	2, 66, 70, 71	gsumsubm 19031	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑))
73		suppssdm 8194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 supp 0) ⊆ dom 𝑑
74	68	elmaprd 8870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
75	74	fdmd 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → dom 𝑑 = 𝐼)
76	75	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → dom 𝑑 = 𝐼)
77	73, 76	sseqtrid 3950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑑 supp 0) ⊆ 𝐼)
78	2, 77	ssfid 9260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑑 supp 0) ∈ Fin)
79	2, 77, 78	gsumind 33906	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))) = (♯‘(𝑑 supp 0)))
80	3	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = (𝑑 supp 0))
81		indsupp 33434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑏 ⊆ 𝐼) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = 𝑏)
82	4, 9, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (((𝟭‘𝐼)‘𝑏) supp 0) = 𝑏)
83	80, 82	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (𝑑 supp 0) = 𝑏)
84	83	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = (♯‘𝑏))
85		fveqeq2 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝐾 ↔ (♯‘𝑏) = 𝐾))
86		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})
87	85, 86	elrabrd 3647	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘𝑏) = 𝐾)
88	84, 87	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑏) = 𝑑) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = 𝐾)
89	88, 61	r19.29a 3170	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘(𝑑 supp 0)) = 𝐾)
90	79, 89	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → (ℂfld Σg ((𝟭‘𝐼)‘(𝑑 supp 0))) = 𝐾)
91	64, 72, 90	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅)) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾)
92	91	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) → ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾))
93	92	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾))
94		esplymhp.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
95		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
96		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
97	19	psrbasfsupp 34143	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
98	19, 1, 23, 25, 96	esplympl 34199	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
99	94, 95, 96, 41, 97, 25, 98	ismhp3 22463	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐷 ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 𝐾)))
100	93, 99	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (𝐻‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  {cpr 4585   class class class wbr 5102  dom cdm 5650   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  1c1 11201  𝟭cind 12320  ℕ₀cn0 12606  ♯chash 14474  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  SubMndcsubmnd 18977  Ringcrg 20459  ℂ_fldccnfld 21678  ℤRHomczrh 21805   mPoly cmpl 22214   mHomP cmhp 22454  eSymPolycesply 34188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-ind 12321  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-field 20983  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-mhp 22457  df-esply 34190

This theorem is used by: (None)