Theorem esplyfval3 33748

Description: Alternate expression for the value of the 𝐾-th elementary symmetric polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfval3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfval3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
esplyfval3.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
esplyfval3.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
esplyfval3	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝐷,𝑓   ℎ,𝐼,𝑓   𝑓,𝐾   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   1 (𝑓,ℎ)   𝐾(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem esplyfval3

Dummy variables 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfval3.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhm 21478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
4		zringbas 21420	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
5		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	rhmf 20432	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
7	1, 3, 6	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffnd 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
9		esplyfval3.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
10		ovex 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
11	9, 10	rabex2 5288	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝐷 ∈ V)
13		esplyfval3.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝐼 ∈ Fin)
15	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝑅 ∈ Ring)
16		esplyfval3.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18	9, 14, 15, 17	esplylem 33742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
19		indf 32944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
20	12, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶{0, 1})
21		0zd 12512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 0 ∈ ℤ)
22		1zzd 12534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 1 ∈ ℤ)
23	21, 22	prssd 4780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → {0, 1} ⊆ ℤ)
24	20, 23	fssd 6687	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶ℤ)
25		fnfco 6707	. . . . . 6 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) Fn 𝐷)
26	8, 24, 25	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) Fn 𝐷)
27	9, 14, 15, 17	esplyfval 33739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
28	27	fneq1d 6593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) Fn 𝐷 ↔ ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) Fn 𝐷))
29	26, 28	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) Fn 𝐷)
30		dffn5 6900	. . . 4 ⊢ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) Fn 𝐷 ↔ ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓)))
31	29, 30	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓)))
32		eqeq2 2749	. . . . . 6 ⊢ (if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ) = if(ran 𝑓 ⊆ {0, 1}, if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ), 0 ) → ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ) ↔ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = if(ran 𝑓 ⊆ {0, 1}, if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ), 0 )))
33		eqeq2 2749	. . . . . 6 ⊢ ( 0 = if(ran 𝑓 ⊆ {0, 1}, if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ), 0 ) → ((((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = 0 ↔ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = if(ran 𝑓 ⊆ {0, 1}, if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ), 0 )))
34	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝐼 ∈ Fin)
36	15	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑅 ∈ Ring)
37		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
38		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑓 ∈ 𝐷)
39		esplyfval3.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
40		esplyfval3.2	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
42	9, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	esplyfv1 33745	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ))
43	27	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
44	43	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝑓))
45	24	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})):𝐷⟶ℤ)
46		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑓 ∈ 𝐷)
47	45, 46	fvco3d 6942	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))‘𝑓) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑓)))
48	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓)
50	34	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓) → 𝐼 ∈ Fin)
51		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
53	52	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ 𝒫 𝐼)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓) → 𝑑 ∈ 𝒫 𝐼)
55	54	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓) → 𝑑 ⊆ 𝐼)
56		indf 32944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
57	50, 55, 56	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
58	49, 57	feq1dd 6653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ∧ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓) → 𝑓:𝐼⟶{0, 1})
59		indf1o 32956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
60		f1of 6782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
61	34, 59, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
62	61	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝟭‘𝐼) Fn 𝒫 𝐼)
63	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
64	62, 63	fvelimabd 6915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ↔ ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓))
65	64	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ∃𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) = 𝑓)
66	58, 65	r19.29a 3146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → 𝑓:𝐼⟶{0, 1})
67	66	frnd 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) → ran 𝑓 ⊆ {0, 1})
68	67	stoic1a 1774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ¬ 𝑓 ∈ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))
69	46, 68	eldifd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})))
70		ind0 32947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷 ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑓) = 0)
71	11, 48, 69, 70	mp3an2i 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑓) = 0)
72	71	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑓)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘0))
73	2, 39	zrh0 21480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
74	1, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
75	74	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = 0 )
76	72, 75	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))‘𝑓)) = 0 )
77	44, 47, 76	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ ran 𝑓 ⊆ {0, 1}) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = 0 )
78	32, 33, 42, 77	ifbothda 4520	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = if(ran 𝑓 ⊆ {0, 1}, if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ), 0 ))
79		ifan 4535	. . . . 5 ⊢ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 ) = if(ran 𝑓 ⊆ {0, 1}, if((♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾, 1 , 0 ), 0 )
80	78, 79	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓) = if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 ))
81	80	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾)‘𝑓)) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 )))
82	31, 81	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 )))
83		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
84	9	psrbasfsupp 33704	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
85		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
86	1	ringgrpd 20189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
87	83, 84, 39, 85, 13, 86	mpl0 21973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (𝐷 × { 0 }))
88	87	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (𝐷 × { 0 }))
89	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝐼 ∈ Fin)
90	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝑅 ∈ Ring)
91	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
92		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼)))
93	91, 92	eldifd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
94	9, 89, 90, 93, 85	esplyfval2 33741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
95		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑓 finSupp 0))
96	9	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 ↔ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
97	96	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐷 → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
99	95, 98	elrabrd 32584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 finSupp 0)
100	99	fsuppimpd 9284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 supp 0) ∈ Fin)
101		hashcl 14291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 supp 0) ∈ Fin → (♯‘(𝑓 supp 0)) ∈ ℕ0)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑓 supp 0)) ∈ ℕ0)
103	102	nn0red 12475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑓 supp 0)) ∈ ℝ)
104	103	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑓 supp 0)) ∈ ℝ)
105		hashcl 14291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
106	13, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
107	106	nn0red 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
108	107	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
109	16	nn0red 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
110	109	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℝ)
111		suppssdm 8129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 supp 0) ⊆ dom 𝑓
112	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
113		nn0ex 12419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ∈ V
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
115	9	ssrab3 4036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
117	116	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
118	112, 114, 117	elmaprd 32769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓:𝐼⟶ℕ0)
119	111, 118	fssdm 6689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓 supp 0) ⊆ 𝐼)
120		hashss 14344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑓 supp 0) ⊆ 𝐼) → (♯‘(𝑓 supp 0)) ≤ (♯‘𝐼))
121	13, 119, 120	syl2an2r 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑓 supp 0)) ≤ (♯‘𝐼))
122	121	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑓 supp 0)) ≤ (♯‘𝐼))
123	106	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
124	123	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
125		nn0diffz0 32884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
126	89, 105, 125	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
127	93, 126	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
129		eluzp1l 12790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1))) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
130	124, 128, 129	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
131	104, 108, 110, 122, 130	lelttrd 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑓 supp 0)) < 𝐾)
132	104, 131	ltned 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (♯‘(𝑓 supp 0)) ≠ 𝐾)
133	132	neneqd 2938	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ¬ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾)
134	133	intnand 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ¬ (ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾))
135	134	iffalsed 4492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 ) = 0 )
136	135	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 )) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ 0 ))
137		fconstmpt 5694	. . . 4 ⊢ (𝐷 × { 0 }) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ 0 )
138	136, 137	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 )) = (𝐷 × { 0 }))
139	88, 94, 138	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐼))) → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 )))
140	82, 139	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = (𝑓 ∈ 𝐷 ↦ if((ran 𝑓 ⊆ {0, 1} ∧ (♯‘(𝑓 supp 0)) = 𝐾), 1 , 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ran crn 5633   “ cima 5635   ∘ ccom 5636   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   supp csupp 8112   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ♯chash 14265  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  1_rcur 20128  Ringcrg 20180   RingHom crh 20417  ℤ_ringczring 21413  ℤRHomczrh 21466   mPoly cmpl 21874  𝟭cind 32939  eSymPolycesply 33732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-psr 21877  df-mpl 21879  df-ind 32940  df-esply 33734

This theorem is referenced by:  esplyfval1  33749  esplyfvaln  33750  esplyind  33751